●陸 峰 (杭州綠城育華學(xué)校 浙江杭州 310012)

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呈現(xiàn)解法全貌 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——一道立體幾何題的5種解法與4個(gè)變式

●陸 峰 (杭州綠城育華學(xué)校 浙江杭州 310012)

教師在一堂立體幾何課上設(shè)計(jì)了一道求多面體體積的問題，它的5種解法幫助學(xué)生構(gòu)建起求空間幾何體體積的解法體系，4個(gè)變式又向?qū)W生呈現(xiàn)了一個(gè)問題產(chǎn)生與變化的過程，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

立體幾何;幾何體體積;解法體系;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

題目 如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段AB的中點(diǎn)，則四面體D1B1EC的體積為______．

解法1 利用空間向量工具求解(過程略)

點(diǎn)評 空間向量作為處理立體幾何問題的一種有效工具，已成為學(xué)生解決立體幾何問題的首選．本題空間坐標(biāo)系容易建立，數(shù)據(jù)明確，大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇此種方法求解．但不可避免會(huì)遇到空間向量解決立體幾何問題的通?。河?jì)算繁瑣、一處算錯(cuò)整題皆錯(cuò)．空間向量法對于學(xué)生空間想象能力、圖形分析能力的培養(yǎng)也無多大幫助．

圖1 圖2

點(diǎn)評 本解法的關(guān)鍵在于視角的選擇，將四面體視為三棱錐B1-ECD1，與將其視為三棱錐E-B1CD1在后續(xù)的計(jì)算中難度是不相同的．這一視角選擇的過程實(shí)際反映了學(xué)生對圖形的觀察與分析能力的高低；其次在計(jì)算三棱錐高的過程中，學(xué)生又經(jīng)歷了空間幾何體中線線、線面垂直的證明過程，切中立體幾何的考查重點(diǎn)．

解法3 應(yīng)用割補(bǔ)思想求解

如圖3，取線段A1B1的中點(diǎn)J，聯(lián)結(jié)D1J，EJ,則

VE-B1CD1=V正方體-VC-D1B1C1-VB1-EBC-VD1-ECD-VE-JB1D1-

點(diǎn)評 割補(bǔ)思想是求解空間幾何體體積的一種常用方法，學(xué)生在分割、補(bǔ)全圖形時(shí)經(jīng)歷了對圖形中各個(gè)幾何體形狀及位置關(guān)系的分析判斷過程，既培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的圖形分析能力．本題有多種割補(bǔ)方案，可引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行探索．

圖3 圖4

解法4 應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想求解

于是

VE-B1CD1=VB1-ECD1=2VB1-D1EK.

而

故

點(diǎn)評 較之解法2和解法3，解法4對學(xué)生的空間想象和圖形分析能力要求有了更進(jìn)一步的提升．“點(diǎn)K的選擇、4點(diǎn)共面的確定”使學(xué)生經(jīng)歷了線線平行關(guān)系的判斷與證明的思維過程，關(guān)系的得出又充分鍛煉了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力．

解法5 應(yīng)用等積變換思想求解

圖5

如圖5，取線段AA1的中點(diǎn)K，延長線段EK交線段B1A1的延長線于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)D1H．因?yàn)镋H∥CD1，所以EH∥面B1CD1，從而點(diǎn)E到面B1CD1的距離等于點(diǎn)H到面B1CD1的距離，于是VE-B1CD1=VH-B1CD1.而三棱錐H-B1CD1可轉(zhuǎn)換視角為三棱錐C-B1D1H，故

點(diǎn)評 解法5可視為解法4的提升，它有2個(gè)特點(diǎn)：首先，它突破了立方體的框架，將直線和平面向立方體外的空間延伸，突出了空間特點(diǎn)，點(diǎn)亮了學(xué)生的思維；其次，它的計(jì)算過程非常簡潔，可以通過口算完成，充分體現(xiàn)了浙江省立體幾何“思維主導(dǎo)，計(jì)算靠邊”的命題思路．

變式1 點(diǎn)E改變位置會(huì)怎樣？

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段AB的三等分點(diǎn)，則四面體D1B1EC的體積為______．

點(diǎn)評 變式1將點(diǎn)E從中點(diǎn)位置移動(dòng)到了三等分點(diǎn)位置．一個(gè)點(diǎn)位置的改變導(dǎo)致四面體D1B1EC發(fā)生了哪些變化？原題的5種解法是否依然適用于解決本題？哪些解法將變得繁瑣，哪些解法依然簡潔？學(xué)生在解答上述問題的過程中進(jìn)一步加深了對圖形的理解，提升了空間想象能力．

變式2 點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)會(huì)怎樣？

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為1，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體D1B1EC的體積的取值范圍為______．

點(diǎn)評 變式2中的點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，使得原題從一個(gè)靜止求值問題變成一個(gè)動(dòng)態(tài)求范圍問題，學(xué)生思維也從靜變動(dòng)．在求解時(shí)可以通過建立空間直角坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)范圍問題，也可通過探索點(diǎn)E的特殊位置分析點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)對體積產(chǎn)生的影響．

變式3 改變底面形狀會(huì)怎樣？

點(diǎn)評 變式3通過改變底面的形狀來改變幾何體的形狀，可使學(xué)生直觀感知幾何體的變形過程，進(jìn)而建立起幾何體的變形模型．在探索變化及其解法時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生討論、分析四面體D1B1EC體積如何變化，促使學(xué)生形成新的解題感悟．

變式4 改變多面體形狀會(huì)怎樣？

點(diǎn)評 有了變式3的基礎(chǔ)，變式4盡管幾何體的形狀進(jìn)一步發(fā)生改變，學(xué)生依然能比較清晰地掌握圖形的變化過程，正確地分析圖形變換對所求問題產(chǎn)生的影響，進(jìn)而尋求較為合理的解法．這就是我們常說的抓住了學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”．

以上是一個(gè)例題的多種解法及變式的分析，它涵蓋的面很寬，有知識體系、方法體系、思維體系、學(xué)法體系、教法體系．教學(xué)時(shí)向?qū)W生呈現(xiàn)解法全貌，促使學(xué)生形成較全面的解題體系，有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2016-01-27；

2016-04-06.

陸 峰(1977-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)06-28-02