陸祥雪（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）

給學(xué)生的解答一個說法

陸祥雪（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）

提高習(xí)題教學(xué)效果是教師在教學(xué)中一直在探索的問題.通過對學(xué)生常見的三種解題想法的分析，從學(xué)生的自然想法出發(fā)，利用生成的資源，落腳于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，來進(jìn)行習(xí)題教學(xué)是提高習(xí)題教學(xué)效果的方法之一.

學(xué)生解答；動態(tài)生成；靜觀傾聽

數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)過程中，離不開解題.教師對題目的解答，往往是基于教師本人對題目理解或來源于參考答案，因而受到教師自身知識水平、思維水平等個性特點(diǎn)的限制，而四五十個個性各異的學(xué)生對同一個問題會產(chǎn)生許多的理解，這樣對教師來說就有許多想不到的問題.實際的習(xí)題教學(xué)過程也就是一個動態(tài)生成的過程，在這個過程中，常常會生成一些新的教學(xué)資源、教學(xué)問題，需要教師能夠耐心靜觀、細(xì)心傾聽、及時把握、因勢利導(dǎo)，適時調(diào)整習(xí)題教學(xué)的預(yù)案，避免讓“死”的教案支配和限制了“活”的學(xué)生，遏止了學(xué)生的思想與活力.只有在教學(xué)活動中及時為生成而變奏，隨著思想不斷碰撞，學(xué)生的創(chuàng)新火花才有可能迸發(fā)，新的學(xué)習(xí)需求、認(rèn)識和體驗才能不斷加深.綜觀學(xué)生的練習(xí)中的解答，有創(chuàng)新的解答、有不完全對的解答、有全錯的解答.如何利用這些解答為教學(xué)服務(wù)，也值得我們進(jìn)行研究、探討.

一、給閃光的解答一個“贊”

學(xué)生的解答從結(jié)論來看，不是正確的，就是錯誤的，但在正確的解答中，有優(yōu)秀的、亮點(diǎn)的解答，也有些過程繁雜、迂回繞彎、表述不清、邏輯混亂的解法.對有閃光點(diǎn)的解答，教師及時給予表揚(yáng)鼓勵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有了愉悅的情感體驗，就會樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的堅定信心，才能保持對數(shù)學(xué)的長久興趣.

這道題在學(xué)習(xí)完平方差公式后，常被用來作為例題，用來說明平方差公式變化使用.筆者在分析算式的結(jié)構(gòu)特征后，按下列方法講解.

由2n的末位數(shù)的規(guī)律，可得232末位數(shù)為6.

教師預(yù)設(shè)方法，可謂是神奇無比.可是在實際教學(xué)中，未等筆者講完此題，就有學(xué)生舉手.

生1：老師，我有不同的解法，根本不需要用平方差公式.

師：你說說看.

生1：因為22+1=5，而2+1，24+1，28+1，216+1均為奇數(shù)，一個奇數(shù)與5相乘，末位數(shù)是5，這樣原式的末位數(shù)是6.

師：這個解法太妙了，避免了煩瑣的計算，直接根據(jù)奇偶特征就能得出正確結(jié)果，比我的解法好多了.

學(xué)生們給出了熱烈的掌聲，給生1的解法以贊許.生1能提出此題的新穎解法，說明他能積極參與教學(xué)活動，解題時能注意觀察問題的特點(diǎn)，善于聯(lián)想，且具有比較充足的知識儲備；對問題能獨(dú)立思考，嘗試從不同的角度思考問題，分析問題；在向教師和其他學(xué)生敘述他的解答時，能有條理地表達(dá)自己的思考過程，具有較強(qiáng)的語言表達(dá)能力.生1的解答為教師和學(xué)生擴(kuò)大了對這個問題的認(rèn)識，對其他學(xué)生應(yīng)怎樣對待數(shù)學(xué)問題也起到一個示范、激勵作用.

為了強(qiáng)化生1的解法，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，師生又進(jìn)行了如下的教學(xué)活動.

師：根據(jù)生1的解法，我們可以將原題更一般化處理，誰說說看.

生2：求(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)(25+1)(26+1)+1的末位數(shù).

生3：可以更一般化為：求(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)· (25+1)(26+1)·…·(2n+1)+1的末位數(shù).

其他學(xué)生根據(jù)生1的解答方法，都很快得到這兩道變式題的末位數(shù)都是6.

師：怎么這么快就得到答案的.

生：我們是用的生1的解法.

師：好！大家看來對生1的解法比較感興趣，下面看看老師給的這道題怎么求.

題目求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1值的末位數(shù).

教室靜悄悄，學(xué)生都在認(rèn)真地思考、運(yùn)算，教師在巡視，過了幾分鐘有學(xué)生舉手，教師選取兩名學(xué)生去黑板板演.

生4：原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)· (316+1)+1=…=332，由3n的末位數(shù)的規(guī)律可得，原式值的末位數(shù)為1.

生5：因為32+1=10，所以2(3+1)(32+1)(34+1)· (38+1)(316+1)的末位數(shù)是0，所以原式值的末位數(shù)為1.

教師給予適當(dāng)點(diǎn)評，表揚(yáng)學(xué)生都能積極投入課堂，認(rèn)真聽講，并能將所學(xué)方法運(yùn)用到新的問題中，同時鼓勵學(xué)生課后對此類問題進(jìn)行深入的研究，是否都可以用這兩種方法來解.

固定的思維方法在解題中有積極的一面，也有消極的影響，當(dāng)學(xué)生掌握了某一種知識（方法），往往習(xí)慣用類似的舊知識（方法）去思考問題，這樣必然會出現(xiàn)思維的惰性，影響解題的速度，使解題過程繁冗不堪.教師年復(fù)一年的教學(xué)，如果在教學(xué)過程中，不重視經(jīng)常性的反思，這種固定的思維方法會比學(xué)生顯得還嚴(yán)重.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，評價不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展和變化.學(xué)生能提出新的解法，充分體現(xiàn)了他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主觀能動性，體現(xiàn)了他對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極態(tài)度.如果教師僅對學(xué)生的解答是否正確做出判斷，沒有給出一定的贊揚(yáng)與肯定，容易使學(xué)生認(rèn)為自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，沒有必要提出不同的解法、見解或質(zhì)疑等，只要順從教師就行，就是說學(xué)生沒有從大膽表達(dá)中獲得成功經(jīng)驗，也許會降低他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能期望.如果教師能善于捕捉學(xué)生創(chuàng)造性思維的火花，向?qū)W生學(xué)習(xí)，那么自己的知識也會得到更新；如果教師不能轉(zhuǎn)變身份，仍抱有師道尊嚴(yán)的舊思想，對學(xué)生采用打壓政策，一味地要求學(xué)生遵循自己的解法，不僅會影響學(xué)生的解題能力的發(fā)展，更容易損傷學(xué)生可貴的探索欲望和創(chuàng)新意識.學(xué)之道在于“悟”，課堂上盡量讓學(xué)生多做、多讀、多想、多交流.在學(xué)生學(xué)會分析和解決問題的同時，提供發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會，對學(xué)生有創(chuàng)新的地方，要及時給予展示，并對其在學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等方面的情況，具體地予以表揚(yáng)與鼓勵.為此我們要創(chuàng)造寬松、和諧的課堂學(xué)習(xí)氛圍.教師對學(xué)生解答中的閃光點(diǎn)，請不要吝嗇心中的“贊”.

波利亞在“怎樣解題表”的第四個階段——回顧中指出：常問問自己“能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？能否把這一方法用于其他的問題？”教師解題不能滿足于求出解，更要注意回顧反思，不能犯經(jīng)驗主義的錯誤.

教育教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)是我們的教育對象——學(xué)生.教育要尊重學(xué)生，教師要傾聽學(xué)生，以平等、尊重的態(tài)度與學(xué)生共同參與、共同探索、共同分享教學(xué)活動成果.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)與眾不同的思路或錯誤時，都要仔細(xì)傾聽，充分暴露學(xué)生的思維過程.精彩的要鼓勵，給學(xué)生一個“贊”，膽怯的要啟發(fā)，錯誤的要引導(dǎo)，不輕易否定學(xué)生的發(fā)言，挫傷學(xué)生的積極性.

二、給可行的解答一個“續(xù)”

在學(xué)生的錯誤解答中，有知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤.在這些錯誤中，教師只要進(jìn)行相關(guān)的修正，就能獲得正確的解法.但有的學(xué)生的解法不是在教師預(yù)設(shè)的道路上的錯誤，這時教師該怎么辦？教師還是要傾聽、思考，充分利用學(xué)生的“生成”.

例2關(guān)于x的不等式2x+1＜m的正整數(shù)解只有1，2，求m的取值范圍.

生1（板演）：把x=1代入2x+1＜m，得m＞3；

把x=2代入2x+1＜m，得m＞5.

所以m＞5.

教師巡視其余學(xué)生解答，發(fā)現(xiàn)基本上都是這樣解的.于是，教師分析其解法是利用了不等式的解的定義來解的.由于學(xué)生們基本上是這么解的，為了制造一種認(rèn)知沖突，決定先給出對結(jié)論的評價，再做分析.

師：m＞5的結(jié)論是不正確的，誰能說明.

生2：通過舉例驗證說明這個結(jié)果是錯誤的.例如，取m=10，則2x+1＜10，解得x＜4.5.所以正整數(shù)解為1，2，3，4.

師：錯誤的原因是什么呢？

生3：條件中說“正整數(shù)解只有1，2”與“1，2是不等式的解”是有區(qū)別的.條件中“正整數(shù)解只有1，2”，就是說3就不是不等式的解了.

師：那么生1的思路能不能繼續(xù)下去呢？解法中有合理的成分嗎？

生4（接著生1的解法）：因為x=3不是2x+1＜m的解，所以6+1≥m.所以m≤7.所以5＜m≤7.

生5：老師，x=4，5，6，…，也不是2x+1＜m的解，為什么不用這些條件呢？

此時也有不少學(xué)生附和，學(xué)生提的問題確實不錯，看來生4的解法還是不很完備，教師必須在課堂給予釋疑.

師：生5提的問題很不錯，我們一起來思考一下，怎么來處理.

學(xué)生經(jīng)過演算發(fā)現(xiàn)，8+1≥m，10+1≥m，…，根據(jù)“同小取小”，最后的結(jié)果還是m≤7.

師：因為2x+1隨x的增大而增大，所以根據(jù)不等式組解集的取法，得m≤7.所以要完整的寫出解答，還必須在生4的解答過程中加上這一段.

由學(xué)生生成的解答到此就分析完備.接著教師把預(yù)設(shè)的解法進(jìn)行了介紹.

圖1

數(shù)軸解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

學(xué)生是從不等式解的定義去想的，我們的教學(xué)起點(diǎn)應(yīng)該是從學(xué)生的認(rèn)識開始.所以教師不能因為學(xué)生的想法與教師預(yù)設(shè)的不同，就輕易的加以否定，對于由于學(xué)生認(rèn)識的不足產(chǎn)生的不完整的解法，要給一個“續(xù)”.由于解法生成于學(xué)生的思路，落腳于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，也就更能被學(xué)生接受.學(xué)生的解的缺點(diǎn)在于所求得的m的取值范圍，能保證不等式有整數(shù)解1，2，但不是只有這兩個，這就不符合題意.此題是一個關(guān)于不等式的逆向問題，利用學(xué)生的錯解生成新的解法.學(xué)生通過對解法的比較，對這兩種解法的區(qū)別有了更清楚的認(rèn)識，也就容易掌握這兩種方法.為了鞏固方法，必要的跟蹤練習(xí)是不可少的.

練習(xí)：（1）已知關(guān)于x的不等式2x+1＞m，只有3個負(fù)整數(shù)解，求m的取值范圍.

（2）已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，且x=1不是這個不等式的解，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

（A）a＞1（B）a≤2

（C）1＜a≤2（D）1≤a≤2

到底學(xué)生的解法能否繼續(xù)下去，是對教師的一個考驗，是一個值得思考的問題.如果教師輕易將學(xué)生的解答予以否定，那么學(xué)生就喪失了一次進(jìn)步的機(jī)會.為此教師需要具有正確的教育理念、扎實的教學(xué)功底，以及駕馭課堂的氣魄和能力.教師在例題教學(xué)時，應(yīng)先研究例題，這不僅僅是為了得到一個結(jié)論或方法，要仔細(xì)考慮哪些思路走不通；哪些思路走得通，但麻煩；哪些思路是捷徑，做到胸有成竹.學(xué)生的解法能不能“續(xù)”下去，如課堂上不能給出肯定或否定回答，課后教師要繼續(xù)鉆研，直至將問題弄清楚為止，給學(xué)生一個徹底的交代，使學(xué)生知其然，更知其所以然，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性精神.

三、給錯誤的解答一個“理”

學(xué)生出錯并不可怕，可怕的是犯了錯誤卻不自知.現(xiàn)在不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的解答被教師打了個“×”，不是尋找錯因，而是看別人的正確解答是什么，以致在同一個地方摔倒多次卻不自糾.教師培養(yǎng)學(xué)生糾錯的習(xí)慣的一個途徑，就是師生應(yīng)在交流互動中剖析錯誤的來龍去脈，尋找錯誤背后隱含的教育價值，引領(lǐng)學(xué)生錯中求正，敗中求勝，給學(xué)生以示范，使其認(rèn)識到糾錯對學(xué)習(xí)的作用.

例3已知，如圖2，在菱形ABCD中，∠A=72°，試設(shè)計三種不同的分法，將菱形ABCD分割成四個三角形，使每個三角形都是等腰三角形（不寫畫法，在圖中注明所分得的等腰三角形各個角的度數(shù)）.

圖2

有學(xué)生給出了如圖3所示的解法.

圖3

學(xué)生的這種分割方法表面上看不出問題，角的度數(shù)均適合要求，看似無縫，其實不然.筆者決定充分利用這種生成的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生客觀地分析出錯的原因，讓學(xué)生知其然，知其所以然，及時對學(xué)生解答中的錯誤給出一個“理”，讓錯解在教學(xué)中發(fā)揮正向作用.

（1）此題是一道操作題，我們可以實際操作，準(zhǔn)確畫圖，從中發(fā)現(xiàn)錯誤.

方法1：①畫△ADE與△BCF，并使得∠ADE=∠CBF=36°，則△ADE與△BCF均是等腰三角形；

②過點(diǎn)E作AD的平行線交BF于點(diǎn)G，顯然EG與BF的交點(diǎn)是點(diǎn)G，不是點(diǎn)F，如圖4所示.

圖4

直觀告訴我們，圖3的分割方法是錯誤的.

方法2：①畫△ADE與△BCF，并使得∠ADE=∠CBF=36°，則△ADE與△BCF均是等腰三角形；

②連接EF，度量∠DEF與∠BFE的度數(shù)約為21°，離36°相差甚遠(yuǎn).度量的結(jié)果告訴我們，圖3的分割方法是錯誤的.

（2）錯因探尋：從作圖過程可以看出，當(dāng)將∠ADE=∠CBF=36°畫出后，點(diǎn)E，F(xiàn)的位置就確定了，這時∠DEF的大小也就定下來了.錯解的學(xué)生犯了潛在假設(shè)的錯誤，默認(rèn)了ED=EF，從而從角度方面不會發(fā)現(xiàn)問題.

（3）推理說明：若圖3的分割是正確的，則AD=2AE.而由正弦定理，知即 AD＜2AE.所以圖3的分割是不正確的.不過，上述方法不適合初中學(xué)生，得另辟道路來說明.

即若圖3的分割是正確的，則在△ADE中，有AD=2AE，在∠DEA內(nèi)部作∠DEG=36°，交AD于點(diǎn)G（如圖5），易得DG=GE=AE，而在△AEG中，AG＜AE，所以AD＜2AE.所以圖3的分割是不正確的.

圖5

錯誤不絕對是壞東西.首先發(fā)現(xiàn)錯誤，可以培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑、反思的習(xí)慣，對提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、元認(rèn)知的能力有很大的幫助；其次是對錯誤原因的探索、說明，可以達(dá)到糾錯的目的.糾錯是解題教學(xué)的一項重要內(nèi)容，糾錯能力是解題能力的一個重要構(gòu)成，通過糾錯可以發(fā)展思維的正確性、嚴(yán)密性、完整性和批判性.教師在平時的教學(xué)中，要注意認(rèn)真閱讀學(xué)生的解答，特別是對學(xué)生的答卷更要仔細(xì)分析，探究學(xué)生錯誤解答背后的深層次原因.對學(xué)生的錯誤教師也要準(zhǔn)備一本錯題集，以起到防范未然、改進(jìn)教學(xué)的作用.另外，利用錯解重新編題，加深對錯誤的認(rèn)識，這在糾錯的過程中也是必要的.如針對例3中學(xué)生的錯誤可編擬出下面的問題，作為學(xué)生課后練習(xí)用.

例3改編題：如圖6，在菱形ABDE中，AC，CF，F(xiàn)D將菱形分割成4個全等的等腰三角形，AB，AC，CF，DF，DE是腰，試求∠B的正切值.

圖6

此題通過將原題中學(xué)生的錯誤分法作為條件，通過求∠B的正切值，讓學(xué)生知道，要能按圖6的方法分割菱形，菱形必須具備的條件.從而從另外一個角度說明例3中所給的圖3的分割方法是不正確的.同時，使學(xué)生意識到說明一個假命題的推理方法與說明一個真命題一樣也具有多樣性.

新課程強(qiáng)調(diào)，教學(xué)過程是師生互動、生生互動的多維度動態(tài)過程，開放、互動的課堂具有較強(qiáng)的資源性.在解題教學(xué)中，教師要切實關(guān)注學(xué)生的想法，充分利用好學(xué)生的想法，對提高解題教學(xué)的效果是十分有益的.同時，也能促進(jìn)教師的成長，達(dá)到師生共同進(jìn)步的目的.

［1］喻平.著名特級教師教學(xué)思想錄［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

2016—08—14

陸祥雪（1965—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育及教學(xué)研究.