☉江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué) 紀(jì)秀艷

關(guān)注課本教學(xué)的幾點(diǎn)思考

☉江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué) 紀(jì)秀艷

課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的參考依據(jù).縱觀近幾年高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)許多考題都可以在課本找到“影子”.但是，“輕視課本”大有人在，特別是在基礎(chǔ)年段，由于數(shù)學(xué)概念的復(fù)雜性和抽象性，學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)概念只要熟記即可，教師認(rèn)為概念難以講清楚，何況學(xué)生不感興趣，照本宣科即可，這也就造成當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中不同程度地存在“概念知識(shí)一帶而過”的局面，直接導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象是模糊的，不利于高三的復(fù)習(xí).為此，高三復(fù)習(xí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些重要數(shù)學(xué)概念進(jìn)行回歸再讀.

一、關(guān)注課本知識(shí)的延伸性

課本例題和習(xí)題具有一定的示范性，我們不能簡(jiǎn)單地一解了之.下面以一道例題為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行深入的探究，對(duì)開發(fā)學(xué)生的智力、培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)的作用.

案例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+x）n≥1+nx（x＞-1，n為正整數(shù)）.（北師大版數(shù)學(xué)選修教材4-5數(shù)學(xué)歸納法一節(jié)例3）

本題作為選修教材中的內(nèi)容，學(xué)生經(jīng)過兩年多的學(xué)習(xí)，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)比較豐富，基本技能比較扎實(shí)，可以從多角度思考，尤其遇到與正整數(shù)有關(guān)的命題，除了數(shù)學(xué)歸納法之外，還可以函數(shù)、不等式、數(shù)列等多方面思考.本題題干中要求用數(shù)學(xué)歸納法證明本身就局限了學(xué)生的思維，將“用數(shù)學(xué)歸納法”這六個(gè)字刪去，更能起到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的作用.在教師的啟發(fā)下，學(xué)生給出的幾種證明方法：

證法1（數(shù)學(xué)歸納法）：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式明顯成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即（1+x）k≥1+kx，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，x+1＞0，由假設(shè)（1+x）k≥1+ kx，得（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2

因?yàn)閗x2≥0，所以1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x，

即n=k+1時(shí)命題成立.

綜合（1）（2）知，命題成立

證法2（多元均值不等式）：當(dāng)1+nx＜0時(shí)，原式顯然成立，當(dāng)1+nx＞0時(shí)，

證法3（運(yùn)用數(shù)列解決問題）：不等式兩端都含有自然數(shù)n，如果集中到一端可使問題簡(jiǎn)化.

an+1-an=

故an≤1恒成立，原命題得證.

證法4（導(dǎo)數(shù)法）：當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立.

當(dāng)n≥2時(shí)，令f（x）=（1+x）n-nx-1，則f′（x）=n（1+x）n-1-n，顯然，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在x=0處取得極小值，且f（0）=0，

故對(duì)于所有的x＞-1且x不為0，均有f（x）＞0，即（1+ x）n≥1+nx，原命題得證.

命題的推廣：指數(shù)n如果不是正整數(shù)時(shí)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題教學(xué)占有相當(dāng)重要的地位，研究例題不僅可以加深學(xué)生對(duì)概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，更重要的是可以開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)和提高學(xué)生解決問題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.因此，只有充分挖掘例題的內(nèi)涵，拓展其外延，才能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高.

二、關(guān)注課本知識(shí)體系

掌握概念就是掌握同類事物的共同本質(zhì)屬性.按照認(rèn)識(shí)論原理，人類不可能一次地和孤立地認(rèn)識(shí)一類事物的本質(zhì)屬性，必須用聯(lián)系的方法，經(jīng)歷一個(gè)由感性到理性的發(fā)展過程.因此，回歸課本概念，不是孤立、離散對(duì)待各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)宏觀看待各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，“穿針引線”，建構(gòu)知識(shí)體系.

在人教版必修4“向量”章節(jié)中指出：向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)和特征，又有幾何特征，通過向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁.相比較而言，學(xué)生對(duì)向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對(duì)向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無從下手.因此，教學(xué)中可以結(jié)合課本知識(shí)，關(guān)注向量多方面的知識(shí).

所以，從而△ABC是正三角形.

注：實(shí)質(zhì)上本題中O為△ABC的外心和重心，證法1用代數(shù)法對(duì)學(xué)生要求比較高，關(guān)鍵是建系設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)；證法3利用三個(gè)等腰的三角形得出結(jié)論.

變形1：已知a+b+c=0，且|a|=3，|b|=5，|c|=7，求a與b的夾角θ.

分析：由已知得-c=a+b，兩邊同時(shí)平方得2a·b=15，于是cosθ=求△ABC的內(nèi)角C的大小.

解法2：同解法法1求得，其

圖1

解法1：可以仿上一題證法2，不難求出C=135°.

解法2：如圖2所示，仿變形2很易求出∠AC′B=45°，再根據(jù)A，C，B，C′四點(diǎn)共圓，由此可求出結(jié)果.

注：解法2如果不借助圖很易出錯(cuò).

圖2

解法1：以O(shè)A所在直線為x軸，過O垂直x軸的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示，設(shè)∠AOC=α，扇形所對(duì)應(yīng)的半徑為r，則A（r，0），B.由很易得到方程組，再由輔助角公式不難求出的最大值為2.

圖3

解法3：仿解法1建立坐標(biāo)系，如圖4，過C分別作OA、OB的平行線，構(gòu)造平行四邊形ODCE，則x∠ODC=60°.在△ODC中，由余弦定理不難得到x2+y2-xy=1，這樣就轉(zhuǎn)化解法2.

圖4

向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算，在處理平面幾何的有關(guān)問題時(shí)，往往有其獨(dú)到之處，教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力.向量的代數(shù)運(yùn)算關(guān)鍵是如何求出坐標(biāo)，也就是要首先建系，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系對(duì)題目解決起著很大作用.本文的例題源于書本，這提示我們：要深入研究課本，拓展外延，才能真正地學(xué)以致用，達(dá)到能力的提升，適應(yīng)高考，促進(jìn)自身的發(fā)展.

事實(shí)上，“知識(shí)體系”是對(duì)課本概念再解讀的重要手段，教師復(fù)習(xí)時(shí)要注意“授之以漁”，引導(dǎo)學(xué)生“實(shí)踐反思”.當(dāng)然，“建構(gòu)知識(shí)體系”對(duì)高中學(xué)生而言，必要而又重要，教師關(guān)鍵在于引導(dǎo).

三、關(guān)注課本知識(shí)的縱橫遷移

圖5

明確概念，不僅要關(guān)注概念的內(nèi)涵，同時(shí)要關(guān)注概念的外延，厘清概念與其他概念之間的關(guān)系，最終能較好實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的遷移.因此，回歸課本概念，要對(duì)課本上的知識(shí)和方法加以總結(jié)提高，加以成“串”，使知識(shí)“升華”，最終達(dá)到知識(shí)間的“縱橫遷移”.

比如，選修2-2中導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線是一個(gè)重要的概念，在這概念中關(guān)鍵在于抓住“當(dāng)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于切線”（如圖5），即要關(guān)注“逼近思想”、“以直代曲”.

在這理解的基礎(chǔ)上，不僅可以讓學(xué)生明白“切線”定義的發(fā)展（切線不再是一般曲線（如圓錐曲線）中與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，切線與曲線可以不止一個(gè)交點(diǎn)），關(guān)注曲線“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”的差異；而且可以讓學(xué)生更清晰地知道“已知函數(shù)的單調(diào)性，逆向求參數(shù)”時(shí)為什么要“等號(hào)”的原因（如y=x3在R上單調(diào)遞增，但導(dǎo)數(shù)可能為0，如y′|x=0= 0）；進(jìn)而讓學(xué)生弄清楚“割線斜率”與“導(dǎo)數(shù)”之間的差異（后者是對(duì)前者的無限逼近，即取極限）.這樣，當(dāng)面對(duì)2012年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)第12題：設(shè)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）都是定義在R上的函數(shù)，則“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

我們的學(xué)生也許能較快辨認(rèn)正確答案為B.

“縱橫遷移”是對(duì)知識(shí)的一種“悟”，它離不開學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的理解掌握、拓展延伸、歸納反思，是回歸再讀課本概念的一個(gè)較高境界.復(fù)習(xí)時(shí)，教師關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待問題.比如可以“類比平面向量學(xué)習(xí)空間向量”，“可以用函數(shù)的眼光看待數(shù)列”等等，這樣，數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)不再孤立，知識(shí)間的縱橫遷移也會(huì)水到渠成.

近幾年的新課標(biāo)卷越來越強(qiáng)調(diào)能力和方法的考查，能力和方法的提升離不開對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解，倘若復(fù)習(xí)時(shí)，我們能引導(dǎo)學(xué)生重視回歸課本概念，關(guān)注概念形成，注重建構(gòu)知識(shí)體系，努力實(shí)現(xiàn)縱橫遷移，把課本的概念讀懂、讀透，這何嘗不是一種人人可操作而又有效的復(fù)習(xí)手段！Z