☉江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 陳蓓蓓

例說幾何定理教學(xué)的層次
——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起

☉江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 陳蓓蓓

近讀《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》，張英伯教授在《傅種孫——中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)》（詳見文1）一文中，回顧了傅種孫先生在數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn)，比如：作為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)，傅種孫先生可謂嘔心瀝血，鞠躬盡瘁.他先后參與了教材的編寫，課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂，致力于教師教育，并擔(dān)任《數(shù)學(xué)通報》總編.特別是，傅先生在《平面幾何教本》（見文2）的開篇就指出“知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發(fā)學(xué)者，示以思維之道耳！”也就是說，傅先生指出：“幾何所追求的不是要知道它如此，而是要知道它為什么如此；不僅要知道它為什么如此，還得要領(lǐng)會從什么思路知道它所以如此.”受此啟發(fā)，筆者結(jié)合近期教學(xué)實踐，選取一些幾何定理教學(xué)的片斷例說數(shù)學(xué)概念教學(xué)的層次，提供研討.

第一層次——知其然

由于這是最低的層次，幾何中有大量的定理如果僅僅滿足于讓學(xué)生知曉、記熟，也會簡單運算，則屬于“知其然”的教學(xué).

比如，勾股定理教學(xué)，有些初任教師沒有在勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明上經(jīng)營設(shè)計，而是采取避重就輕，簡單告知勾股定理內(nèi)容，學(xué)生記熟兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，然后進(jìn)行大量的機(jī)械練習(xí)，鞏固對勾股定理的記憶.這種低層次的勾股定理，將博大精深的數(shù)學(xué)知識簡單化為一個孤立的知識點或公式教學(xué)，沒有能發(fā)揮其應(yīng)有的教育價值，只能是一種教學(xué)遺憾.

再比如，垂徑定理的教學(xué)，如果僅僅從圓的軸對稱性質(zhì)歸納概括出垂徑定理，而缺少對圓的軸對稱性質(zhì)進(jìn)行追問和證明，則也只停留在知其然的層次.因為對“圓為什么是軸對稱圖形”的追問，會引導(dǎo)學(xué)生將這一邏輯鏈條下的軸對稱圖形的軸對稱性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)思考.我們注意到在文2中，江蘇海安的陶然老師曾做過如下的教學(xué)設(shè)計（如圖1～4）.

圖1

圖2

圖3

圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生退回最簡單的線段，思考線段的軸對稱性質(zhì)如何證明，并一路生長到等腰三角形、矩形的軸對稱性質(zhì)，最后再讓學(xué)生類比證明圓是軸對稱圖形，使得垂徑定理的根基更牢固，定理的可信度更強(qiáng).

第二層次——知其所以然

從第一層次而來，不僅知道具體的幾何定理的內(nèi)容與應(yīng)用，而且要知道該定理如何證明？如何發(fā)現(xiàn)？到達(dá)知其所以然的層次是很多經(jīng)驗教師都能夠達(dá)到的高度.在這個階段，學(xué)生對數(shù)學(xué)新學(xué)概念的理解準(zhǔn)確，是一種理解式的概念學(xué)習(xí)，而非記憶式的機(jī)械訓(xùn)練所得.

比如，初中階段的三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)，不少教學(xué)設(shè)計是重復(fù)學(xué)生在小學(xué)階段的操作實驗，剪拼驗證，然后再根據(jù)剪拼的操作示意，作出必要的輔助線實現(xiàn)證明則可看成是知其然，知其所以然.當(dāng)然，我們也注意到有些老師對于三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)則更顯數(shù)學(xué)味，他們往往引導(dǎo)學(xué)生思考三角形有哪些元素，三條邊、三個內(nèi)角，三條邊之間的數(shù)量關(guān)系容易發(fā)現(xiàn)，而三個內(nèi)角和為定值則可借助小學(xué)已有經(jīng)驗，然而小學(xué)并沒有給出證明，初中階段通過恰當(dāng)?shù)妮o助線可以使得零散的三個內(nèi)角集中到一起轉(zhuǎn)化為一個平行，實現(xiàn)問題證明.綜上，兩種不同的處理都達(dá)到了證明三角形內(nèi)角和定理的層次，而非停留在小學(xué)直觀感知的初級階段.

再比如，等邊三角形的證明也是十分重要的.需要引導(dǎo)學(xué)生從不同的路徑證明，感受殊途同歸.如果從等腰三角形出發(fā)，強(qiáng)化出一個內(nèi)角為60°后，又需要分兩種可能，即該內(nèi)角是頂角或底角，然后分別證明該等腰三角形三個內(nèi)角都為60°，實現(xiàn)命題證明；另外，從一般三角形出發(fā)，如果找出兩個內(nèi)角為60°，則可結(jié)合三角形內(nèi)角和證得三個內(nèi)角均為60°，于是等邊三角形獲證.這里重要的不是具體的證明路徑，而是證明起始階段學(xué)生針對不同情況進(jìn)行辨析，做好題設(shè)的識別，即找準(zhǔn)出發(fā)點是證明等邊三角形的關(guān)鍵.這樣證明思路在后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形及正方形時道理是一致的.這也就是章建躍老師所倡導(dǎo)的要重視“基本套路”教學(xué).

第三層次——何由以知其所以然

更高層次的幾何定理教學(xué)則追求將不同的幾何概念或定理、或推理都納入一個有機(jī)會整體，讓學(xué)生通過幾何知識的學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)的整體一致、前后關(guān)系、邏輯連貫.

比如，圓周角定理的教學(xué)，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想出同弧所對的圓內(nèi)角是圓心角的一半，然后引導(dǎo)學(xué)生分類證明圓周角性質(zhì)，最后綜合起來得到圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.接著將圖形特殊化，出現(xiàn)直徑所對的圓周角為直角，而在這個推論中需要引導(dǎo)學(xué)生從“正、反”兩個角度理解，首先是“正向思考”有直徑所對的圓周角為直角；“逆向思考”有圓周角為90°時，所對的弦為直徑，所對的弧為半圓.在此基礎(chǔ)上還可將圓周角定理的基本圖形拓展成圓內(nèi)接四邊形的問題，得出圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)、圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.這些知識都可納入到如下一個知識結(jié)構(gòu)體系中，見圖5（PPT截圖）.

圖5

類似地，我們上面提到的三角形內(nèi)角和定理教學(xué)，也可以由三角形內(nèi)角和出發(fā)，將三角形特殊化為直角三角形，則研究出兩銳角的互余關(guān)系；將三角形特殊化為等腰三角形，可研究出頂角與底角之間的數(shù)量關(guān)系；將三角形的外角添出來，研究一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，還可進(jìn)一步得出三角形外角和為定值360°.它們之間的關(guān)系也可設(shè)計出PPT（如截圖6）.

圖6

行文至此，想起著名特級教師、江蘇省南通市啟秀中學(xué)李庾南老師在《自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論》中一篇課例，李老師沒有“理會”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中舍去平行線等分線段定理，而直接在相似三角形學(xué)習(xí)時給出所謂的平行線分線段成比例的“基本事實”，而是構(gòu)造出下圖（如圖7）這樣的教學(xué)設(shè)計路徑：

圖7

從圖7中我們對平行線分線段成比例的源頭、發(fā)展、特殊化都有清楚的表示，給學(xué)生帶來的整體觀、邏輯性、前后連貫性的啟示作用是巨大的.我們常常羨慕專家教師的專業(yè)基本功，感動他們的教學(xué)定力，想來，對數(shù)學(xué)知識的精深獨到的理解應(yīng)該是專家教師們的特殊專業(yè)基本功吧.

1.張英伯.傅種孫——中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008（1）.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

3.陶然.優(yōu)選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，注重變式教學(xué)——以“垂徑定理”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（10）.H