☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 何敏

一道課本例題的教學(xué)探究

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 何敏

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教材中的例題、習(xí)題的解答是學(xué)生獲得系統(tǒng)知識(shí)的主要來源.因此，如何充分展示每道例習(xí)題的教學(xué)功能成為了擺在每位數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)核心課題.筆者認(rèn)為，教師要充分發(fā)揮每道例習(xí)題的教學(xué)功能，應(yīng)該深入挖掘例習(xí)題的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的一些典型例習(xí)題進(jìn)行一題多解、變式推廣、歸納猜想、類比遷移等多方面的探究，調(diào)動(dòng)每一位學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提升，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生探究精神和創(chuàng)新意識(shí).筆者在教學(xué)實(shí)踐中，從一道課本例題出發(fā)，對(duì)此題進(jìn)行了推廣探究，希望能給高三復(fù)習(xí)提供一些思路.

一、例題呈現(xiàn)

例1已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B是拋物線y2= 2px（其中p＞0）上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，且OA⊥OB，OM⊥AB并相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡.（人教A版4-4第33頁）

原題解答是用參數(shù)方程，筆者給出另一種解法，并就此推出一般結(jié)論.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ky+n.代入y2=2px并整理，得y2-2pky-2pn=0，因此y1+y2=2pk，y1y2=-2pn.從而x1x2=-2pnk2+2pnk2+n2，因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即n2-2pn=0，因?yàn)閚≠0，所以n=2p.因此直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0），由OM⊥AB可知，點(diǎn)M的軌跡是圓（x-p）2+y2=p2.

二、推廣探究

若將原題中的拋物線改為圓，其余條件不變，又有什么結(jié)論？經(jīng)過推理論證可得：

命題1若O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B是圓C：x2+y2= R2上的兩個(gè)點(diǎn)，且OA⊥OB，OM⊥AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是圓

圖1

證法1：如圖1，連接OB，OA則由已知可知OM是等腰直角△的斜邊AB上的高，所以O(shè)M=R.故點(diǎn)M的軌跡是圓x2+，

證法2：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為x=ky+n，代入圓C的方程并整理，得（1+k2）y2+2kny+n2-R2=0，因此

若將原題中的拋物線改為橢圓、雙曲線，其余條件不變，則結(jié)論又如何？仿上面的證明可得：

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ky+ n，代入橢圓L的方程并整理，得（a2+b2k2）y2+2knb2y+b2（n2-a2）=0，因此y1+y2=-

由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，

命題3若A、B是雙曲線L

其證明與命題2的證法完全類似，故此處略去.

由上面的證明可知：直線AB始終是點(diǎn)M的軌跡的切線，因此可以得到：

命題4過圓C1：x2+y2=R2上任一點(diǎn)A作圓C2：x2+y2=的切線交C于另一點(diǎn)B，則OA⊥OB.

1

命題5過拋物線L：y2=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)A作圓C：（x-p）2+y2=p2的切線交L于另一點(diǎn)B，則OA⊥OB.

命題7過雙曲線L的切線交L于另一點(diǎn)B，則OA⊥OB.

命題4～7的證明留給讀者自己去完成.

經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，命題4～7的逆命題也成立，即有：

命題8過圓C1：x2+y2=R2上任一點(diǎn)A作直線l交C1于另一點(diǎn)B，若OA⊥OB，則l是圓C2：x2+y2=的切線.

命題9過拋物線L：y2=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)A作直線l交L于另一點(diǎn)B，若OA⊥OB，則l是圓：（xp）2+y2=p2的切線.

作直線l交L于另一點(diǎn)B，若OA⊥OB，則l是圓C：x2+y2=的切線.

命題8～11的證明請(qǐng)讀者自己去探究完成.

三、應(yīng)用舉例

（1）求b2的值；

（2）求|AB|的取值范圍.

四、幾點(diǎn)思考

對(duì)課本中典型例、習(xí)題的探究，不僅能豐富我們的研究資源，而且能獲得與之相關(guān)的新命題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和應(yīng)變能力的目的，起到使學(xué)生重視課本中例、習(xí)題的作用.下面結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约簩?duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考.

1.揭示概念本質(zhì)，提升學(xué)生認(rèn)知水平

由于課本中不少數(shù)學(xué)概念，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著思維的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的基石.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中教師要揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，對(duì)課本中的概念給予足夠的重視，并結(jié)合學(xué)生主體認(rèn)知功能，立足于理解好概念，用好概念，才會(huì)使我們復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的目的明確、方法對(duì)頭，提升學(xué)生的認(rèn)知水平，才能使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量得以提升.

教師在概念復(fù)習(xí)時(shí)需要要幫助學(xué)生足夠重視課本，揭示概念的本質(zhì)，拓展概念的內(nèi)涵和外延，關(guān)注其基本特征和概念表征的多元化，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)背景及數(shù)學(xué)本源的挖掘.在概念本質(zhì)探究中力爭(zhēng)透過紛繁的現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，要從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律，只有這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)才能使解題更具有深度和廣度，才能提升學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量的提升.

2.再現(xiàn)知識(shí)形成過程，提升學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的核心，故教學(xué)時(shí)就要突出數(shù)學(xué)定義、公式、定理的來龍去脈和表達(dá)形式，了解它們的區(qū)別和聯(lián)系，再現(xiàn)知識(shí)的形成過程.雖然高一、高二都有所涉及，但經(jīng)過這么長(zhǎng)時(shí)間，學(xué)生都有些遺忘，這些都需學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)重視課本，拓展思路，并逐步學(xué)會(huì)如何運(yùn)用這些知識(shí)來分析和解決問題.關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，這能在一定程度上有效的規(guī)避模式化的解題，抑制題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量的提升具有重要作用.

對(duì)于聯(lián)系密切的公式群，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)和建構(gòu)，對(duì)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)起到事半功倍的作用，是解決問題的根本.在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，要足夠重視課本，對(duì)課本中的定義、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，做到知其然知其所以然，探究他們的形成過程，提升學(xué)生的思維能力，方能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量的提升.

3.典型例題重點(diǎn)分析，提升學(xué)生解題策略

課本是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn)，課本中的例習(xí)題是教材編寫組專家精挑細(xì)選出來的精品，不少高考試題都是命題人員對(duì)課本例習(xí)題加工改編而成的.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要有目的地選擇課本中的例習(xí)題，對(duì)其條件和結(jié)論進(jìn)行重點(diǎn)分析，剖析思維方法形成過程，有效幫助學(xué)生提升解題策略.

例題教學(xué)是復(fù)習(xí)課的主旋律，如何用好課本的典型例題是復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)能否更加優(yōu)質(zhì)、實(shí)效的關(guān)鍵，發(fā)揮例題的思維策略，達(dá)到“做一題、帶一類、連一片”的效果，能有效實(shí)現(xiàn)課本典型例題的示范性功能，提升解題的質(zhì)量.

4.滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力

多年來結(jié)果表明，高考數(shù)學(xué)試題都在體現(xiàn)“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”的命題指導(dǎo)思想，常常涉及的思想方法有：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想.而試題相當(dāng)一部分來源于課本，即使是綜合題也是課本例習(xí)題的組合、改編和拓展，充分體現(xiàn)了課本的基礎(chǔ)作用.數(shù)學(xué)題的解答一般不需要高深的數(shù)學(xué)知識(shí)和高難度的變形技巧，而需要一定的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散意識(shí)，因此我們有必要深入地探究課本中的習(xí)題，把握例習(xí)題的思想性的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)思考數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合解題能力，使課本中的例習(xí)題的作用發(fā)揮到極致，以達(dá)到最佳提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的質(zhì)量.只有重視課本中的例習(xí)題，理解、領(lǐng)會(huì)它們蘊(yùn)含的思想方法，通過系統(tǒng)的歸納總結(jié)、變式訓(xùn)練，才能觸類旁通、由此及彼積累足夠的題型，形成數(shù)學(xué)解題能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量的提升.

正如數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與研究，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”筆者從一道課本習(xí)題出發(fā)進(jìn)行深入探究及引申推廣得到了一系列優(yōu)美的結(jié)論.在教學(xué)中經(jīng)?！把蓄}”，有助于促進(jìn)教師專業(yè)知識(shí)的增長(zhǎng)，通過研究習(xí)題可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)興趣，提高課堂教學(xué)的有效性.Z