劉 綱

（云南省昆明市盤龍區(qū)明通小學(xué) 云南昆明 650051）

例談數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

劉 綱

（云南省昆明市盤龍區(qū)明通小學(xué) 云南昆明 650051）

數(shù)學(xué)是社會生活和實(shí)踐活動的產(chǎn)物，來源于生活，又指導(dǎo)社會實(shí)踐活動，隨著時代的發(fā)展，特別是隨著計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展和數(shù)學(xué)理論、方法的不斷擴(kuò)充，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個重要組成部分和思想庫，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力也已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面。而應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題就必須建立數(shù)學(xué)模型，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程其實(shí)就是教師引導(dǎo)學(xué)生不斷建模和用模的過程。因此，用建模思想指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)顯得愈發(fā)重要。

小學(xué)數(shù)學(xué) 模型思想 乘法分配律

數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向我們提出的各種問題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，就是數(shù)學(xué)化的過程，也是思維訓(xùn)練的過程，這將有助于提高他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將“模型思想”作為十大核心概念之一，同時強(qiáng)調(diào)：“從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”[1]由此可見建模教學(xué)的現(xiàn)實(shí)價值，建模教學(xué)也成為研究的熱點(diǎn)問題。所以說建模教學(xué)不僅僅是教學(xué)的新授環(huán)節(jié)，還應(yīng)該有整體的視野、兒童的視角、系統(tǒng)的視域，讓學(xué)生模型建立的過程落到實(shí)處。

一般而言建立數(shù)學(xué)模型的新授課包含兩類，即全新型新授課和延伸型新授課兩類。所謂全新型新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，首次學(xué)習(xí)的全新知識。如“9 加幾”中的“湊十法”、乘法的初步認(rèn)識、商的性質(zhì)（變與不變）、長方形面積計(jì)算公式、單式統(tǒng)計(jì)表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以自己的生活經(jīng)驗(yàn)（也需要學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）為基礎(chǔ)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、推理和交流，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。所謂延伸型的新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，新知識和已有相關(guān)知識聯(lián)系緊密。如“8 加幾”中的“湊十法、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、正方形和平行四邊形面積計(jì)算公式、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以已有相關(guān)知識（也需要生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）為基礎(chǔ)，通過猜想、驗(yàn)證、推理和交流，實(shí)現(xiàn)知識的“同化”或“順應(yīng)”，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。

結(jié)合新課程提出的新授課的教學(xué)模式和對于教材解讀，筆者認(rèn)為對于教學(xué)全新型新授課教學(xué)往往需要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：“一導(dǎo)?！薄岸！薄叭媚！薄八尿?yàn)?zāi)！薄?/p>

所謂“導(dǎo)?！?，是指從教材創(chuàng)設(shè)的情境問題中導(dǎo)出數(shù)學(xué)問題，從多個數(shù)學(xué)問題中選擇本課的學(xué)習(xí)主題，并及時將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)算式。學(xué)生往往通過觀察與分析教材上的圖和式，并與已有知識進(jìn)行對比、質(zhì)疑，才能“導(dǎo)”出數(shù)學(xué)問題和學(xué)習(xí)主題。所謂“建?！笔侵钙饰鰡栴}抽象與概括及建模，在多數(shù)情況下，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)算式（圖形）的分析與綜合、比較與分類，找出具有共性的特征（即本質(zhì)特征），運(yùn)用歸納推理（或不完全歸納推理），構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。所謂“用?！保侵高\(yùn)用剛剛構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，以演繹推理的思維方式去解釋并解決問題。所謂“驗(yàn)?zāi)！?，是指求得?shù)學(xué)模型的解，并非問題得到解決，要結(jié)合實(shí)際，將求得的數(shù)學(xué)結(jié)果放到實(shí)際情境中去檢驗(yàn)，看其是否是實(shí)際結(jié)果，從而驗(yàn)證和完善數(shù)學(xué)模型。

小學(xué)生有限的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定他們在數(shù)學(xué)建模的過程中，往往要經(jīng)歷“由模糊到清晰”“由繁瑣到簡約”“由粗放到精確”“由具體到抽象”的認(rèn)知過程，不可能一蹴而就，這需要教師給他們有較多的思考時空和耐心的引導(dǎo)、等待，以使他們的“個性化建?！表樌剡^渡到“規(guī)范化建?！?。

結(jié)合《乘法分配律》一課闡述“一導(dǎo)?！薄岸！薄叭媚！薄八尿?yàn)?zāi)！钡乃膫€教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、定律、公式等都是一個個數(shù)學(xué)模型，如何使學(xué)生通過建模形成數(shù)學(xué)模型，其中一條很重要的途徑就是把生活原型上升為數(shù)學(xué)模型。因此，教師有目的、有意識地創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造意識的各種情境，能促使學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑問題、探索求解的學(xué)習(xí)動機(jī)，從而使“事理”上升為“數(shù)理”，體現(xiàn)一個模型化的過程。

明德小學(xué)的操場是一個長方形，原來長50米，寬20米，擴(kuò)建后，寬將增加10米。擴(kuò)建后的操場面積有多大？

1．獨(dú)立思考，嘗試解決。

2．組織交流，分析比較。

生1：我先算擴(kuò)建后操場的寬，再算擴(kuò)建后操場的面積。50×（20＋10）= 50×30 = 1500（平方米）。

生2：我先算操場原來的面積，再算增加的面積，最后算擴(kuò)建后操場的面積。50×20＋50×10 = 1000＋500 = 1500（平方米）。

根據(jù)學(xué)生回答，教師板書以上兩種算法。

在這一環(huán)節(jié)中，當(dāng)教師提出問題后，讓學(xué)生明確問題解決的目標(biāo)，激發(fā)問題解決的動機(jī)，充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用。同時，問題的提出針對學(xué)生實(shí)際，問題的引入力求趣味、新奇、有針對性，能夠誘導(dǎo)、啟發(fā)、激活學(xué)生頭腦中潛在的知識，使之服務(wù)于問題的解決，最大限度地調(diào)動學(xué)生的求知欲。

二、點(diǎn)撥導(dǎo)學(xué)，構(gòu)建模型。

在建模過程中，為了既合乎實(shí)際問題又能求解，就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡，然后用不完全歸納法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這一過程恰好又是學(xué)生的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn)。

師：剛才同學(xué)們用了兩種不同的方法解決了同一個問題。現(xiàn)在請讓我們回頭來看一看，50×（20＋10）=1500，50×20＋

50×10=1500，計(jì)算結(jié)果相等，我們是否可用“=”把這兩個式子連接起來？

生：可以！

教師隨即板書：50×（20＋10）= 50×20＋50×10。

師：你會讀這個等式嗎？

生：50乘20與10的和，等于50乘20的積加50乘10的積。

師：現(xiàn)在你能自己決定寬增加的米數(shù)，再寫一些這樣的等式嗎？課件呈現(xiàn)“形”，（如左下圖），讓學(xué)生看形思數(shù)，完成“自主學(xué)習(xí)單1”。

在組織交流時，教師有選擇性地板書，并提問:觀察一下，這些等式有什么特點(diǎn)？和同桌悄悄地說一說。然后課件展示如下:師：請你根據(jù)自己的猜測將數(shù)據(jù)填入下面的面積模型中（如左下圖），并對自己的猜測進(jìn)行驗(yàn)證，即完成“自主學(xué)習(xí)單2”。

學(xué)生在自主完成“自主學(xué)習(xí)單2”后，交流討論：

生1：我的猜測是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通過驗(yàn) 證， 得 出70×（3＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，因?yàn)樗麄兊慕Y(jié)果相等，所以我的結(jié)論是：一個數(shù)乘兩個數(shù)的和，等于用這個數(shù)分別與兩個加數(shù)相乘，再把兩個積加起來。

……

生4：假如用字母表示，我認(rèn)為可以這樣表示：a×（b＋c）=a×b＋a×c。

師：在數(shù)學(xué)上，我們把這個規(guī)律叫做“乘法分配律”。（板書課題）

教師導(dǎo)學(xué)是構(gòu)建模型的前提。從導(dǎo)思、導(dǎo)議、導(dǎo)練入手，結(jié)合學(xué)生心理特征和認(rèn)知水平提出的啟發(fā)性問題，不宜過于簡單，也不能超過學(xué)生的實(shí)際水平。同時，老師要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、現(xiàn)象的、感性的問題上升到理性并納入到所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)的軌道上來，從而形成集體求索的態(tài)勢。另外，當(dāng)提出一個或幾個問題之后，要給學(xué)生思考的時間。要讓學(xué)生獨(dú)自在課堂教學(xué)“這棵大樹下”思考一會兒，靜靜想一想，如何“跳”才能“摘到果子”。這樣，他們解決問題的能力才會更強(qiáng)些。只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考之后，在隨后的小組交流中才會有話想說、有話可說，這樣小組交流的質(zhì)量才能提高。

三、深層探究，求解結(jié)果。

教師在點(diǎn)撥導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步組織深層探究，求解數(shù)學(xué)問題。這一環(huán)節(jié)要讓學(xué)生敘述解決數(shù)學(xué)問題的過程，交流解決問題的經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到解決問題、形成解決問題策略的目的，同時還可拓展模型，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)更深的本源。

簡便計(jì)算：37×7＋37×3 48×19＋52×19 102×17

1．學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

2．反饋交流。在校對完答案之后，教師引導(dǎo)學(xué)生展開想象。

師：聯(lián)系長方形面積模型，這些算式可以想象成求什么？

生1：第一個算式可以看作求兩個長是37，寬分別是7和3的長方形面積之和。因?yàn)樗鼈兊拈L相等，所以，可以把這兩個長方形沿著長拼起來，變成一個長方形。這時長方形的長仍是37，寬是7＋3=10。

師：大家能想象他所說的長方形是怎么樣的嗎？請你把它畫在紙上。

學(xué)生開始動筆畫，教師提示只需畫草圖就行。然后選一張展示。

師：第二個算式呢？

生2：第二個算式可以看作長分別是48和52，寬都是19的兩個長方形面積之和。因?yàn)樗鼈兊膶捪嗟龋?，可以把這兩個長方形沿著寬拼起來，變成一個長方形。這時長方形的長是48＋52=100，寬是19。

師：那么第三個算式又怎么解釋？

生3：把一個長方形分成了兩個長方形，也就是把長分成了100和2，然后剪開。但是把這兩個長方形的面積加起來，仍舊等于原先一個長方形的面積。

師：大家能想象嗎？

生意會地點(diǎn)點(diǎn)頭。

這一環(huán)節(jié)以學(xué)生交流討論為主，交流討論的目的在于抓重點(diǎn)、明思路、排難點(diǎn)、解疙瘩、澄疑點(diǎn)、解迷惑，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。學(xué)生交流討論的過程是學(xué)生之間、師生之間的多邊互動的過程，應(yīng)最大限度地調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生的參與程度，尤其是思維參與程度。在這里，教師的作用是指導(dǎo)問題求解的策略，要組織好交流活動，使學(xué)生盡情地交流求解問題的經(jīng)驗(yàn)，相互補(bǔ)充，完善表述，形成策略。同時要把握好“收”與“放”的關(guān)系，放開以各抒己見，收攏以達(dá)到相對統(tǒng)一的認(rèn)識，使學(xué)生的認(rèn)識系列化、規(guī)范化。

四、結(jié)合實(shí)際，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

求得數(shù)學(xué)模型的解，并非問題得到解決，要結(jié)合實(shí)際，將求得的數(shù)學(xué)結(jié)果放到實(shí)際情境中去檢驗(yàn)，看其是否是實(shí)際結(jié)果。通過深層探究，求得數(shù)學(xué)結(jié)果已是教師與學(xué)生的共識，但結(jié)合實(shí)際、檢驗(yàn)結(jié)果，是教學(xué)時常忽視的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已經(jīng)過加工、合理的素材，缺乏檢驗(yàn)的必要性。因此關(guān)鍵在于教師的引導(dǎo)和重視。

師：學(xué)習(xí)了乘法分配律，你認(rèn)為有什么作用？

生1：可以使一些計(jì)算簡便。比如計(jì)算38×32＋38×68，就可用38×（32＋68）=38×100=3800。

生2：解決應(yīng)用題時，可以用兩種方法解答。

……

師：那你能解決這個問題嗎？

課件出示：

明德小學(xué)的操場是一個長方形，原來長50米，寬20米，改建后，寬將減少10米。改建后的面積有多大？

生1：我先算操場原來的面積，再算減少的面積，最后算改建后的面積是多少。50×20－50×10 = 1000－500 = 500（平方米）。

生2：：要求改建后的面積是多少，可以想象成把兩個長方形沿著一條長重疊起來。因此，我只要先算出減少以后部分的寬是幾米，再和長相乘，就可以算出改建后的面積是多少。50×（20－10）= 50×10 = 500（平方米）。

根據(jù)學(xué)生回答，教師板書以上兩種算法。

師：結(jié)果相等，是否也可以把這兩個算式用“﹦”連接起來？

生同意地點(diǎn)了點(diǎn)頭，教師隨即板書：50×（20－10）﹦50×20－50×10。

師：那么你能用字母公式表示這個新規(guī)律嗎？

生：（a-b）×c=a×c-b×c 。

在以上的教學(xué)過程中，教師不僅引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際去檢驗(yàn)結(jié)果，同時也不斷地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識。用“計(jì)算結(jié)果相等的兩個式子也相等”，發(fā)現(xiàn)乘法分配律同樣適用于兩個數(shù)的差等。這是一個不斷探索與發(fā)現(xiàn)的過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決問題和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識的過程，同時還拓展了數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)更深的本源。

總之，基于建模思想下的教學(xué)過程突出了基本數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，并深刻體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，為以后的教學(xué)做了示范，以期能駕輕就熟。同時通過四個環(huán)節(jié)的層層推進(jìn)，在學(xué)生對“乘法分配律”透徹認(rèn)識的同時，也歷經(jīng)分析綜合抽象概括等思維活動。

另外，在建模教學(xué)實(shí)施過程中需要關(guān)注建模教學(xué)的幾個特性：一是注重知識的漸進(jìn)性，不斷完善豐滿構(gòu)建學(xué)習(xí)模型。二是尊重學(xué)生的差異性，最終能利用差異，發(fā)展差異。三是必須體現(xiàn)過程的結(jié)構(gòu)性，在學(xué)習(xí)中不斷主動地進(jìn)行模型的構(gòu)建、感悟、運(yùn)用。

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