于彬（山東省東營市勝利第六中學）

導學引路反思通幽拓展入勝
——以“角的平分線的性質(zhì)（1）”為例

于彬（山東省東營市勝利第六中學）

“反思”教學法自2009年開始實踐和研究以來，取得了一系列的成果.結合“角的平分線的性質(zhì)（1）”對“反思”教學法的設計思路進行初步梳理：導學引路；反思通幽；拓展入勝.

“反思”教學法；角的平分線的性質(zhì)；教學案例

一、緣起

“反思”教學法自2009年開始實施和研究以來，取得了一系列的成果：2011年成功立項于山東省教育科學十二五規(guī)劃重點課題，且于2015年7月順利結題；在山東省東營市首屆優(yōu)秀教學法評比中獲一等獎.筆者于2015年10月參加東營市青年教師優(yōu)質(zhì)課評比，利用“反思”教學法設計的“角的平分線的性質(zhì)（1）”獲得優(yōu)異成績，下面結合該教學案例對“反思”教學法進行簡單介紹，并對其設計思路進行初步梳理.

二、教學案例

1.教學內(nèi)容

人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第十二章第三節(jié)“角的平分線的性質(zhì)（1）”，在教材的第48～50頁.

2.教學背景

（1）標準分析.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）對本節(jié)課教學內(nèi)容的要求如下.

①能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一個角的平分線；

②探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

可以看出“能”屬于描述結果目標的行為動詞，且屬于較高層級的要求；“證明”也屬于描述結果目標的行為動詞，而“探索”則屬于描述過程目標的行為動詞，兩者都是很高的層級要求，因此在教學過程中應引起教師的足夠重視.

（2）教材分析.

本節(jié)課的教學內(nèi)容是學生在小學階段對角平分線有了感性認識，進入初中學習了全等三角形的相關知識以后，對角平分線的相關內(nèi)容（尺規(guī)作圖、性質(zhì)）的進一步學習，為后續(xù)學習線段垂直平分線的性質(zhì)提供了研究思路和方法，同時又為證明線段相等、角相等提供了新的工具，在教材中起到了“源于全等，超越全等”的承前啟后的重要作用.

本節(jié)課主要包括兩個知識點：

①用尺規(guī)作一個角的平分線；

②角平分線所具有的性質(zhì).

對于第一個知識點學生在小學階段就已經(jīng)知道了角平分線的概念，雖然如何用尺規(guī)嚴格作出一個角的平分線對學生的理解可能會有一定的難度，但是通過閱讀教材和合作交流的方式是可以自主解決的；對于第二個知識點關鍵是學生能否將性質(zhì)定理的證明和前面所學習的全等三角形的相關知識建立聯(lián)系，進而對性質(zhì)定理給出證明.因此，本節(jié)課的教學重點是：探索并證明角的平分線的性質(zhì).

（3）學情分析.

學生在小學階段對幾何的學習主要是實驗幾何的范疇，進入初中，通過對平行線、全等三角形的學習，雖然對論證幾何有了一定的認識，但是學生并沒有形成嚴密的推理能力，演繹推理的能力較差，再加上部分學生對前面全等三角形的相關內(nèi)容掌握得并不熟練，特別是對相關定理的三種語言不能靈活轉化，因此本節(jié)課的教學難點是：將文字語言形式給出的角的平分線的性質(zhì)定理轉化為符號語言，并給出嚴格證明.

3.教學目標

結合《標準》及學生的實際情況，和本節(jié)課的教學內(nèi)容特制訂如下教學目標.

（1）通過閱讀教材和合作交流，能用尺規(guī)作圖作出一個角的平分線，并說出每一步的作圖依據(jù)；

（2）通過動手實驗、畫板演示和幾何推理，探索并證明角的平分線的性質(zhì)，并能利用性質(zhì)解決簡單的問題；

（3）在問題解決過程中體會數(shù)學的嚴謹性，在小組交流和自主探索中體驗成功的樂趣.

4.教學結構

“教師主導”主線：創(chuàng)設情境→嘗試解疑→揭示規(guī)律→解決問題→變式訓練→達標檢測.

“學生反思”主線：疑點反思→問題反思→達成反思→應用反思→方法反思→總結反思.

本節(jié)課的教學結構如下.

在教學過程中主要采用學校的“反思”教學法，通過“教師主導”和“學生反思”這兩條主線，真正把“教師為主導，學生為主體”的新課程理念滲透到教學過程的各個環(huán)節(jié)中，以教師反思為出發(fā)點，學生反思為著力點，從而實現(xiàn)“兩能”到“四能”的重大突破，即在培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的基礎上，進一步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

在學法上主要采用小組合作和自主探究的學習方式，力求培養(yǎng)學生自主學習的能力和在現(xiàn)實生活和學習中合作的態(tài)度和意識.

5.教學過程

（1）創(chuàng)設情境，疑點反思（預設時間3分鐘）.

問題：在練習本上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？

反思1：你能評價這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中這些方法是否可行？

【設計意圖】《標準》指出：呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應該貼近學生的現(xiàn)實，學生的現(xiàn)實主要包括生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實和其他學科現(xiàn)實.這里以“數(shù)學現(xiàn)實”的形式引入新課，意在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維；通過反思1引導學生產(chǎn)生疑惑，從而對本節(jié)課的學習內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣，進而快速融入本節(jié)課的學習.

（2）嘗試解疑，問題反思（預設時間6分鐘）.

導學1：閱讀教材第48頁的第一個思考和角的平分線的作法，完成下列問題.

（1）角平分儀器的數(shù)學道理是什么？你能說清楚嗎？和同桌交流一下.

（2）按照三個步驟，動手作任意一個角的平分線，并說出每一步的作圖依據(jù).

【設計意圖】本環(huán)節(jié)的導學1的第（1）小題意在培養(yǎng)學生的閱讀能力和學生的思維能力，學生在同桌交流的基礎上進行全班展示，教師進行適時評價和點撥；導學1的第（2）小題意在培養(yǎng)學生的動手能力，使學生在安靜的作圖環(huán)境中思考作圖依據(jù)，最后請一位學生到講臺上邊講邊畫，引導學生體會數(shù)學思維的嚴密性.

拓展1：古希臘數(shù)學家歐幾里得（公元前330年—公元前275年）最早在其著作《幾何原本》中給出了尺規(guī)作一個角的平分線的方法，學生可以在課下查閱相關資料，了解更多與尺規(guī)作圖有關的知識.

【設計意圖】引入相關數(shù)學史的知識，意在培養(yǎng)學生欣賞的眼光，同時培養(yǎng)學生學習數(shù)學的樂趣.

（3）揭示規(guī)律，達成反思（預設時間12分鐘）.

導學2：（1）畫一畫.在上述作圖的基礎上，完成第48頁的第二個思考.

（2）猜一猜.猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

（3）驗一驗.通過幾何畫板軟件演示.

（4）證一證.條件：如圖1，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，結論：PD=PE.

圖1

反思3：證明一個文字敘述的幾何命題時，步驟有哪些？

【設計意圖】通過“畫一畫、猜一猜、驗一驗、證一證”四個環(huán)節(jié)引導學生在動手實驗、畫板演示和幾何推理中探索并證明角的平分線所具有的性質(zhì)，環(huán)節(jié)（3）通過幾何畫板軟件動態(tài)演示，引導學生初步驗證猜想的正確性，同時體會幾何嚴格證明的必要性；環(huán)節(jié)（4）應引起足夠的重視，應該引導學生在分清條件和結論的基礎上，根據(jù)圖形，寫出符號語言，并結合三角形全等的知識給出證明，意在培養(yǎng)學生的幾何推理能力.反思3引導學生總結證明文字敘述的命題時的一般步驟.

（4）解決問題，應用反思（預設時間6分鐘）.

例（教材第50頁例題）如圖2，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.

圖2

反思4：角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？

【設計意圖】通過例題的講解初步鞏固角的平分線的性質(zhì)，在講解之前教師先讓學生獨立思考，然后小組交流，派代表回答，教師適時點撥，重點引領學生體會輔助線的作法，并板演證明過程.通過反思4意在引導學生體會角平分線的性質(zhì)在證明線段相等（角相等）時所起的簡捷作用，領會“源于全等，超越全等”的內(nèi)涵.

（5）變式訓練，方法反思（預設時間5分鐘）.

①判斷，并說明理由.

如圖3，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點，則PD=PE.

圖3

如圖4，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，則PD=PE.

圖4

如圖5，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為點D.若PD=3，則點P到OB的距離為3.

圖5

②如圖6，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn).求證：EB=FC.

圖6

【設計意圖】通過第①題引起學生對角的平分線的性質(zhì)中條件的注意，通過第②題引導學生用角的平分線的性質(zhì)解決相關的數(shù)學問題.

（6）總結反思，達標檢測（預設時間8分鐘）.

總結反思：

①知識；②思想（轉化）；③有待繼續(xù)研究的問題.

【設計意圖】引導學生在知識總結的同時，注意思想方法（轉化）的總結，在“授之以魚”的基礎上“授之以漁”，使學生真正掌握解決問題的方法，引導學生將本節(jié)課所學性質(zhì)定理的條件和結論互換是否仍然成立，進而做好下節(jié)課的預習工作.

達標檢測：

（1）P是∠AOB的平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為點C，D.下列結論不一定成立的是（）.

（A）∠AOP=∠BOP（B）PC=PD

（C）∠OPC=∠OPD（D）OP=PC+PD

（2）一個加油站恰好位于兩條公路m，n所夾角的平分線上，若加油站到公路m的距離為50米，則它到公路n的距離是________.

（3）如圖7，在△ABC中，∠B的外角平分線BD與∠C的外角平分線CE相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.

圖7

【設計意圖】通過第（1）小題考查學生對角平分線性質(zhì)的理解情況；通過第（2）小題考查學生運用角的平分線的性質(zhì)解決簡單實際問題的能力；通過第（3）小題進一步培養(yǎng)學生幾何推理的能力.在學生做題過程中，教師來到學生中間巡視，試圖發(fā)現(xiàn)學生存在的典型錯誤，并通過投影儀展示部分學生的完成情況，邊投影邊講解，做到有目的性、有針對性，力爭使學生做到“堂堂清、步步清、人人清”.

布置作業(yè)：

必做題：

教材第50頁練習第1題；第51頁習題第4，5題.

選做題：

拓展2：角的平分線的性質(zhì)可以解決現(xiàn)實生活中的相關問題，請同學們課下查閱相關資料，在下次上課時互動交流.

每日一思：

每日一思知識思想易錯點

【設計意圖】通過分層作業(yè)的設置，對不同的學生提出不同的要求，使“不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”；通過每日一思引導學生進一步反思所學內(nèi)容，在對知識和思想總結的同時，特別注意對易錯點的總結，進而養(yǎng)成良好的反思習慣.

6.板書設計

本節(jié)課的板書設計如下.

12.3角的平分線的性質(zhì)

【設計意圖】板書作為傳統(tǒng)的教學媒體在教學過程中發(fā)揮著新興教學媒體所不可替代的作用，在板書設計時，力求做到結構清晰，重點突出，便于學生課上記錄和課下復習.

三、幾點思考

1.導學引路

筆者聽過很多公開課，大多以新課程理念為“借口”，把課堂還給學生，殊不知在課堂教學中，學生由于任務目標不明確，大多無所適從，不知如何下手，因此課堂教學并沒有收到預期的效果.

在設計導學環(huán)節(jié)時首先考慮學生的實際認知情況，也就是說用來設計導學環(huán)節(jié)的知識應該是學生通過閱讀教材、動手操作、獨立思考就可以解決的簡單內(nèi)容，符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”.例如，本課例中設計的導學1和導學2都是學生“觸手可及”的，“看的見、摸的著”的基礎知識.在設計導學環(huán)節(jié)時應該做到任務明確、目標清晰，讓學生知道如何下手，達到一個什么目的，而不是模棱兩可.例如，本節(jié)課的導學1就以任務清單的形式給出，導學2結合教材的“思考”進行設計，簡潔明了，可操作性強.因此，導學環(huán)節(jié)在課堂教學中起到了“基礎性、奠基式”的作用，重在鋪好路子，引導學生“走向”知識.

2.反思通幽

反思是以元認知理論為基礎的，而元認知是對認知的認知，可以理解為“以旁觀者的角度審視自己的行為”.反思對于教師的重要性不言而喻，“經(jīng)驗+反思=成長”，這是波斯納的教師成長公式；反思對于學生同樣不可小覷，反思即批判性思維，而批判性思維的同義詞就是創(chuàng)新意識，《標準》更加重視對學生學習習慣（認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑）的培養(yǎng)，反思恰在其中.

本課例共設計了4個反思性小問題，以及最后的總結反思和每日一思，可以說意圖是非常明確的，那就是把學生的思維引入深處，進而達到“通幽”的目的，從而觸及知識的核心.反思環(huán)節(jié)的設置可以是和學生的實際認知產(chǎn)生矛盾，從而激發(fā)興趣，如反思1；反思環(huán)節(jié)的教學中尤其需要教師的引領和點撥，如反思2和反思4；反思環(huán)節(jié)的設置也可以引導學生進行階段總結和最終總結，如反思3、總結反思和每日一思.

3.拓展入勝

《標準》更加重視對學生情感、態(tài)度、價值觀的培育，更加重視對學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)，在許多教學目標中也都有所涉及，然而情況并不樂觀.

本課例在設計時共設計了2個拓展環(huán)節(jié)，意在真正培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生愛上數(shù)學，喜歡數(shù)學，進而達到引“生”入勝的目的.例如，可以以數(shù)學史的形式呈現(xiàn)一些教學內(nèi)容，讓學生體會知識的形成過程；也可以引導學生借助網(wǎng)絡查閱相關資料，豐富眼界，拓寬視野.

四、結束語

伴隨著新一輪課程改革，課堂教學發(fā)生了翻天覆地的變化，各種教學方法層出不窮，甚至是“泥沙俱下”，作為一線教師如何立足課堂、著眼學生顯得至關重要，當然我們所做的一些嘗試和所進行的一些思考，未必準確，更不一定正確，歡迎各位專家和同行批評、指正.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2016—09—28

山東省東營市教育科學“十二五”規(guī)劃課題——“反思性課堂教學模式”下中學作業(yè)改革的研究與實踐（125DYJG195）；山東省東營市教育科學“十二五”規(guī)劃課題——“導學·反思”和諧高效課堂教學的實踐與研究（125DYJG210）.

于彬（1984—），男，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教學研究.