李棟
【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089(2016)11-0205-02
極值問題是物理應用中常見問題之一,解決這類問題的方法有幾種,如二次函數(shù)配方法、二次方程判別法、三角函數(shù)法、幾何作圖法,對于同一問題采取方法不同,其效果往往并一樣。
數(shù)學中有兩個重要極值不等式,它們是:
(1)均值不等式為:
(可變形為,當a=b時取等號)
(2)重要不等式為:
(可變形為,當a=b時取等號)
在物理極值問題的討論計算中恰當運用以上結(jié)論,是必簡便快捷,現(xiàn)舉幾例。
【例1】一正方形木塊邊長為H,在其右上方做成一個1/4圓形光滑軌道,半徑為R,讓質(zhì)量為M的小球從A點自由釋放離開B點做平拋運動,問:
(1)小球在B點時對軌道的壓力多大?
(2)要使小球平拋運動的水平射程最大,軌道半徑R與H應滿足怎樣的關(guān)系?
析與解:(1)小球從A點自由釋放滑到B點的過程中,只有重力做功,小球的機械能守恒,,而小球在B點做圓周運動,所受支持力F與G應滿足,由此得:支持力F=3mg,小球?qū)壍赖膲毫?mg;
(2)小球從A點自由釋放滑到B點的過程中,機械能守恒,小球離開B點時的速度為;小球離開B點之后做平拋運動,落地時間為,由此得:小球水平射程,由極值不等式有:當H-R= R時,即時,射程最大,最大射程為H。
【例2】如圖所示,光滑水平面右端連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道,在離B距離為x的A點,用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點從靜止開始推到B處后撤去外力,質(zhì)點沿半圓軌道運動到C點處以正好落回A點,求:
(1)推力對小球所做的功;(2)x取何值時,完成上述運動所做的功最???最小的功為多少?(3)x取何值時,完成上述運動所用的力最?。孔钚〉牧槎嗌??
【析與解】(1)質(zhì)點從半圓軌道運動又回到A點,設(shè)質(zhì)點在C點的速度為vc,從C點運動到A點所用時間為t,則:
在水平方向上x=vct,在豎直方向上2R=gt2/2,可得:,對質(zhì)點從A到C由動能定理有:,解得:
(2)由知,要使力F做的功最少,只需質(zhì)點在C點速度最小,設(shè)質(zhì)點恰好通過C點的速度為v,由牛頓第二定律得mg=mv2/R,則,則有,可得x=2R時,力F做的功最少,
(3)由=Fx,得,由極值不等式有:當16R/x=x/R時,即x=4R時,力F最小,,最小的力為F=mg。
【例3】如圖,粗細均勻的玻璃管長L=100厘米,開口向上豎直放置時,上 端齊管口有一段h=25厘米的水銀柱封閉著27℃空氣柱,大氣壓強為P=75厘米汞柱,現(xiàn)使空氣柱溫度逐漸升高,問欲使管內(nèi)水銀全部溢出,溫度至少升到多高?
析與解:設(shè)管內(nèi)空氣柱溫度升高到T(開),管內(nèi)尚有水銀柱 ?厘米,管的橫截面積為S,則有
將數(shù)據(jù)代入,整理得:
如果再變?yōu)橛嘘P(guān)的二次函數(shù)求極值,解答就較為復雜,由于為常數(shù),所以當時,即當 厘米時,T有極大值為(K)。
【例4】如圖所示電路中,已知電源電動勢內(nèi)阻,定值電阻,,是總阻值為的滑動變阻器,閉合電鍵K,調(diào)節(jié)變阻觸點,求通過電源的最小電流?
析與解:與電源組成的電路實際上是雙臂環(huán)路,通過電源電流最小時,實際對應總電阻最大,設(shè)AP段阻值為X,那么:
由于(定值),
所以當時,即時,有最大值,,因此通過電源電流
(A)
物理中經(jīng)常遇到求極值的問題,如果一類問題,涉及到兩個變量和為定值,求相應量極值問題,即定和求積覓極值,就可用數(shù)學中的極值不等式求極值,收到事半功倍的效果。