☉湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王藝齡

武漢作為我國航空新樞紐的數(shù)學(xué)求解

☉湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王藝齡

一、問題提出

航空運(yùn)輸是在具有航空線路和航空港的條件下，利用飛機(jī)作為運(yùn)輸工具進(jìn)行客運(yùn)或貨運(yùn)的一種運(yùn)輸方式.基于航空運(yùn)輸對發(fā)展國民經(jīng)濟(jì)和促進(jìn)國際交往的重要意義，大多數(shù)國家都很重視發(fā)展航空運(yùn)輸事業(yè).目前，我國航空運(yùn)輸主要是承擔(dān)長途客運(yùn)任務(wù)，航空貨運(yùn)量占全國貨運(yùn)量的比重還比較小.隨著物流業(yè)的快速發(fā)展，航空運(yùn)輸將在貨運(yùn)方面扮演重要角色.航空運(yùn)輸?shù)闹饕獌?yōu)點(diǎn)是速度非?？欤秉c(diǎn)是成本很高.航空運(yùn)輸?shù)闹饕杀居删€路運(yùn)輸成本和航空港建設(shè)及維護(hù)成本兩部分組成，其中航空港的建設(shè)及維護(hù)成本基本是固定的，而線路運(yùn)輸成本的最小化取決于航空港網(wǎng)點(diǎn)的地理位置和航線規(guī)劃，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即航空港網(wǎng)點(diǎn)到航空樞紐港的距離之和最小.

航空樞紐港是指在航空運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中具有重要中轉(zhuǎn)功能和組織功能的大型航空港.我國目前已經(jīng)建成使用、功能成熟、具備眾多國際國內(nèi)航線的航空樞紐港有北京、上海和廣州，主要還是以客運(yùn)為主.2016年8月18日清晨，由昆明飛往武漢的CZ3424航班降落在武漢天河國際機(jī)場第二跑道上，這是正式啟用第二跑道迎來的首架民航客機(jī).這是自2008年武漢天河機(jī)場啟用二號(hào)航站樓以來的又一重大突破，意味著機(jī)場的容量正在擴(kuò)大.這些是不是意味著現(xiàn)實(shí)中武漢已經(jīng)發(fā)展為我國的航空新樞紐呢？

當(dāng)我們把視線投向發(fā)達(dá)國家，比如美國，發(fā)現(xiàn)其航空運(yùn)輸是全國最主要的交通方式，通過采用中樞結(jié)構(gòu)［1］，可以大規(guī)模地節(jié)約成本.美國自1978年航空放松管制，以亞特蘭大為開始，先后形成了7大航空公司29個(gè)中樞網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成一個(gè)完整的航運(yùn)市場和航空資源體系.其中航空樞紐是構(gòu)成中樞結(jié)構(gòu)的重要結(jié)點(diǎn)，選址航空樞紐是優(yōu)化中樞結(jié)構(gòu)的核心問題之一.本文將利用中學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)量化地研究武漢在我國成為航空新樞紐的相關(guān)問題.

二、數(shù)學(xué)理論

首先構(gòu)造一個(gè)我國的航空網(wǎng)絡(luò)簡化模型，由航空網(wǎng)點(diǎn)組成，需要從這些網(wǎng)點(diǎn)中選取一個(gè)中心城市，這個(gè)城市就是我們求解的航空新樞紐.假設(shè)有n個(gè)城市組成一個(gè)航空網(wǎng)絡(luò)，這些網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)依次為：（x1，y1），…，（xn，yn）.

下面我們利用最小二乘法來計(jì)算航空網(wǎng)絡(luò)的中心樞紐.假設(shè)航空網(wǎng)絡(luò)中心的坐標(biāo)為（x，y），顯然，中心點(diǎn)到各網(wǎng)點(diǎn)的距離總和可以等價(jià)為距離的平方和.其中，定義：x—距離平方和=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，目標(biāo)是得到上式的最小值.

配方

從這組公式可知，如果僅按距離和而論，我們只需計(jì)算n個(gè)網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的平均值即可得出中心點(diǎn)的坐標(biāo).

實(shí)際應(yīng)用中簡單的距離因素不能決定一切，我們還必須考慮網(wǎng)點(diǎn)城市之間的航空運(yùn)量需要，建立更符合實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型.即除了考慮網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)位置之外還應(yīng)該考慮加權(quán)因素，我們定義航空網(wǎng)絡(luò)中n個(gè)航空網(wǎng)點(diǎn)的權(quán)值分別為m1，…，mn，且m1+…+mn=1.

前述距離平方和可推廣定義為：

x—加權(quán)距離平方和=m1（x-x1）2+m2（x-x2）2+…+ mn（x-xn）2.

同理可得關(guān)于y的計(jì)算公式.

即航空網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)中心坐標(biāo)的計(jì)算公式如下：

為了得到最小值，作配方：

顯然，第一平方項(xiàng)為零時(shí)有最小值，即距離平方和取最小值當(dāng)且僅當(dāng)，x=m1x1+m2x2+…+mnxn，同理可得關(guān)于y的計(jì)算公式.

因此，推廣情形下航空樞紐數(shù)學(xué)中心坐標(biāo)的計(jì)算公式為：

三、問題求解

序號(hào)城市名東經(jīng)xi北緯yi誤差1 2015年人均GDP（元）權(quán)值mimi*ximi*yi誤差2 1北京116.4639.9211.20702510.044.881.679.93 2天津117.239.1311.15704020.044.921.649.88 3上海121.4831.229.98732970.045.311.368.85 4重慶106.5429.599.05273670.021.740.4810.32 5拉薩91.1129.9724.10319810.021.740.5725.37 6烏魯木齊87.6843.7736.37421510.032.201.1037.50 7銀川106.2738.4712.48382950.022.430.8813.61 8呼和浩特111.6540.829.45650840.044.331.5810.58 9南寧108.3322.8414.01270270.021.750.3715.28 10哈爾濱126.6345.7527.20344670.022.600.9425.93 11長春125.3543.8824.05438930.033.281.1522.78 12沈陽123.3841.820.00618910.044.551.5418.73 13石家莊114.4838.037.33334620.022.280.766.06 14太原112.5337.875.62423180.032.840.966.75 15西寧101.7436.5615.10284460.021.730.6216.23 16濟(jì)南11736.658.47573940.034.001.257.20 17鄭州113.6534.763.23463690.033.140.962.52 18南京118.7832.046.46625930.044.431.205.33 19合肥117.2731.865.13473960.033.310.904.00 20杭州120.1930.269.65683400.044.901.238.52 21福州119.326.0812.94431210.033.070.6711.81 22南昌115.8928.686.93437700.033.020.755.80 23長沙11328.214.51645510.044.351.095.24

首先選取我國的主要航空網(wǎng)點(diǎn)城市構(gòu)成航空網(wǎng)絡(luò)，這些航空網(wǎng)點(diǎn)包括直轄市、省會(huì)城市和重要沿海航空港深圳、廈門和寧波等，共計(jì)35個(gè)重要城市，見下表.（說明：表中的城市坐標(biāo)“東經(jīng)xi”、“北緯yi”和“2015年人均GDP”三列數(shù)據(jù)源自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫wenku.baidu.com.）

24武漢114.3130.523.51563670.033.841.032.38 25廣州113.2323.169.79834950.055.641.1510.06 26臺(tái)北121.525.0516.17--0.000.000.0015.04 27?？?10.3520.0214.81288610.021.900.3416.08 28蘭州103.7336.0312.58304300.021.880.6513.71 29西安108.9534.275.60382800.022.490.786.73 30成都104.0630.6710.45395180.022.450.7211.72 31貴陽106.7126.5711.90259410.021.650.4113.17 32昆明102.7325.0417.41329660.022.020.4918.68 33深圳114.5822.0712.23918220.056.271.2111.10 34廈門118.124.5413.28581570.034.100.8512.15 35寧波121.5329.8211.43673940.044.881.2010.30 36理論中心坐標(biāo)及最小誤差112.7332.453.23113.9332.522.38

首先應(yīng)用公式（1），代入上表35個(gè)城市的坐標(biāo)，計(jì)算出中心城市的理論坐標(biāo)位置為（112.73，32.45）.對照該理論位置坐標(biāo)，在航空網(wǎng)絡(luò)中并沒有一個(gè)完全吻合的航空網(wǎng)點(diǎn)城市，因此我們需要找出位置誤差最小的實(shí)際城市.誤差的計(jì)算公式為：|xi-x|+|yi-y|，具體各城市坐標(biāo)位置的誤差分布為表中的“誤差1”數(shù)據(jù).經(jīng)過比較，得出與理論中心坐標(biāo)位置誤差最小的城市是鄭州，鄭州的坐標(biāo)為（113.65，34.76）.

再應(yīng)用公式（2）考慮加權(quán)的情況.城市人均GDP指標(biāo)是城市總GDP與總?cè)丝跀?shù)的比值，是能夠客觀反映一個(gè)城市的綜合經(jīng)濟(jì)實(shí)力的，而經(jīng)濟(jì)越發(fā)達(dá)的城市對于航空運(yùn)輸?shù)倪\(yùn)量需求越大.本文取各大城市（不考慮臺(tái)北市）2015年人均GDP指標(biāo)作為各個(gè)航空網(wǎng)點(diǎn)城市的權(quán)值計(jì)算樣本，2015年人均GDP指標(biāo)經(jīng)過歸一化得到各個(gè)城市網(wǎng)點(diǎn)的權(quán)值mi，2015年人均GDP及計(jì)算權(quán)值mi具體數(shù)據(jù)見上表.這里的歸一化處理是為了滿足公式（2）的條件，即m1+m2+…+mn=1，可通過計(jì)算第i個(gè)城市的人均GDP指標(biāo)與所有城市人均GDP指標(biāo)總和的比值獲得.應(yīng)用公式（2），結(jié)合經(jīng)濟(jì)指標(biāo)作為權(quán)值mi計(jì)算得到理論中心城市坐標(biāo)位置為（113.93，32.52）.對照此中心位置，計(jì)算與之的距離誤差，數(shù)據(jù)詳見表中“誤差2”.與理論中心坐標(biāo)位置誤差最小的城市正是武漢，武漢的坐標(biāo)為（114.31，30.52）.

綜上，純粹從地理位置考慮，武漢作為中心城市位置并不是絕對最優(yōu)的，地理位置最優(yōu)的是鄭州；當(dāng)結(jié)合經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，武漢是在我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展體系中作為航空新樞紐的最佳選擇.

四、結(jié)論

本文對當(dāng)前的航空運(yùn)輸中樞紐熱點(diǎn)城市之一——武漢市的航空新樞紐地位進(jìn)行了討論，通過最小二乘法對航空網(wǎng)絡(luò)的樞紐港進(jìn)行了具體計(jì)算.文中巧妙地采用配方法簡化了距離平方和計(jì)算公式，推導(dǎo)出航空網(wǎng)絡(luò)中心坐標(biāo)的公式，也推導(dǎo)了更符合實(shí)際情況的加權(quán)公式；然后結(jié)合我國35個(gè)重要大城市的地理位置、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，分別應(yīng)用不同的公式進(jìn)行了對比計(jì)算.計(jì)算結(jié)果表明，結(jié)合當(dāng)前具有重大現(xiàn)實(shí)意義的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)人均GDP作為加權(quán)，武漢作為航空新樞紐是適應(yīng)我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展形勢下的最佳選擇.

當(dāng)然，能夠作為權(quán)值的還有其他指標(biāo)，比如人口因素可能影響航空客運(yùn)，因此公式（2）可以往多權(quán)值上繼續(xù)推廣.另外，航線規(guī)劃也是直接影響航空樞紐地位的重要因素，可以通過公式（2）反向求解權(quán)值mi，即如果要讓武漢市站穩(wěn)航空樞紐的位置，考慮哪些因素和如何規(guī)劃航線對武漢航空樞紐作用的發(fā)展最有利.此處不贅述.

1.賈銳軍.從美國機(jī)場發(fā)展經(jīng)驗(yàn)看中國航空樞紐建設(shè)的前景［J］.上海綜合經(jīng)濟(jì)，2004（Z1）.Z