廣西大學附屬中學 蘆英峰

初中數(shù)學最短路徑問題的探究與延伸

廣西大學附屬中學 蘆英峰

題目：（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)在要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）

一、審題分析

本題屬于最短路徑問題，學生比較陌生，對題目的理解難度比較大，首先引導學生通過多次讀題理解題意：已知A、B兩地在一條河的兩岸，且河的兩岸可以看成是平行的直線，則可畫出兩條平行的直線a和b，點A和點B是定點，分別位于兩直線的兩側?，F(xiàn)要建一座橋MN，要求橋與河垂直，即線段MN與直線a，b垂直。所要求的問題是橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短，即線段MN位于何處時，可使AM+MN+NB最小，從而將實際問題轉化為數(shù)學問題，如圖1所示。

圖1

二、探究過程

1.探究線段MN的大致位置：學生在自主探究時，根據(jù)兩點之間，線段最短，容易想到連接AB分別交直線a，b于M和N兩點，則線段MN即為所求。如圖2所示，引導學生思考這種作法是否可行，從而發(fā)現(xiàn)與題目中的條件“橋與河垂直”相矛盾。

圖2

2.探究線段MN的準確位置。

引導學生復習前面學過的求直線上的點到直線外異側兩點的距離之和最小問題，已知A、B兩個定點分別位于一條直線l的兩側，要在直線上找到一點使得它到這兩個定點的距離之和最小，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AB與直線l交于一點，即為所求。引導學生對比本題，思考能否通過某種途徑將直線a和直線b重合在一起，從而將“兩線兩點”問題轉化成“一線兩點”問題，學生會想到利用平移的方法，從而得到作圖思路。

作圖步驟：（1）同時將直線a和點A沿與河岸垂直的方向平移一個河寬，使直線a與直線b重合，點A移動到A′。

（2）連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a，垂足為M，連接AM則線段MN即為所求。

（3）如圖3所示。從而得到最短路徑為：A→M→N→B

圖3

3.證明線段MN的位置即為所求。

引導學生在直線b上異于點N任取一點G，過點G作GH⊥a，垂足為H，連接AH，GB，A′G，如圖4所示，則只需證明AM+MN+NB＜AH+HG+GB。由于橋的長度不變，故MN=HG，從而只需證明AM+ NB＜AH+GB。根據(jù)平移性質可得AM=A′N，AH=A′G，進而將問題轉化為只需證明A′N+NB＜A′G+GB。 由圖可知，A′N+ NB=A′B，最終問題可轉化為只需證明A′B＜A′G+GB。學生容易想到根據(jù)三角形的三邊關系進行證明，最終得到證明思路。

圖4

4.多種作圖方法。

作法二：如圖5所示，同時將直線b和點B沿與河岸垂直的方向平移一個河寬。使直線b與直線a重合，點B移動到B′，連接B′A交直線a于點M，過點M作MN⊥b，垂足為N，則線段MN即為所求。

圖5

作法三：如圖6所示，將點A沿與河岸垂直的方向平移一個河寬。點A移動到A′，連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a，垂足為M，連接AM，則線段MN即為所求。

點評：作法三與作法一本質上是相同的。

圖6

作法歸納：

明確平移的目的是使兩條直線重合在一起，從而將“兩線兩點”問題轉化成“一線兩點”問題，即轉化成求直線上的點到直線異側兩點的距離之和最小的問題。從而得到一般作法：沿與河岸垂直的方向分別同時平移點A和直線a，點B和直線b到某個位置，使直線a和直線b重合，點A移動到A′，點B移動到B′，則同樣也可以進行求解，留給學有余力的同學課后繼續(xù)探究。

三、延伸推廣

最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。算法具體的形式包括：

1.確定起點的最短路徑問題——即已知起始結點，求最短路徑的問題。

2.確定終點的最短路徑問題——與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。

3.確定起點和終點的最短路徑問題——即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

4.全局最短路徑問題——求圖中所有的最短路徑。