●曹鳳山 (余杭高級中學(xué) 浙江杭州 311000)

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講好數(shù)字背后的故事
——解題教學(xué)的一項(xiàng)基本功

●曹鳳山 (余杭高級中學(xué) 浙江杭州 311000)

解題教學(xué)不是自己解題，也不是幫助學(xué)生解出一道題的結(jié)果，它是以典型的案例為載體，通過具體問題的解決，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用知識，同時(shí)領(lǐng)悟解題策略、方法，提升學(xué)生“自我生長”的能力，從而學(xué)會解題.解題教學(xué)需要教師具備一定的基本功，如“講好數(shù)字背后的故事”.

解題教學(xué);數(shù)字;基本功

數(shù)學(xué)解題教學(xué)和魔術(shù)的相同點(diǎn)是要“妙”，都期望好玩、好看,又截然相反，魔術(shù)要“玄”，不能“穿幫”，解題教學(xué)則必須“穿幫”，不能“玄”，講究瓜熟蒂落、自然天成.

數(shù)字是數(shù)學(xué)試題中最基本的元素，一些問題中數(shù)字的來龍去脈就是問題的核心、題眼，“講好數(shù)字背后的故事”是解題教學(xué)的基本功之一.下面結(jié)合具體案例，探索如何講好數(shù)字背后的“故事”.

1 數(shù)字從何來

例1 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

(2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

從而

因此

評注 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，證明過程流暢、嚴(yán)密、簡捷.關(guān)鍵是式(1)中的數(shù)字“2”從何而來.

同時(shí)

真相大白，數(shù)字并不神秘，背后是樸素的待定系數(shù)法.理解了數(shù)字背后的故事，解決下面的問題是不是信心滿滿？

在方法2中，根據(jù)目標(biāo)的誘導(dǎo)、啟發(fā)，只要化去分母中的“-1”即可.真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)！目標(biāo)提示方法，數(shù)字來源于試題目標(biāo)的啟發(fā)、來源于聯(lián)想，依據(jù)基本的數(shù)學(xué)知識.

考慮一般形式an+1=pan+q(其中p,q是常數(shù)，且p≠1)，假如它可以化成等比數(shù)列{an+λ}的形式，則應(yīng)有an+1+λ=p(an+λ)(其中p,λ是常數(shù)).

對于類似的問題都可以采用待定系數(shù)的方法解決.

練習(xí)2 1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3n(其中n∈N+),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(提示：轉(zhuǎn)化為an+1+λ·5n+1=2(an+λ·5n)或者如問題1).)

3)已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+5·2n+4,a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(提示：轉(zhuǎn)化為an+1+λ·2n+1+μ=3(an+λ·2n+μ)的形式.)

即

9a-6b+4c≥0，

從而

a+2b+4c≥8(b-a).

因?yàn)閎>a，所以

故所求最小值為8.

(1+m)a+(2-m)b+4c≥0.

令f(x0)=0，則

等號成立只要

即

m2-8m=0，

解得m=0或m=8.

當(dāng)m=0時(shí)，

從而

此時(shí)b=-a<0，這與b>a>0矛盾，不合題意.

當(dāng)m=8時(shí)，

從而

此時(shí)b=3a>a，符合題意.

故所求最小值為8.

例3 設(shè)a∈R，當(dāng)x>0時(shí)均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

分析 取x=2，得

(2a-3)2≤0，

恒成立.

評注x=2是如何“懵”出來的呢？

問題轉(zhuǎn)化為

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ax的圖像介于g(x)=x+1與h(x)=x2-1的圖像之間，如圖1，g(x)=x+1與h(x)=x2-1的圖像相交于(2,3)，x=2是2條線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是“不等”與“等”的臨界點(diǎn)，取x=2就很顯然.

圖1 圖2

或者轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>0時(shí)均有

數(shù)字的背后是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，數(shù)字背后是美妙的圖形.

下面這一道高考試題也有異曲同工之妙：

已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x-2，若同時(shí)滿足條件：

①任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；

②存在x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,

則m的取值范圍是______(答案:-4

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

2 數(shù)字有何含義

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=1,

(2)

其中x0,y0∈R,則x0=______，y0=______，|b|=______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

理解了數(shù)字“1”背后的故事，再根據(jù)基本概念、基本定理可以簡捷求解.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)．

2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

圖3

分析 1)略.

3 數(shù)字對解法有何影響

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

( )

(2012年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

( )

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

( )

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

分析 第1)小題設(shè)y=cosα+2sinα，則

y′=-sinα+2cosα=0，

(2016年浙江考試院數(shù)學(xué)調(diào)研試題)

分析 這里分子中a,b,c的系數(shù)分別為1，1，2，聯(lián)想到

a+b+2c=(a+b+c)+c，

觀察函數(shù)特點(diǎn)即f(1)+f(0)，顯然

|f(0)|≤M(a,b,c)， |f(1)|≤M(a,b,c),

從而

這里的數(shù)字提示了解題的方向.

A．[1，3] B．[2，3]

(2015年浙江省六校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題第7題)

圖4

故選D.

以上案例不勝枚舉，方法的選擇離不開具體條件，關(guān)注數(shù)字背后的故事，因“數(shù)”定法是解題的一個(gè)重要角度;講好數(shù)字背后的故事，讓解題有趣、好玩、自然.

[1] 曹鳳山.年年三個(gè)二次 歲歲奇葩爭艷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2013(12):54-55.

[2] 曹鳳山.數(shù)學(xué)教學(xué) 把根留住——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2015(8):3-4.

[3] 曹鳳山.高考試題的源與流、通法與特技[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2013(12):57-58.

2016-03-28；

2016-04-15.

曹鳳山(1967-)，男，山東菏澤人，山東省特級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2016)06-01-04