李發(fā)勇（四川省巴中市巴州區(qū)大和初中）

運(yùn)用模型思想驅(qū)動(dòng)幾何解題有效思考
——以一道幾何題的多種解法探究為例

李發(fā)勇（四川省巴中市巴州區(qū)大和初中）

開放性幾何解題對大多數(shù)學(xué)生來說難以獲得思路突破，對學(xué)生最大的挑戰(zhàn)是問題解決的幾何模型不清晰.通過模型思想創(chuàng)設(shè)學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)，可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生有效思考.以一道經(jīng)典問題的一題多解、拓展變式為例，突破學(xué)生思維障礙，提高學(xué)生幾何解題的有效性.

模型思想；幾何思考；思維障礙；有效性

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練.數(shù)學(xué)離不開解題，解題的靈魂是數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)模型是思想的載體.在幾何教學(xué)中，定義、定理、性質(zhì)所代表的圖形，以及在幾何中經(jīng)常遇到的經(jīng)典圖形和由實(shí)際問題抽象為幾何圖形表示的數(shù)學(xué)問題，我們都稱之為幾何模型.在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉，得出有指導(dǎo)價(jià)值、有典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)遇到一個(gè)幾何圖形問題時(shí)，我們要能辨認(rèn)它屬于哪一類基本模型，或是由哪些基本模型復(fù)合而成.以此為索引，驅(qū)動(dòng)記憶貯存提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是利用數(shù)學(xué)模型解題的策略.

一、對一道經(jīng)典試題模型的解法探究

題目如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上任意一點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線于點(diǎn)F.求證: AE=EF.

圖1

1.相似模型：即利用相等角，構(gòu)造相似三角形

利用隱含條件∠BAE=∠CEF，構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似比為1的三角形全等，獲證相應(yīng)的結(jié)論.

證法1：如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G.

圖2

因?yàn)椤螦EF=∠B=90°，

所以∠BAE=90°-∠AEB=∠FEC.

又因?yàn)椤螧=∠FGE=90°，

所以△ABE∽△EGF.

又∠FCG=∠CFG=45°，

所以CG=FG.

設(shè)EC=a，CG=b，

則BE=BC-EC=AB-a，EG=EC+CG=a+b，

從而得AB=a+b.

所以AB=EG.

所以△ABE≌△EGF.

故AE=EF.

證法2：如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G.

由∠AEF=∠B=90°，得∠BAE=∠FEC，

即tan∠BAE=tan∠FEC，

又∠FCG=∠CFG=45°，

所以CG=FG.

設(shè)EC=a，CG=b，

則BE=BC-EC=AB-a，EG=EC+CG=a+b，

從而得AB=a+b.

所以AB=EG.

所以△ABE≌△EGF.

故AE=EF.

2.對稱模型：利用垂直或角平分線建立軸對稱圖形

利用條件AB⊥BC，添加輔助線建立軸對稱圖形，再利用軸對稱圖形的性質(zhì)，證明相應(yīng)結(jié)論.

證法3：如圖3，延長FC交AB延長線于點(diǎn)A′，

圖3

則點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于BC所在直線對稱.

所以AE=A′E，∠EAB=∠BA′E.

所以∠EAB=∠FEC=∠BA′E，∠BA′C=∠BCA′=45°.

由∠F=∠FCH-∠FEC=45°-∠FEC，∠CA′E=∠BA′C-∠BA′E=45°-∠BA′E，

所以∠F=∠CA′E.

則A′E=EF，即AE=EF.

證法4：如圖4，延長AC至點(diǎn)F′，使CF′=CF，連接EF′.

圖4

因?yàn)椤螰CH=∠F′CH=45°，

則點(diǎn)F與點(diǎn)F′關(guān)于BC所在直線對稱.

所以EF=EF′.

因?yàn)椤螮AB=∠FEC=∠CEF′，

且∠F′=∠F′CH-∠CEF′=45°-∠CEF′，∠CAE=45°-∠EAB，

所以∠F′=∠CAE.

則AE=EF′.

所以AE=EF.

3.全等模型：利用相等角，構(gòu)造全等形

利用隱含條件∠EAB=∠FEH或AB=CB，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，證明有關(guān)結(jié)論.

證法5：如圖5，在AB上截取BP=BE，

圖5

則∠BPE=∠BEP=45°，

因?yàn)锳B=BC，

所以AP=CE.

因?yàn)镃F是角平分線，

所以∠ECF=180°-∠FCH=135°.

又∠APE=180°-∠BPE=135°，

所以∠APE=∠ECF.

因?yàn)椤螦EF=∠B=90°，

所以∠BAE=∠FEC.

所以△APE≌△ECF.

所以AE=EF.

證法6：如圖6，在AB的延長線上截取BP=BE，

圖6

則△ABE≌△CBP.

所以∠BAE=∠BCP，AE=CP.

又∠BAE=∠FEC，

所以∠FEC=∠BCP.

又∠CEP=∠ECF=135°.

所以△EFC≌△CPE.

所以EF=CP.

于是AB=EF.

4.旋轉(zhuǎn)模型：利用有公共頂點(diǎn)的線段，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形

利用已知條件，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形，利用旋轉(zhuǎn)變換的圖形全等，對應(yīng)邊相等，獲得有關(guān)證明.

證法7：如圖7，連接AC，過點(diǎn)E作EP⊥BC，交AC于點(diǎn)P.

圖7

因?yàn)椤螦CB=∠CPE=45°，

所以EP=EC，

且∠APE=∠ECF=135°.

因?yàn)锳B∥PE，

所以∠BAE=∠AEP.

又∠BAE=∠FEC，

于是∠AEP=∠FEC，

則△AEP≌△FEC.

所以AE=EF.

5.圓模型：利用線段同側(cè)等角，構(gòu)造四點(diǎn)共圓

利用線段同側(cè)∠AEF=∠ACF這一條件，構(gòu)造輔助圓，再利用圓的基本性質(zhì)，證得同一個(gè)三角形的兩內(nèi)角相等，最后，利用等角對等邊獲得結(jié)論.

證法8：如圖8，連接AC，AF.

圖8

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以∠ACD=∠ACB=45°.

因?yàn)镃F平分∠DCH.

所以∠DCF=45°.

所以∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°.

又∠AEF=90°.

所以A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.

所以∠EFA=∠ACE=45°.

在Rt△AEF中，∠EAF=90°-∠EFA=45°，

所以∠EAF=∠AFE=45°.

則AE=EF.

二、同類試題探究

題有千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，“宗”即為教材知識(shí)和方法體現(xiàn)的基本數(shù)學(xué)模型.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，數(shù)學(xué)模型是一種常見的解決問題的思考方法.

例1（2015年浙江·溫州卷）如圖9，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)E，DF切半圓于點(diǎn)F．已知∠AEF=135°．

圖9

（1）求證：DF∥AB；

解析：（1）如圖10，連接OF，利用切線的性質(zhì)模型，得∠DFO=90°.再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEF+∠B=180°.由于∠AEF=135°，得出∠B=45°.于是得到∠AOF=2∠B=90°.根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的判定，結(jié)論可證.

圖10

圖11

（2）如圖11，連接OE，OF，由第（1）小題得∠AOF=∠FOB=90°，且BF=OF=OB.由勾股定理可得OF=OB=2.又因?yàn)镺C=CE，CD⊥AB，OE=OF=2，所以由四邊形DCOF是矩形，得CD=OF=2.所以DE=2-

例2（2015年湖北·武漢卷）如圖12，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC，EF的中點(diǎn)，直線AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M．當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是（）.

圖12

圖13

解析：如圖13，連接AD，DG.根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，容易發(fā)現(xiàn)∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°.所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠DGA+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°.故點(diǎn)M始終在以AC為直徑的圓上，作出該圓，設(shè)圓心為點(diǎn)O，連接BO，與⊙O相交于點(diǎn)P，線段BP的長即為線段BM長的最小值.得B故此題選D.

借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出解題思路是分析有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的重要方法.

事實(shí)上，每一道幾何題目背后都有著一定的法則和規(guī)律，每一類題都有著相似的解題思想，這種思想的集中體現(xiàn)，便是模型.模型有形似、神似、融匯之分，難度由淺入深，可以通過多總結(jié)，多應(yīng)用，深思考，來熟悉不同模型的解題思路和方法，按照模型并根據(jù)圖形特點(diǎn)思考解法.通過一題多解、拓展變式發(fā)現(xiàn)模型之間的相互關(guān)系，增強(qiáng)自己對模型的理解深度，為幾何學(xué)習(xí)和運(yùn)用添彩增效.有效利用模型的概括性和對解題思路的啟發(fā)作用，促進(jìn)學(xué)生有效解題.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］王堯興.幾何圖形中利用基本模型解題例析［J］.理科考試研究，2014（9）：1-2.

2016—08—18

李發(fā)勇（1964—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教材、教學(xué)、解題及命題研究.