☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 許榮良

數(shù)學(xué)歸納法中運(yùn)用歸納假設(shè)的策略

☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 許榮良

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常運(yùn)用到的一種科學(xué)的證明方法，對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也非常重要，解決問題具有實(shí)效快速等優(yōu)點(diǎn).一般地，數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立.n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況.（2）假設(shè)當(dāng)n= k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（n≥n0），命題P（n）都成立.數(shù)學(xué)歸納法的第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，對(duì)第二步n=k+1時(shí)結(jié)論的正確性的證明是整個(gè)證明過程中的重難點(diǎn).我們除注意利用歸納假設(shè)外，還要注意對(duì)照結(jié)論充分利用其他數(shù)學(xué)證明方法，如放縮法、構(gòu)造法等.也就是說，當(dāng)我們利用歸納假設(shè)后仍不能直接變形推出結(jié)論時(shí)，需要采用下述方法進(jìn)行證明，以達(dá)到目的.

一、與放縮法聯(lián)合

例1設(shè)實(shí)數(shù)c＞0，整數(shù)p＞1，n∈N*.求證：當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，（1+x）p＞1+px.

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)p=2時(shí)，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立.

②假設(shè)p=k（k≥2，k∈N*）時(shí)，（1+x）k＞1+kx成立.

當(dāng)p=k+1時(shí)，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x.

所以p=k+1時(shí)，原不等式也成立.

綜合①②可得，當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立.

評(píng)注：放縮法是數(shù)學(xué)歸納法中常用的方法.本題從“k”過渡到“k+1”時(shí)，首先只能利用假設(shè)得到（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx），將（1+x）（1+kx）展開得1+（k+1）x+kx2，與目標(biāo)式子1+（k+1）x進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，需要減少一項(xiàng)kx2，故需要放縮.

二、與方程思想相伴

例2設(shè)數(shù)列｛an｝的前n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解析：（1）a1=S1=2a2-3×12-4×1=2a2-7，a1+a2=S2=4a3-3×22-4×2=4（S3-a1-a2）-20=4（15-a1-a2）-20，所以a1+a2=8.

綜上得a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①由（1）知，當(dāng)n=1時(shí)，a1=3=2×1+1，結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=2k+1.

則Sk=3+5+7+…+（2k+1）=

當(dāng)n=k+1時(shí)，將ak+1和Sk代入Sk=2kak+1-3k2-4k中，得k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6，故ak=2（k+1）+1，即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

綜合①②可知對(duì)一切n∈N*，an=2n+1.

評(píng)注：此題證明中，首先利用假設(shè)得到Sk=k（k+2），再借助題設(shè)的關(guān)系式得到方程式Sk=2kak+1-3k2-4k，解出ak+1，證明n=k+1時(shí)命題成立，從而順利解題.

三、與構(gòu)造法聯(lián)袂

例3求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2+（a+1）=a2+a+1能被a2+a+1整除.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)，ak+1+（a+1）2k-1能被a2+a+1整除.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2+（a+1）2k+1=a·ak+1+a·（a+1）2k-1+（a+ 1）2k+1-a（a+1）2k-1=a·ak+1+a·（a+1）2k-1+［（a+1）2-a］（a+1）2k-1= a［ak+1+（a+1）2k-1］+（a2+a+1）（a+1）2k-1.

由假設(shè)可知a［ak+1+（a+1）2k-1］能被a2+a+1整除，而且（a2+a+1）（a+1）2k-1也能被a2+a+1整除，所以ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1時(shí)命題也成立.

綜合（1）（2）知，對(duì)任意的n∈N*命題都成立.

評(píng)注：（1）在證明n=k+1時(shí)，不僅要將ak+2分離為a·ak+1，而且要構(gòu)造出相關(guān)項(xiàng)a·（a+1）2k-1，加一項(xiàng)減一項(xiàng)即得a· ak+1+a·（a+1）2k-1+（a+1）2k+1-a（a+1）2k-1，整理出a［ak+1+（a+ 1）2k-1］后還有（a2+a+1）（a+1）2k-1，兩者均能被a2+a+1整除，故命題得證.（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或整除問題，關(guān)鍵是利用加、減項(xiàng)，拆、并項(xiàng)等恒等變形的方法，構(gòu)造出假設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式.

四、與函數(shù)單調(diào)性相遇

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a1=1，an+1=ln（an+1），證明：

例4函數(shù)解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=

①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若x∈（-1，a2-2a），則f′（x）＞0，f（x）在（-1，a2-2a）上是增函數(shù)；若x∈（a2-2a，0），則f′（x）＜0，f（x）在（a2-2a，0）上是減函數(shù)；若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).

②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)f′（x）＞0成立，f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù).

③當(dāng)a＞2時(shí)，若x∈（-1，0），則f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)；若x∈（0，a2-2a），則f′（x）＜0，f（x）在（0，a2-2a）上是減函數(shù)；若x∈（a2-2a，+∞），則f′（x）＞0，f（x）在（a2-2a，+∞）上是增函數(shù).

（2）由（1）知，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù).當(dāng) x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞.又由（1）知，當(dāng)a=3時(shí)，f（x）在［0，3）上是減函數(shù)；當(dāng)x∈［0，3）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）

根據(jù)①②知對(duì)任何n∈N*結(jié)論都成立.

評(píng)注：第（2）步中應(yīng)用假設(shè)可以得到ak+1=ln（ak+1）＞但是無法得到本題在第（1）步中，討論f（x）的單調(diào)性已經(jīng)為證明第（2）步做好了準(zhǔn)備，所以需要應(yīng)用a=2和a=3時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性才能進(jìn)一步推導(dǎo)得到.

五、有加強(qiáng)命題相助

例5設(shè)a1=1，an+1=

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n＜c＜a2n+1對(duì)所有n∈N*成立？證明你的結(jié)論.

因?yàn)閍1=，因此猜想an

下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：

①當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak

下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n＜c＜a2n+1＜1.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1.

易知f（x）在（-∞，1］上為減函數(shù)，從而c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，即1＞c＞a2k+2＞a2.

再由f（x）在（-∞，1］上為減函數(shù)，得c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1.

故c＜a2k+3＜1，因此a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1.這就是說，當(dāng)n= k+1時(shí)結(jié)論成立.

評(píng)注：有些關(guān)于正整數(shù)n的命題P（n），直接用數(shù)學(xué)歸納法處理難以實(shí)現(xiàn)n到n+1的過渡，但是證明比P（n）更強(qiáng)的命題Q（n），用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明反而簡單一些，此時(shí)需要對(duì)命題進(jìn)行加強(qiáng).選擇加強(qiáng)命題要合適恰當(dāng)，這樣才能順利過渡.數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常運(yùn)用到的一種科學(xué)的證明方法，解決與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n）實(shí)效快速.對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也非常重要.F