☉天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 濤

小網(wǎng)格大奧秘
——2016年天津市中考試題第18題第（Ⅱ）小題的思考

☉天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 濤

2016年天津市中考試題第18題第（Ⅱ）小題，以網(wǎng)格為載體，借助無刻度的直尺，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)作圖的要求統(tǒng)領(lǐng)下，既考查了學(xué)生利用網(wǎng)格，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，又鍛煉了學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言并有效運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行精準(zhǔn)表述的能力，具有較高的思維含量，對(duì)提升學(xué)生的思維能力和表達(dá)能力大有裨益.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，E為格點(diǎn)，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點(diǎn)，C為AE，BF的延長線的交點(diǎn).

圖1

（Ⅰ）AE的長等于_____；

（Ⅱ）若點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上，且滿足AP=PQ=QB，請(qǐng)?jiān)谌鐖D1所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡要說明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）.

二、思路探究

關(guān)于第（Ⅱ）問的畫法是從何而來的呢？

如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A所在的橫網(wǎng)格線為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)A（0，0）、B

圖2

由條件“點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上”，可設(shè)點(diǎn)P（m，2m），Q

由條件“滿足AP=PQ=QB”，可得：

所以，很容易確定線段AC與橫網(wǎng)格線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

對(duì)于點(diǎn)Q位置可以從以下兩個(gè)角度進(jìn)行分析：

圖3

本題通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)要求作出的點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系建立方程，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)再進(jìn)行網(wǎng)格中定位.這種解析法的求解過程清晰流暢，求解方法自然生成！

三、思路再探

參考答案是從“數(shù)”的角度求解的，能否從“形”的角度探究P、Q兩點(diǎn)的位置呢？

探究：首先，我們假設(shè)P、Q兩點(diǎn)的位置已經(jīng)在線段AC、BC上確定下來了，由條件AP=PQ=QB，可構(gòu)造如圖4所示的全等的直角三角形.

圖4

具體做法如下：假設(shè)P、Q兩點(diǎn)已作出，過P、Q兩點(diǎn)分別作PG⊥AL于點(diǎn)G，QH⊥AL于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PN⊥QH于點(diǎn)N，再過點(diǎn)B作BT⊥QH于點(diǎn)H.

由AP=PQ=QB，得EP=FQ.

由tan∠CAG=tan∠CBT=2，則AG=BT=1+t，PG=QT= 2+2t，從而得PN=GH=6-2（1+t）=4-2t，QN=HT=.

在Rt△PQN中，由勾股定理PN2+QN2=PQ2，得（4-2t）2+，整理得4t2+104t-53=0，因式分解得（2t-1）（2t+53）=0，解得t1=，t2=-（舍）.

下面是P、Q兩點(diǎn)位置的確定方法：

先考慮點(diǎn)P的確定方法：

①線段AC與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)P；（如參考答案做法）

②取格點(diǎn)M、N，連接MN與AC相交，得點(diǎn)P；（或者是以要求的點(diǎn)P為矩形對(duì)角線交點(diǎn)的做法均可，但是要注意在作法中一定要寫“與AC相交，得點(diǎn)P”）（如圖5）

③取格點(diǎn)H、I，連接HI與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)D，取格點(diǎn)J、K，連接JK與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)G，連接DG與AC相交，得點(diǎn)P；（如圖5）

圖5

圖6

④取格點(diǎn)M、N，連接MN與網(wǎng)格線交于點(diǎn)G，連接BG并延長，交AC于點(diǎn)P.（如圖6）

再考慮點(diǎn)Q的確定方法：

①取格點(diǎn)M（3，3）或其他格點(diǎn)M（t，t），作直線AM與BC相交，得點(diǎn)Q；（如參考答案做法）

②取格點(diǎn)M、N，連接MN與BC相交，得點(diǎn)Q；（或者是以上述MN為對(duì)角線的小正方形所在的奇數(shù)個(gè)矩形的對(duì)角線與BC相交，均可得點(diǎn)Q）；（如圖7）

圖7

圖8

③取格點(diǎn)H、I，連接HI與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)D，取格點(diǎn)J、K，連接JK與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)G，連接DG與BC相交，得點(diǎn)Q（下面兩種做法均采用這種敘述過程）.（如圖8）繼續(xù)深入分析圖形的性質(zhì)，如圖9，可得PN=PG=QT=3.

圖9

又AP=PQ=QB，∠AGP=∠PNQ=∠BTQ=90°，所以△AGP≌△PNQ≌△BTQ.所以∠1=∠2.

進(jìn)而得到∠PQB=90°，即PQ⊥BC.

這樣一來，點(diǎn)Q便有了新的確定方法：

①取格點(diǎn)G、H，連接GH與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，連接PD交BC于點(diǎn)Q；（如圖10）

（Ⅱ）由t=

圖10

圖11

②取格點(diǎn)G、H，連接GH并延長交BC于點(diǎn)Q（如圖11）.（這里若連接PG、BG，則四邊形BGPQ是正方形）

結(jié)合前面的解析法和構(gòu)造法，我們可以一次性地確定P、Q兩點(diǎn)的位置.

①取格點(diǎn)G、H、M、N，連接GH與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，連接MN與網(wǎng)格線交于點(diǎn)O，連接DO并延長分別交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，線段PQ即為所求；（如圖12）

圖12

圖13

②取格點(diǎn)G、H、S、T，連接GH與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，連接ST與網(wǎng)格線交于點(diǎn)K，連接DO分別交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，線段PQ即為所求.（如圖13）

四、數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確理解和表述

本題在審題環(huán)節(jié)特別要注意對(duì)“如何找到”四個(gè)字的理解，這將直接影響我們的數(shù)學(xué)語言是否到位，是否精準(zhǔn)的問題，因此這一點(diǎn)很是關(guān)鍵.本題要尋求的是“點(diǎn)”，那我們就要清楚這一事實(shí)：點(diǎn)，不是單擺浮擱的，它必須以線作為載體來呈現(xiàn)，所以本題中的“如何找到”的意思應(yīng)該理解為“哪兩條直線相交得點(diǎn)P，哪兩條直線相交得點(diǎn)Q”，又已知點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上，那么在表述中一定要有“與AC相交”、“與BC相交”的說法.

以下就是學(xué)生在中考中出現(xiàn)的作法寫得不規(guī)范，或者有科學(xué)性錯(cuò)誤的地方：

①取格點(diǎn)P（點(diǎn)P不是格點(diǎn)）；

②點(diǎn)P的找法中的第二種方法錯(cuò)誤地說成“取格點(diǎn)M、N，連接MN與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)P”，出現(xiàn)了沒有在AC上交出點(diǎn)P的錯(cuò)誤作法，也就是說，即使這個(gè)點(diǎn)確實(shí)在AC上，也要直接進(jìn)行說明；

③連接線段并延長要看清楚方向，最好就說成“作直線”，避免產(chǎn)生科學(xué)性錯(cuò)誤；

④選取點(diǎn)時(shí)盡量不要用平移來敘述，若是從格點(diǎn)平移至格點(diǎn)還可以，若不是格點(diǎn)就有問題了，因?yàn)檫@樣的平移不具有可操作性，再有平移點(diǎn)是不能說“與直線交于某點(diǎn)”的，因?yàn)辄c(diǎn)平移后還是點(diǎn)，它與直線只有“在直線上”或者“在直線外”兩種位置關(guān)系，不能用“相交”來描述.

五、回顧反思

以網(wǎng)格為背景的探究性問題，使得圖形問題充滿趣味又不失數(shù)學(xué)味道，簡簡單單的“小”網(wǎng)格，在數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)領(lǐng)下，指引著我們不斷地去探尋其中的“大”奧秘.解析法——網(wǎng)格建系，先算后畫，生成自然；構(gòu)造法——幾何直觀，方法眾多，精彩紛呈.若能將兩種方法綜合運(yùn)用，必定珠聯(lián)璧合，相得益彰，煥發(fā)出更為絢爛奪目的光彩.希望我們能在面對(duì)網(wǎng)格的問題中都能做到“四精”（即作圖精致；語言精準(zhǔn)；技法精湛；思維精密），不斷前行，探尋“小”網(wǎng)格中更“大”的奧秘.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.沈德輝，顧洪敏.知其源得其法：2014年天津市中考數(shù)學(xué)第18題第（2）小題的思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（3）.

3.白麗娜，劉金英，顧洪敏.探索網(wǎng)格作圖問題提升數(shù)學(xué)思維能力：2015年天津市中考試題第18題第（2）小題的思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（7/8）.H