☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 劉佳艷 周思波 陶丹

以CPFS結(jié)構(gòu)理論指導(dǎo)高三二次函數(shù)的復(fù)習(xí)教學(xué)

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 劉佳艷 周思波 陶丹

南京師范大學(xué)喻平教授認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理中的CPFS結(jié)構(gòu)恰當與否，是學(xué)生學(xué)習(xí)了一個命題，特別是一組命題后，是否會靈活應(yīng)用這些命題的一個主要因素.如果學(xué)生正確理解了一個命題或命題組，他會在頭腦中建立一個正確、良好的CPFS結(jié)構(gòu).但如果這個結(jié)構(gòu)中有一個命題或結(jié)點聯(lián)結(jié)不正確或不透徹，則會影響這一組命題，以及相關(guān)的另一組命題的學(xué)習(xí)［1］.同時，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的相關(guān)研究表明：學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)是其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)應(yīng)呈層次網(wǎng)絡(luò)形式.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)之一就是構(gòu)建和完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu).

二次函數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位，屬初中內(nèi)容，但由于它密切聯(lián)系了高中許多知識，并且應(yīng)用非常廣泛，因此每年高考都會大量涉及二次函數(shù)的內(nèi)容，所以二次函數(shù)成了高考永恒的話題.縱觀歷年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的考查，都結(jié)合了其他知識.它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延.在高中階段，作為最基本的初等函數(shù)，它可以作為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其他平面曲線討論相互之間的關(guān)系，這些縱橫聯(lián)系，使得高考圍繞二次函數(shù)的問題層出不窮.因此，學(xué)生在高三復(fù)習(xí)時應(yīng)建立二次函數(shù)的知識體系，能運用函數(shù)的思想及其方法去分析、解決相關(guān)問題.

目前有關(guān)構(gòu)建學(xué)生良好數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)教學(xué)策略的相關(guān)研究，大都為一般性理論的探討.本文從二次函數(shù)這個具體實例出發(fā)，建立關(guān)于二次函數(shù)的概念體系，用以完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，為數(shù)學(xué)教學(xué)實踐提供一個可操作的教學(xué)模式.

一、CPFS結(jié)構(gòu)理論及其教學(xué)啟示

喻平教授指出，良好的CPFS結(jié)構(gòu)就是在長時記憶中儲存了大量的數(shù)學(xué)知識、方法、信息，它們由彼此的數(shù)學(xué)關(guān)系相連結(jié)，形成穩(wěn)固的知識網(wǎng)絡(luò).當面臨新問題時，便會沿網(wǎng)絡(luò)搜尋提取，這是一個激活知識方法結(jié)點的過程（在網(wǎng)絡(luò)中更易激活且是迅速的、全方位的）［1］.

學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)（即CPFS結(jié)構(gòu)）的發(fā)展和完善，對提高學(xué)生的學(xué)業(yè)水平和數(shù)學(xué)能力都有著十分重要的作用.在高三復(fù)習(xí)時，完善個體的CPFS結(jié)構(gòu)是貫穿高三復(fù)習(xí)全過程的重要任務(wù).

二、CPFS結(jié)構(gòu)理論指導(dǎo)構(gòu)建二次函數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

根據(jù)喻平教授的CPFS結(jié)構(gòu)理論，“+”號表示強抽象關(guān)系，“-”號表示弱抽象關(guān)系.（注：強抽象：通過引入新的特征來強化原結(jié)構(gòu)A，使獲得的新的概念或理論B，B是原型A的特例，則稱A到B的抽象為強抽象，或稱A與B之間的關(guān)系存在強抽象關(guān)系.弱抽象：從一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)A中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)A更廣的結(jié)構(gòu)B，使原結(jié)構(gòu)A成為結(jié)構(gòu)B的特例，就稱A到B的抽象為弱抽象，或稱A與B之間存在弱抽象關(guān)系.［1］）

圖1 二次函數(shù)概念體系

函數(shù)的上位概念是映射，從映射到函數(shù)是強抽象關(guān)系.二次函數(shù)的上位概念是函數(shù)，從函數(shù)到二次函數(shù)的抽象是強抽象.在函數(shù)這一層面，要研究一些特殊的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.二次函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)也要討論這些問題，而主要是單調(diào)性和奇偶性.二次函數(shù)與二次方程表示同一個概念，是對同一概念的不同形式的描述，因此它們之間是等價關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c是二次不等式y(tǒng)≥ax2+bx+c的特殊情形，從y= ax2+bx+c到y(tǒng)≥ax2+bx+c的抽象為弱抽象.二次函數(shù)是拋物線的一種特殊情形，是拋物線中特殊的一種.等差數(shù)列的前n項和的通項是二次函數(shù)的特例.在這個概念體系中，蘊含了對應(yīng)思想（數(shù)與形的對應(yīng)），化歸思想（將數(shù)的問題化歸為形的問題，或者將形的問題化歸為數(shù)的問題），離散與連續(xù)的辯證關(guān)系（等差數(shù)列前n項和通項對應(yīng)的是某二次曲線上離散的點列），特殊化和一般化思想（表現(xiàn)為強抽象關(guān)系或弱抽象關(guān)系），不變形（量）思想（等價關(guān)系）［1］.

三、二次函數(shù)概念體系的教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，提出主要問題

由于學(xué)生難以理解強抽象關(guān)系與弱抽象關(guān)系，因此教師在教學(xué)過程中，把強抽象與弱抽象講解為特殊與一般的關(guān)系.

問題1在初中和高中，我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，那我們以二次函數(shù)為中心，聯(lián)結(jié)與二次函數(shù)相關(guān)的概念，應(yīng)該建立怎樣的概念體系？

設(shè)計意圖：這個主要問題的設(shè)計，讓學(xué)生明確本節(jié)課的目的，是將二次函數(shù)所有的相關(guān)的知識及概念形成一個知識結(jié)構(gòu).

（二）通過一系列子問題完善網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

問題2首先，從二次函數(shù)這個名字可以知道，二次函數(shù)是什么？

學(xué)生：函數(shù).

問題3所以二次函數(shù)是函數(shù)的一種特殊情形，而函數(shù)又是什么的特殊情形呢？

學(xué)生：映射的特殊情形.

問題4一起回顧映射和函數(shù)的定義，那映射和函數(shù)的區(qū)別在哪呢？

學(xué)生：映射描述的是兩個非空集合的關(guān)系，而函數(shù)描述的是兩個非空數(shù)集的關(guān)系.

設(shè)計意圖：二次函數(shù)是函數(shù)的一種，函數(shù)是映射的一種，讓學(xué)生明確特殊與一般的關(guān)系.

問題5我們在研究函數(shù)的時候會結(jié)合函數(shù)圖像研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？

學(xué)生：單調(diào)性、奇偶性、周期性等.

問題6函數(shù)的單調(diào)性和周期性是怎么定義的？分別體現(xiàn)函數(shù)的整體性質(zhì)還是局部性質(zhì)？判斷的方法有哪些？

問題7對于二次函數(shù)，它們的單調(diào)性和奇偶性是什么樣的呢？

學(xué)生：從a的取值說明二次函數(shù)的單調(diào)性，b=0時函數(shù)為偶函數(shù).

設(shè)計意圖：從函數(shù)到研究函數(shù)的性質(zhì)，是一般到特殊的關(guān)系，而從二次函數(shù)到函數(shù)的性質(zhì)，是特殊到一般的關(guān)系，通過一邊提問一邊畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生回顧已有知識并體會結(jié)構(gòu)關(guān)系.

問題8我們再來看二次函數(shù)和二次不等式有什么關(guān)系？誰是誰的特殊情形？怎樣求解二次不等式？求解過程中與二次函數(shù)有什么聯(lián)系？這其中包含了什么數(shù)學(xué)思想？（化歸思想，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題）

設(shè)計意圖：二次函數(shù)是二次不等式的特殊情形，找出它們之間的關(guān)系，并體會在解題中所用到的數(shù)學(xué)思想.

問題9聯(lián)系二次函數(shù)和二次方程的定義，考慮二次函數(shù)和二次方程存在著怎樣的聯(lián)系？這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的什么思想？（等價關(guān)系：不變量思想）

設(shè)計意圖：體會同一概念的不同描述，體會數(shù)學(xué)思想.

問題10我們再回顧一下拋物線的形式有哪些？考慮二次函數(shù)和拋物線之間存在著怎樣的關(guān)系？那我們是否可以通過二次函數(shù)的性質(zhì)解決拋物線的有關(guān)問題？其他圓錐曲線的問題呢？

設(shè)計意圖：通過知識間的聯(lián)結(jié)，找到知識點之間的共通性.

問題11等差數(shù)列的前n項和公式是什么？如果已知等差數(shù)列的首項和公差，那這個式子中的變量是什么？和二次函數(shù)有什么聯(lián)系？它們的區(qū)別在哪？這體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？那在解決等差數(shù)列的前n項和有關(guān)問題時，可以通過什么來研究？

設(shè)計意圖：通過聯(lián)結(jié)二次函數(shù)和等差數(shù)列的前n項，讓學(xué)生體會連續(xù)和離散之間的關(guān)系，并用二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)解決等差數(shù)列的前n項相關(guān)問題.

四、結(jié)合試題強化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

教師在完成二次函數(shù)的概念體系之后，結(jié)合相關(guān)試

題強化學(xué)生的概念結(jié)構(gòu)，形成知識之間的聯(lián)結(jié).

（一）二次函數(shù)基本概念結(jié)構(gòu)

二次函數(shù)的基本概念結(jié)構(gòu)是指二次函數(shù)與函數(shù)、映射及函數(shù)性質(zhì)之間的概念結(jié)構(gòu)，試題如下：

例1（2015年湖北卷）a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=|x2-ax|在區(qū)間［0，1］上的最大值，記為g（a）.當a=______時，g（a）最小.［2］

該題考查了二次函數(shù)與函數(shù)中的分段函數(shù)、函數(shù)圖像、單調(diào)性、最值等基本概念結(jié)構(gòu).

（二）二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)結(jié)

例2（2015年江蘇卷）不等式2x2-x＜4的解集為_________.［2］

例3（2009年江蘇卷）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；

（2）求f（x）的最小值；

（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

這兩題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次不等式的解法.

（三）二次函數(shù)與二次方程的聯(lián)結(jié)

例4已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的范圍；

（2）若方程兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的范圍.

該題考查了二次方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義，設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.

（四）二次函數(shù)與等差數(shù)列前n項和的聯(lián)結(jié)

等差數(shù)列｛an｝的前n項和d（a1是首項，d是公差）當公差d≠0時，Sn可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，其圖像過原點，開口方向取決于d的符號，利用二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)解決一些與等差數(shù)列前n項和相關(guān)的問題.

例5已知｛an｝是等差數(shù)列且不是常數(shù)數(shù)列，設(shè)Sn= a1+a2+a3+…+an，則在數(shù)列｛an｝中（）.

A.每一項均為零

B.必有一項為零

C.至多一項為零

D.沒有一項為零或者無窮多項為零

等差數(shù)列｛an｝不是常數(shù)數(shù)列其前n項和的圖像拋物線除必過原點外，還只與n軸交于另一點（m，0），但橫坐標m不一定為正整數(shù)，所以選B.此題通過二次函數(shù)的圖像求解等差數(shù)列前n項和的問題，等差數(shù)列前n項和實際上是二次函數(shù)的特殊情形，是二次函數(shù)上自變量取正整數(shù)的情形.

（五）二次函數(shù)與圓錐曲線的聯(lián)結(jié)

（1）求直線FM的斜率；

（2）求橢圓的方程；

該題考查了橢圓的標準方程、二次不等式等知識，將二次函數(shù)、橢圓、圓等知識相結(jié)合，圍繞二次方程、二次不等式展開，將知識擴展到圓錐曲線.二次函數(shù)是一種特殊的圓錐曲線也就是拋物線，所以建立二次函數(shù)與圓錐曲線的聯(lián)結(jié)具有重要意義.

五、結(jié)束語

教師對教學(xué)的研究應(yīng)該是無止境的，數(shù)學(xué)教學(xué)研究必須關(guān)注教學(xué)的事實［3］：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課擔(dān)負著打好學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重任.數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與提高是通過知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和具體問題的解決來實現(xiàn)的.因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中建構(gòu)學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)和選題至關(guān)重要.

1.喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2004.

2.薛金星.2015年全國及各省市高考試題全解［M］.西安：陜西人民教育出版社，2015.

3.裴光亞.數(shù)學(xué)教學(xué)研究的意義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2002（1）.Z