☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 王小冬

由此及彼談圓錐曲線問題求解思路的生成

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 王小冬

圓錐曲線因綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大等特點(diǎn)，成為學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一.從近年高考閱卷情況來看，得分率也確實(shí)不盡人意，滿分者寥寥無幾.此類問題是否真的是學(xué)生無法跨越的鴻溝嗎？其實(shí)不然，只要我們具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，仍然可以順利找到問題的切入點(diǎn).下面舉例說明.

一、引例說明

題目（2016年山東卷理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C=1（a＞b＞0）的離心率是，拋物線E：x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).

圖1

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D.直線OD與過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

①求證：點(diǎn)M在定直線上；

②直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P2的坐標(biāo).

本題是橢圓與拋物線交匯問題，第（1）問較為基礎(chǔ)，利用拋物線方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，即為b值，再利用離心率的定義及a，b，c之間的關(guān)系求出a值即可.下面對(duì)第（2）問的解題思路進(jìn)行探究.

二、思路探究

第（2）問的解答須做好如下幾個(gè)問題的探究.

問題1：與曲線切線有關(guān)的問題我們會(huì)想到什么？

我們知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為在該切線的斜率.因此遇到與曲線切線有關(guān)的問題可借助導(dǎo)數(shù)法求出切線的斜率，從而表示出切線方程.

問題2：切線l與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此類問題如何處理？

常規(guī)處理辦法是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，代入消元，得含x或y的一元二次方程，再利用判別式法、根與系數(shù)的關(guān)系，整體表示，設(shè)而不求.

問題3：如何確定點(diǎn)M在某一定直線上？

點(diǎn)M是直線l與直線PM的交點(diǎn)，應(yīng)先將兩條直線方程表示出來，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合xM，yM所滿足的關(guān)系來判斷點(diǎn)M是否在某條定直線上.

問題4：欲求兩個(gè)三角形的面積比，首先要表示出兩個(gè)三角形的面積關(guān)系式，那么三角形的面積如何表示，用什么表示？

結(jié)合兩個(gè)三角形的特點(diǎn)，即均有一條平行于y軸的邊，故三角形的底邊直接由底邊上兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差來表示，三角形的高利用頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的相關(guān)式子表示.進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理，再借助配方法、均值不等式法、三角換元、導(dǎo)數(shù)法等求解.

從上述分析來看，只要我們具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，思路自然、前后貫通.接下來的解答就順理成章了.

三、問題解答

（1）易求橢圓C的方程為x2+4y2=1.

（2）①由已知條件不難看出問題求解的關(guān)鍵是點(diǎn)P，因此，首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，且在第一象限，故可設(shè)P（若拋物線方程為y2= 2px，則應(yīng)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，可簡(jiǎn)化計(jì)算）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.由于x2=2y可得y=

接下來的問題就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的類型，即直線與

橢圓相交問題，借助坐標(biāo)法、代入消元法、判別式法、根與系數(shù)的關(guān)系等通法求解.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），則由直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+4m2）x2-4m3x+m4-1=0.

由Δ=16m6-4（4m2+1）（m4-1）=-4（m4-4m2-1）＞0，可得

從而x0

四、變式演練

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a，k表示）；

（2）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍.

分析：本題第（2）問求解的關(guān)鍵是求出a的取值范圍.可先假設(shè)圓與橢圓有4個(gè)公共點(diǎn)，再利用|AP|=|AQ|表示出弦長(zhǎng)，求出a的取值范圍，進(jìn)而求出橢圓離心率e的取值范圍.

（2）假設(shè)以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓C有4個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|=|AQ|.

設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0， k1≠k2，由（1）可知，|AP|=，整理可得，可得

上式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1+a（2a2-2）＞1，所以a2＞2，即a＞.從而任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是1＜a≤

五、解后反思

圓錐曲線綜合問題的常見題型一般表現(xiàn)在定量問題、最值或取值范圍問題及探索性等.定量問題主要是指定點(diǎn)、定值或定直線等，此類問題的一般求解策略：引入?yún)?shù)直接求定點(diǎn)、定值.從特殊到一般，先探究后證明.最值問題主要包括與弦長(zhǎng)、面積有關(guān)的最值或取值范圍問題，求解策略：根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，再利用換元法、配方法、均值不等式法、導(dǎo)數(shù)法等確定目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍.

總之，欲做好圓錐曲線問題的解答，在平時(shí)課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生注重掌握重點(diǎn)題的通性通法的同時(shí)，注重函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，結(jié)合相關(guān)的運(yùn)算技巧以減少運(yùn)算量，重視與提倡一題多解的訓(xùn)練，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力.F