☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

不同年級(jí)“關(guān)聯(lián)”試題的命題實(shí)踐與思考

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

在各級(jí)考試中，對(duì)于重要位置的把關(guān)題、關(guān)鍵題來說，是隨意復(fù)制粘貼各地所謂的考題到一次測(cè)試卷中還是精心挑戰(zhàn)經(jīng)典問題背景是值得每一個(gè)命題老師認(rèn)真面對(duì)和深入思考的.在最近一次期中命題過程中，筆者參與了初二、初三的命題工作，在這次命題中，我們?cè)趦煞菰嚲碇蟹謩e設(shè)計(jì)了兩道“關(guān)聯(lián)”的數(shù)學(xué)把關(guān)題，考試之后得到兩個(gè)年級(jí)師生的好評(píng)和熱議，本文先給出這兩道考題及命題意圖，并跟進(jìn)命題思考和教學(xué)導(dǎo)向，提供研討.

一、兩道“關(guān)聯(lián)”的把關(guān)題

考題1（初二上學(xué)期期中考題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC＞BC，射線CM平分∠ACB.

圖1

（1）設(shè)CM交AB于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：CD與EF互相垂直平分.

（2）若射線CM上有一點(diǎn)N到△ABC的頂點(diǎn)A，B的距離相等，連接NA，NB.

①請(qǐng)指出△NAB的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AC=6，BC=4時(shí)，求四邊形ANBC的面積.

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級(jí)上冊(cè)習(xí)題.［1］只是強(qiáng)化了∠ACB是直角，重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)與判定定理、垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)初二上學(xué)期的全等三角形、軸對(duì)稱一章的知識(shí)重點(diǎn)考查、聯(lián)合考查.解決第（2）題要注意第（1）問兩條垂線段的啟示作用，這樣可以快速打開思路.

考題2（初三上學(xué)期期中考題）如圖2，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D，交AB于M，連接AD、BD.

（1）請(qǐng)你過點(diǎn)D分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，求證：四邊形CEDF為正方形；

圖2

（2）設(shè)DA=m，DC=n，試用含m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)；

命題意圖：這道題是在上面初二考題的基礎(chǔ)上變換設(shè)問角度，融入了初三新學(xué)的圓、相似等知識(shí)點(diǎn)，使得探究方向進(jìn)一步拓展.第（1）問證明四邊形CEDF是正方形是常規(guī)問題；第（2）問進(jìn)一步利用四邊形CEDF是正方形，先證△ADE≌△BDF，得出AE=BF，從而代換得AC+ BC=2CE；再證△CDE為等腰直角三角形，所以CE=n，所以AC+BC=又AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°.又CD平分∠ACB，所以AD=BD，所以AB=，即△ABC的周長(zhǎng)=n.

第（3）問可以過點(diǎn)M向AC，BC引垂線段MG，MH，然后利用相似比和，相加得=1，而，即的值不變，這個(gè)不變值為

簡(jiǎn)要反思：第（1）問的正方形啟示著第（2）問的AC+ BC=n.從而問題獲得進(jìn)展.第（3）問除上面利用比例式轉(zhuǎn)化之外，還可借助于面積法處理.

二、“關(guān)聯(lián)”試題的進(jìn)一步思考

初中階段很多試題的背景都是十分相像，但在不同年級(jí)不同章節(jié)中對(duì)其研究和解釋的角度不一，就像需要靈活選用工具處理一樣，本文提供的兩道“關(guān)聯(lián)”試題也是試圖闡釋這樣的道理.以下就圍繞“關(guān)聯(lián)”試題的命題給出進(jìn)一步的思考.

1.關(guān)聯(lián)試題的命制要重視教材開發(fā)

認(rèn)真研習(xí)初中版教材的同行應(yīng)該知道，教材上的例題、習(xí)題不僅都是經(jīng)典問題，而且相互呼應(yīng)，若不加以對(duì)比研習(xí)，常常容易忽略不同分冊(cè)教材之間的習(xí)題上的對(duì)應(yīng)與關(guān)聯(lián).比如上文兩道考題之間的關(guān)系，在初二、初三教材中都能找到原型.再如，初一圖形初步知識(shí)學(xué)習(xí)之后，教材上曾安排學(xué)生度量三角形的內(nèi)角和，再度量四邊形的內(nèi)角和，意圖讓學(xué)生通過度量這樣的一種實(shí)驗(yàn)的方式直覺感知多邊形內(nèi)角和，為初一下學(xué)期學(xué)習(xí)和證明三角形內(nèi)角和形成鋪墊；該題還要求學(xué)生進(jìn)一步取四邊形的各邊中點(diǎn)，并度量中點(diǎn)四邊形的各邊的長(zhǎng)、各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等，這些實(shí)驗(yàn)操作其實(shí)都對(duì)應(yīng)著初二年級(jí)要學(xué)習(xí)的平行四邊形、中位線性質(zhì).如果我們不了解教材上的這些拓展習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖，不引導(dǎo)學(xué)生重視這些試題的開發(fā)與利用，則可能丟失了很多重要價(jià)值.

2.關(guān)聯(lián)試題的問題背景要簡(jiǎn)潔好懂

關(guān)聯(lián)試題的問題背景需要簡(jiǎn)潔好懂，這樣可以減少學(xué)生“進(jìn)入”該題的障礙，但是需要經(jīng)過確認(rèn)和識(shí)別才能進(jìn)一步理解問題求解的方向與目標(biāo)，并靈活調(diào)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)現(xiàn)求解.這里我們也可提及一些關(guān)聯(lián)試題的問題情境，比如代數(shù)領(lǐng)域，以二次三項(xiàng)式為研究對(duì)象在初一可以引導(dǎo)學(xué)生辨別二次項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)、項(xiàng)數(shù)；而在初二則可安排學(xué)生先運(yùn)用整式乘法得到二次三項(xiàng)式，再逆向因式分解一個(gè)二次三項(xiàng)式，還可以基于完全平方式的角度對(duì)二次三項(xiàng)式的非負(fù)性、最值進(jìn)行初步探究；到初三時(shí)，針對(duì)二次三項(xiàng)式可以從一元二次方程、二次函數(shù)的角度設(shè)計(jì)試題考查.這樣來看，以二次三項(xiàng)式為背景的試題就是一個(gè)很有“數(shù)學(xué)味”的關(guān)聯(lián)試題.

3.關(guān)聯(lián)試題的求解力爭(zhēng)能殊途同歸

所選關(guān)聯(lián)試題作為把關(guān)題的重要教學(xué)引領(lǐng)還在于，鼓勵(lì)和引導(dǎo)師生在平時(shí)教學(xué)中重視那些解法可以殊途同歸的試題，比如可以在不同年級(jí)選用不同方法的試題就值得充分關(guān)注.比如，幾何領(lǐng)域，初二教材上曾要求學(xué)生解決過下面這道經(jīng)典幾何題：

教材習(xí)題如圖3，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°，求證：AM=MN.

圖3

圖4

初二的證明思路是這樣的：在邊AB上截取AE=MC，連接ME.在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.進(jìn)一步證出△AEM≌△MCN，故AM= MN.

該題還可變式成等邊三角形、正多邊形的問題，比如下面的變式：

變式題1：正三角形ABC中（如圖4），N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說明理由.

變式題2：正n邊形ABCD…X，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN的度數(shù)是多少時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立.

講解：變式1，2的結(jié)論仍然成立.初二證明時(shí)還可繼續(xù)采用截取的方式利用全等實(shí)現(xiàn)問題的解決.到了初三圓的學(xué)習(xí)之后，我們還可從結(jié)論出發(fā)，如圖5，若連接AF，則Rt△AEF應(yīng)該是等腰直角三角形，如果作出Rt△AEF的外接圓，有何發(fā)現(xiàn)呢？點(diǎn)C也在這個(gè)圓上嗎？一個(gè)接近問題深層結(jié)構(gòu)的“輔助圓”證法來到眼前！

圖5

圖6

圖7

重要的是，基于外接圓的思路，正三角形問題、正n邊形問題也有類似的結(jié)構(gòu)（如圖6，圖7）.

三、寫在最后

有人說命題基本功是教師專業(yè)精進(jìn)的突破口，筆者深有共鳴.一次考試常常影響著測(cè)試范圍內(nèi)的“全樣本”的師生，不但作為一種教學(xué)反饋，更是一次教學(xué)診斷、評(píng)估和引領(lǐng)，我們提出在把關(guān)題處設(shè)置“關(guān)聯(lián)”試題的想法還是初步的，也是個(gè)性化的一些認(rèn)識(shí)，期待更多命題愛好者的題例跟進(jìn).

1.課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心，編著.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·八年級(jí)上冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2013.

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