章建躍

(人民教育出版社 100081)

當(dāng)前，我國數(shù)學(xué)教育界對高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組給出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個要素，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，展開了一些討論.筆者認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)課改的核心問題，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)和要素的討論，在廣泛性、深入性上還很不夠，特別是廣大數(shù)學(xué)教師的參與度還需加強(qiáng).本文從理論與實(shí)際的銜接角度談?wù)剬?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識，希望拋磚引玉.

1 關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)和要素的討論

眾所周知，以林崇德先生為首的核心素養(yǎng)課題組歷時(shí)三年集中攻關(guān)，并經(jīng)教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會審議，最終形成研究成果，確立了“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”.它以科學(xué)性、時(shí)代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細(xì)化為國家認(rèn)同等十八個基本要點(diǎn).在這個體系下，各科都制訂了各自的“學(xué)科核心素養(yǎng)”.可以發(fā)現(xiàn)，這個核心素養(yǎng)體系的要素非常龐大，如果不能厘清其結(jié)構(gòu)，把握好“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”與“學(xué)科核心素養(yǎng)”之間的關(guān)系，集中到一個學(xué)生的身上，將會不堪重負(fù).筆者認(rèn)為，盡管數(shù)學(xué)教育要著眼于學(xué)生核心素養(yǎng)的整體，但更重要的是要認(rèn)識清楚數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展有怎樣的獨(dú)特貢獻(xiàn)，這就需要聚焦于“十八個基本要點(diǎn)”的某些方面.例如，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在學(xué)生“理性思維”的發(fā)展中具有決定性作用，所以應(yīng)該把“理性思維”置于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)領(lǐng)地位.

另一問題是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)到底包含哪些要素？對這個問題的討論太少.我們知道，數(shù)學(xué)的公認(rèn)特點(diǎn)是“抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性”，六個核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?？梢苑謩e與這些特性相對應(yīng)，表明“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)集”很好地反映了數(shù)學(xué)學(xué)科特性，并且它們與“數(shù)學(xué)的基本思想”，即“數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)建模的思想”一脈相承.但林崇德先生在《21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究》(北京師范大學(xué)出版社，2016年3月版)中指出，核心素養(yǎng)的目標(biāo)指向“全人教育”，在所有人都需要的共同素養(yǎng)中居于最關(guān)鍵最必要的核心地位，它并不指向某一學(xué)科的知識，而是情感、態(tài)度、知識、技能的綜合表現(xiàn).所以，如此“徹底地反映數(shù)學(xué)學(xué)科特征”，是否真的體現(xiàn)了“核心素養(yǎng)”的本來面目？

其實(shí)，研究核心素養(yǎng)的權(quán)威們對是否要提“學(xué)科核心素養(yǎng)”也是各執(zhí)一詞.進(jìn)一步地，從全球范圍看，目前對核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)和組成要素等并沒有達(dá)成共識.筆者判斷，可能很難達(dá)成共識，因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)是人的終極性發(fā)展目標(biāo)，可以包羅萬象，還可以因不同群體的差異而有很大不同，所以對哪些是“共同素養(yǎng)中的核心”很難說清楚.可以預(yù)見的是，對核心素養(yǎng)的研究是一個沒有最好只有更好、向著其本質(zhì)逼近的永無止境的過程，目前我們離“本質(zhì)”尚遠(yuǎn).

當(dāng)然，也不能說毫無共識.例如，大家都認(rèn)為核心素養(yǎng)是一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它的內(nèi)涵是多維度、多元化的，核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的教育教學(xué)必然是超越知識技能的，各學(xué)科教育都要為學(xué)生成長和終身發(fā)展作出獨(dú)特貢獻(xiàn)，要通過“基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，幫助學(xué)生形成必備品格和關(guān)鍵能力”等等.不過，對于各學(xué)科日常教育教學(xué)而言，這樣的抽象性共識幾近于空洞說教，對實(shí)踐的指導(dǎo)力很弱.從學(xué)校教育的實(shí)際需求看，“如何使學(xué)科教學(xué)超越知識技能”是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的更關(guān)鍵問題.而這個問題的解決，需要我們在理解核心素養(yǎng)及學(xué)科核心素養(yǎng)基本含義、厘清核心素養(yǎng)與三維目標(biāo)(乃至雙基和三大能力)相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，扎實(shí)開展數(shù)學(xué)教育實(shí)踐研究，搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例”，使抽象的、高大上的“核心素養(yǎng)”獲得具體事例的支撐，實(shí)現(xiàn)“從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)事物的整體性和具體性”，這樣才能達(dá)到對核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深刻認(rèn)識.也就是說，更加迫切的、對實(shí)踐的指導(dǎo)意義更強(qiáng)的是案例，這不僅有利于廣大教師的積極參與，而且能使理論從實(shí)踐中汲取營養(yǎng)，有效地促進(jìn)理論與實(shí)踐的結(jié)合.數(shù)學(xué)教育研究應(yīng)該強(qiáng)調(diào)它的實(shí)踐品格，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論概括，這樣更能反映數(shù)學(xué)教育理論研究的本來面目.

2 從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程中認(rèn)識數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

筆者曾經(jīng)談到[注]見《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年第5期“樹立課程意識落實(shí)核心素養(yǎng)”.，數(shù)學(xué)教師的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題.這樣，從平凡的日常教學(xué)中思考落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的策略，在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方式和方法，應(yīng)成為研究的基本出發(fā)點(diǎn).下面我們從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，特別是如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、獲得數(shù)學(xué)對象的角度，通過例子，討論日常教學(xué)中如何結(jié)合具體內(nèi)容發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題.

我們知道，數(shù)及其運(yùn)算是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題之一.給一個數(shù)，可以把它加倍、求平方或求倒數(shù)等等，只要定義了一種運(yùn)算法則，就可以引入根據(jù)法則規(guī)定的程序進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理的直接問題.于是，我們首先要在“保持自然數(shù)系的運(yùn)算律普遍成立”的思想指導(dǎo)下定義運(yùn)算法則，從而解決“如何算”的問題.例如，有理數(shù)的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是在自然數(shù)系的基礎(chǔ)上，通過引入負(fù)數(shù)而擴(kuò)充到有理數(shù)系，并定義關(guān)于有理數(shù)的加法、乘法和乘方等運(yùn)算法則，其中的難點(diǎn)問題是“符號法則”，如“正負(fù)得負(fù)”、“負(fù)負(fù)得正”.為什么必須是“負(fù)負(fù)得正”呢？因?yàn)槿绻柏?fù)負(fù)不得正”的話，自然數(shù)系的運(yùn)算律將不再成立.這是“在已有基礎(chǔ)上發(fā)展新理論”，體現(xiàn)了理性精神，并且運(yùn)算法則的抽象、運(yùn)算律在有理數(shù)系中的表達(dá)等都與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相關(guān).當(dāng)前教學(xué)中的問題是只關(guān)注“如何算”和“算得快”，而把“為什么這么算”和“如何才能算得快”這些與核心素養(yǎng)更相關(guān)的問題拋到腦后.

引入字母表示數(shù)，可以對數(shù)及其運(yùn)算中的“直接問題”再研究一遍，得到各種各樣的代數(shù)式，并且可以用“字母代表數(shù)，所以在代數(shù)式的運(yùn)算中，關(guān)于任何數(shù)都成立的運(yùn)算律可用”的思想，對代數(shù)式的運(yùn)算進(jìn)行研究.于是，我們可以向?qū)W生提出具有高度統(tǒng)攝性的問題：

字母代表數(shù)，代數(shù)式是數(shù)及其運(yùn)算的抽象化、一般化產(chǎn)物，因此我們可以類比數(shù)及其運(yùn)算對代數(shù)式展開研究.對于代數(shù)式這個數(shù)學(xué)對象，你認(rèn)為可以研究哪些問題？如何構(gòu)建研究框架？研究的具體內(nèi)容有哪些？如何找到研究方法？

然后讓學(xué)生展開自主探究，獲得各種代數(shù)式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算和代數(shù)推理.這樣設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)過程，既有以數(shù)及其運(yùn)算為支撐的代數(shù)研究對象的抽象，也有通過類比、推廣而發(fā)現(xiàn)各種代數(shù)式的性質(zhì)、運(yùn)算法則，還有根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)展開的代數(shù)運(yùn)算和推理活動，所以能使數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

一般地，對于函數(shù)y=f(x)，直接的問題是已知x求y.反過來，可以提出已知y求x，這就是解方程f(x)=y.這里我們沒有限制x，y為數(shù)，所以解方程的概念是非常一般的.這里又提出了一個數(shù)學(xué)的中心問題——解方程.

接下來的問題是，如何從一元一次方程出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)推廣，發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題？我們抓住關(guān)鍵要素“未知數(shù)”，從“元”、“次數(shù)”、“函數(shù)”等角度入手，可以提出大量有趣的問題.例如考慮“元”的增加，如2x+y=5.與2x+1=5相比，這是一個實(shí)質(zhì)性的變化，2x+y=5有無數(shù)解.把方程變?yōu)閥=5-2x，給定一個x就有相應(yīng)的一個y滿足這個方程，即有一對(x，y)滿足這個方程，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)在同一條直線上.我們還可以再增加一個方程以加大難度，如2x+3y=3，這時(shí)就只有一組解x=3，y=-1同時(shí)滿足這兩個方程.如果從幾何角度看，形如ax+by=c的方程是直角坐標(biāo)系中的一條直線，兩條直線交于一點(diǎn).當(dāng)然，特殊情況是兩條直線平行或重合，這時(shí)二元一次方程組無解或有無數(shù)解，我們可以利用方程組

中各系數(shù)之間的關(guān)系，得出什么時(shí)候有唯一解、無解和無數(shù)解的準(zhǔn)確表示.這個過程中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)都能得到發(fā)展.

對于“元”，其實(shí)可以推廣到n元.可以發(fā)現(xiàn)，如果機(jī)械地沿用上述思路，那么解n元線性方程組是繁瑣而無趣的工作.能否把它們看成含有一個未知“東西”的一個方程呢？如果允許這個“東西”是一個更復(fù)雜的對象，就會打開一片全新的天地.例如，利用矩陣和向量，將2x+y=5，2x+3y=3寫成

我們用A表示上面的矩陣，x表示未知向量，b表示已知向量，那么方程組變?yōu)锳x=b.這樣的做法似乎是把困難隱藏起來了，但實(shí)際情況并非如此，它開辟了數(shù)學(xué)的新天地.現(xiàn)在我們得到了從R2到R2的一個線性映射，要解決的問題是哪個向量x被映射到向量b，這在數(shù)學(xué)思想上是一個飛躍.在這個思想指導(dǎo)下，我們可以容易地把矩陣、向量推廣到n維.這樣，向量理論、矩陣?yán)碚?、空間維數(shù)的推廣(理論上，你想幾維就幾維，甚至是分?jǐn)?shù)維)就都在議題之中了.這里已經(jīng)觸及到大學(xué)《線性代數(shù)》等課程的基本內(nèi)容.

以上是“元”的推廣，接下來是“次”的增加.首先是一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0=0.我們熟悉的是一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)，而且知道這類方程有求根公式.一般的，記住求根公式并在面對具體方程時(shí)能用公式求出方程的根就可以了.但這里出現(xiàn)了線性方程研究中沒有遇到過的問題，由此提供了培養(yǎng)核心素養(yǎng)的新契機(jī).

第三，由一元二次方程存在求根公式自然想到：能否找到一元n次方程的求根公式.這是一個一勞永逸的想法，不過人們發(fā)現(xiàn)，雖然三次、四次方程存在求根公式，但其復(fù)雜程度是二次方程求根公式所無法比擬的，而五次及以上方程的公式解是一個懸而未決的問題.直到19世紀(jì)，阿貝爾和伽羅瓦證明了這樣的公式是不存在的.令人驚喜的是，由此產(chǎn)生了一個“副產(chǎn)品”——群論，它不但徹底解決了一元多項(xiàng)式方程的公式解問題，而且由此發(fā)展了一整套理論，進(jìn)而創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個嶄新的高度.群論為數(shù)學(xué)研究提供了新工具，它對數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)的發(fā)展都有很大影響，對物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都有巨大影響.群論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一.在數(shù)學(xué)史上，一元多項(xiàng)式方程公式解問題的解決經(jīng)歷了非常曲折的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不饒、精益求精的精神.我們可以挖掘這些素材并向?qū)W生介紹方程理論的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化和精神的同時(shí)，促進(jìn)他們體會各種解方程的思想及其算法的意義.

3 小結(jié)

限于篇幅，我們不再往下討論.從中已經(jīng)可以看到，從自然數(shù)及其運(yùn)算出發(fā)，經(jīng)過逐步深入的抽象化、一般化，可以不斷發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)對象，引入新的數(shù)學(xué)語言，形成新的數(shù)學(xué)方法，獲得具有一般性、廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)結(jié)論，提煉新的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).同時(shí)，它使學(xué)生看到，許多原來貌似無關(guān)的結(jié)果之間內(nèi)在的聯(lián)系性、一致性，在數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域間找到聯(lián)系對數(shù)學(xué)的進(jìn)展有顯著的推動作用.按照這一思路進(jìn)行的課程、教材和教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，關(guān)注的是通過抽象化、一般化獲得數(shù)學(xué)的研究對象，根據(jù)研究對象的特點(diǎn)確定合適的類比對象并構(gòu)建研究路徑，通過類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等思維活動發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、形成研究思路、找到研究方法，注重了數(shù)學(xué)的整體性、思想的一致性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)的方式”，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)核心概念和基本思想(big idea)的育人價(jià)值，是從“四基”、“四能”通向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道，是使課堂教學(xué)超越數(shù)學(xué)知識技能進(jìn)而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地”的康莊大道.