鐘握軍，羅 穎，賴 偉

(贛南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，江西 贛州 341000)

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·光子學(xué)與光子技術(shù)·

在施溫格表象下討論約瑟夫森效應(yīng)*

鐘握軍，羅 穎，賴 偉

(贛南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，江西 贛州 341000)

用角動(dòng)量算符的施溫格表象研究約瑟夫森效應(yīng)，得到了表征約瑟夫森效應(yīng)的約瑟夫森方程，并將此方法與現(xiàn)有研究該效應(yīng)的方法進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)此方法不僅能給出相同的結(jié)果，還能更加細(xì)致地描述約瑟夫森效應(yīng)這一物理過程的微觀結(jié)構(gòu).

約瑟夫森方程； 角動(dòng)量算符； 施溫格表象

1962年，B. D. Josephson在理論上預(yù)言，將兩塊同樣的超導(dǎo)體用一個(gè)絕緣薄層連接起來，當(dāng)絕緣層的厚度足夠小時(shí)，一側(cè)超導(dǎo)體中的庫珀電子對(duì)(Cooper electron pair)將能隧穿絕緣層，進(jìn)入到另一側(cè)的超導(dǎo)體中，在結(jié)中形成約瑟夫森隧穿電流，這就是約瑟夫森效應(yīng)[1].約瑟夫森效應(yīng)是一種宏觀量子效應(yīng)，其理論意義重大[2]，是少有的幾種宏觀量子效應(yīng)之一，且該效應(yīng)在電子學(xué)領(lǐng)域也有十分廣泛的應(yīng)用[3].

基于約瑟夫森效應(yīng)的上述典型性和重要性，本科的量子力學(xué)課程以及固體物理課程對(duì)之均有介紹或討論[4-8]，且這些討論均是在量子力學(xué)的波動(dòng)形式下進(jìn)行的.本文從量子力學(xué)的矩陣形式下角動(dòng)量的施溫格表象出發(fā)，用算符去討論約瑟夫森效應(yīng)，并推導(dǎo)出約瑟夫森方程.通過新的方法將對(duì)約瑟夫森效應(yīng)的本質(zhì)有進(jìn)一步的了解，并且將其與通常的方法進(jìn)行比較，分析它們的優(yōu)缺點(diǎn).

1 角動(dòng)量的施溫格表象

在討論量子力學(xué)中的簡諧振子時(shí)，人們經(jīng)常用到一種表象就是占有數(shù)表象，在該表象中有產(chǎn)生、湮滅算符.施溫格表象就是用產(chǎn)生湮滅算符來表示角動(dòng)量算符[9-10]，這樣可以很容易地解決角動(dòng)量的問題.施溫格表象中的角動(dòng)量算符可以表示如下：

(1)

角動(dòng)量算符的本征值與產(chǎn)生湮滅算符的本征值之間有著密切的關(guān)系.

(2)

這是一個(gè)重要的性質(zhì).此外，還有一個(gè)角動(dòng)量矩陣元的公式也是后面要用到的：

(3)

2 用施溫格表象討論約瑟夫森效應(yīng)

2.1 直流約瑟夫森效應(yīng)

(4)

其中ε為沒有耦合的情況下一個(gè)電子對(duì)的能量，K為表征耦合強(qiáng)度的耦合系數(shù).因約瑟夫森結(jié)作為一個(gè)整體，電子數(shù)不會(huì)變化，即結(jié)的總粒子數(shù)N1+N2守恒：

(5)

因而有

(6)

所以通過結(jié)的電流I可以表示為：

(7)

式中第二個(gè)等號(hào)的得到利用了海森堡運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

對(duì)(7)式求平均值就能得到約瑟夫森電流方程：

(9)

式中δ為結(jié)兩側(cè)凝聚體波函數(shù)相位φ1與φ2之差.這里特別值得指出的是，在(9)式中，盡管出現(xiàn)了凝聚體波函數(shù)|ψm〉，但這只是一個(gè)抽象的記號(hào)，完全不涉及波函數(shù)的具體表達(dá)式，且該波函數(shù)只是出現(xiàn)在中間的運(yùn)算過程，在最終結(jié)果中并不出現(xiàn).這一點(diǎn)與現(xiàn)有的方法是有本質(zhì)不同的.

由角動(dòng)量算符的性質(zhì)(2)式可得

(10)

將其代入(9)式中，就可以得到

(11)

考慮到n1、n2是電子對(duì)的宏觀數(shù)目，是巨大的，即

(12)

將其代入(11)式中，就有

(13)

此即第一個(gè)約瑟夫森方程.該方程給出約瑟夫森效應(yīng)中隧穿電流與系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，與現(xiàn)有方法的結(jié)果是一致的.

下面推導(dǎo)第二個(gè)約瑟夫森方程，即電流相位(δ=φ1-φ2)滿足的方程.

由海森堡方程可得

(14)

又

(15)

將其代入(14)可以得到

(16)

同理可得

(17)

所以

(18)

此式為第二個(gè)約瑟夫森方程.它表明流過結(jié)的電流的相位不隨時(shí)間而變化，因此是直流約瑟夫森效應(yīng).該結(jié)果也與現(xiàn)有的結(jié)論一致.

2.2 交流約瑟夫森效應(yīng)

在約瑟夫森結(jié)兩端加電壓V，一側(cè)的電勢為V1，另一側(cè)為V2，V1-V2=V，此時(shí)約瑟夫森結(jié)的哈密頓量為：

(19)

注意與(4)相比，約瑟夫森結(jié)的哈密頓量多了最后兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)是結(jié)中的電子在外加電勢中的電勢能.

結(jié)一側(cè)的電子對(duì)數(shù)依舊為

(20)

另一側(cè)的電子對(duì)數(shù)為

(21)

所以通過結(jié)的電流I為：

(22)

根據(jù)直流的討論可以得

(23)

此為第一個(gè)約瑟夫森方程，該方程與直流約瑟夫森效應(yīng)的第一個(gè)方程相同.

再來計(jì)算(23)式中電流的相位δ=φ1-φ2.

因?yàn)榭偭Ｗ訑?shù)與相位算符對(duì)易，即：

(25)

所以

(26)

(27)

同理可以得到

(28)

因此有

(29)

從而

(30)

此即第二個(gè)約瑟夫森方程.從此方程不難看出電流的相位隨時(shí)間變化，

(31)

此時(shí)流過結(jié)中的電流為交流電流.(31)式表明約瑟夫森結(jié)中電流相位的變化源于結(jié)兩邊的外加電勢差.若結(jié)的兩邊外加電勢差為零，即便兩邊均加有電勢，結(jié)中電流相位亦不隨時(shí)間而變，交流電流退化為直流電流.

3 兩種方法的比較

無論是直流約瑟夫森效應(yīng)，還是交流約瑟夫森效應(yīng)，其結(jié)果都是與現(xiàn)有方法的結(jié)果一致的.從數(shù)學(xué)上講，現(xiàn)有的在量子力學(xué)波動(dòng)形式下的研究方法要更加簡單，而在量子力學(xué)矩陣形式下的新方法的計(jì)算則要更復(fù)雜一些.但這種更為復(fù)雜的方法的益處也是十分明確而可觀的.從物理上講，現(xiàn)有研究方法對(duì)約瑟夫森效應(yīng)中隧穿電流形成的物理過程描述不夠細(xì)致，這主要是凝聚體波函數(shù)這個(gè)宏觀波函數(shù)掩蓋了物理過程的細(xì)節(jié).新方法則從電子對(duì)的產(chǎn)生和湮滅這個(gè)微觀角度出發(fā)探討這些微觀電子對(duì)如何形成隧穿電流，從而對(duì)約瑟夫森隧穿電流這個(gè)宏觀量究竟如何產(chǎn)生有著更為精細(xì)的刻畫.同時(shí)，在更為復(fù)雜的多體量子系統(tǒng)中，波動(dòng)形式的量子力學(xué)處理問題將變得力不從心，而矩陣形式的量子力學(xué)的優(yōu)勢則開始顯現(xiàn)出來.

[1] B．D．Josephson. Possible new effects in superconductive tunneling[J].Physics Letters，1962，1：251-256．

[2] 倪光炯，陳蘇卿．高等量子力學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005：237-239．

[3] 張禮,葛墨林．量子力學(xué)的前沿問題[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999：165-168．

[4] 曾謹(jǐn)言．量子力學(xué)導(dǎo)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998：176-180．

[5] 張永德．量子力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2011：234-237．

[6] 周世勛．量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009：253-255．

[7] 黃昆，韓汝琦．固體物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1988：287-299．

[8] 基泰爾．固體物理導(dǎo)論[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005：301-304．

[9] 張啟仁．量子力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2002：298-301．

[10] 顧萊納．量子力學(xué)·對(duì)稱性[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001：285-289．

Discussion of Josephson Effect under Schwinger Representation

ZHONG Wojun, LUO Ying, LAI Wei

(SchoolofPhysicsandElectronicInformation,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

The new method Schwinger representation of angular operator is adopted to study Josephson Effect and the Josephson Equations are obtained. The comparison between this new method and those in current textbooks is also presented. This new method achieves the same results and moreover, it reveals the microscopic structure of Josephson Effect in detail.

Josephson Equation; Angular Operator; Schwinger representation

2016-10-12

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.009

江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ150996)

鐘握軍(1977-)，男，湖南益陽人，贛南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院講師，博士，研究方向：量子信息與量子計(jì)算.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.020.html

O431.1

A

1004-8332(2016)06-0041-04