于霞

【摘要】本文利用類比法構(gòu)造了一類四階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，得出了該系統(tǒng)零解穩(wěn)定的充分條件，解決了相當(dāng)廣泛的一類四階非線性系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性。

【關(guān)鍵詞】四階非線性系統(tǒng) ?穩(wěn)定性 ?李雅普諾夫函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G64 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2016）11-0252-02

Stability of A Class of Fourth-order Nonlinear System

Yu xia

（Nantong university，Nantong， Jiangsu，226007.，China）

This paper studies the asymptotic stability of the nonlinear fourth order differential equation. By applying the Similitude-comparison method， a theorem of stability in the large of equilibrium position of equation is obtained， and stability of the nonlinear fourth order differential equation is solved.

【Key words】 Nonlinear fourth order differential equation;Tability;Liapunovs function

一、引言

微分方程的穩(wěn)定性在物理、航天等許多科學(xué)領(lǐng)域都得到了非常廣泛的應(yīng)用， 因而對(duì)于微分方程的穩(wěn)定性的研究具有很大的實(shí)際意義。本文研究如下的四階非線性系統(tǒng)：

（1）

其中是依賴于變量的連續(xù)可微函數(shù)，且為大于零的常數(shù).

文獻(xiàn)[1]給出了四階常系數(shù)線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)公式，文獻(xiàn)[2]應(yīng)用相應(yīng)的公式研究了一類四階非線性系統(tǒng)的平凡解的穩(wěn)定性，本文將通過(guò)類比法來(lái)解決一類更廣泛的四階非線性系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定性問(wèn)題.

作變換將系統(tǒng)（1）化成等價(jià)系統(tǒng)：

（2）

系統(tǒng)（2）所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)為：

（3）

其中均為大于0的常數(shù)，且.下面運(yùn)用類比法得到系統(tǒng)（2）的李雅普諾夫函數(shù)，并建立其零解穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.

1. 零解的穩(wěn)定性

取系統(tǒng)（3）的李雅普諾夫函數(shù)為[2]：

應(yīng)用類比法可得系統(tǒng)（2）的李雅普諾夫函數(shù)：

下面我們可以敘述并證明如下結(jié)果：

定理1：對(duì)于系統(tǒng)（2）， 如果存在常數(shù)

及連續(xù)可微函數(shù)，滿足以下條件：

則系統(tǒng)（2）當(dāng)時(shí)零解漸近穩(wěn)定.

證明：由條件（1）可知當(dāng)且僅當(dāng)，從而得出正定.

由條件（1）、（2）、（3）得在.，且集合中不包含除原點(diǎn)外其它軌線，所以系統(tǒng)（2）的零解漸近穩(wěn)定.

參考文獻(xiàn)：

[1]王聯(lián)，王慕秋.非線性常微分方程定性分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1987 .

[2]梁在中.關(guān)于一類四階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造的研究[M].應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)1995.

[3]康慧燕.，斯力更.一類四階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)2009，25（1）：40-42

[4]李濤，謝景力，孫長(zhǎng)軍.一類四階非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， ?2010，29（2）：115-117

南通大學(xué)科研基金（03080055）