●李 晶 李德安

(曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

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數(shù)學(xué)習(xí)題課上教師的無為和學(xué)生的有為*
——一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課的延伸及評(píng)析

●李 晶 李德安

(曲靖市第一中學(xué) 云南曲靖 655000)

數(shù)學(xué)離不開解題教學(xué)，習(xí)題課上充滿著師生共同的智慧.有時(shí)，在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上，教師高屋建瓴地給出更高、更妙的獨(dú)特見解，讓學(xué)生豁然開朗，如沐春風(fēng)；有時(shí)，教師也需提前“亮劍”，亮出自己“愚笨”的想法，以此，更能激發(fā)出學(xué)生探究的欲望，更能發(fā)揮出學(xué)生的主體作用.

在一節(jié)習(xí)題課上，執(zhí)教教師對(duì)一道題目的講解如下：

題目 半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形ABCD，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上.若雙曲線以A,B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C,D，則當(dāng)梯形ABCD的周長最大時(shí)，雙曲線的實(shí)軸長為

( )

圖1

教師板書 如圖1，由四邊形ABCD為等腰梯形，及|AB|=4為定值，可知原題即求當(dāng)|CB|+|CE|最大時(shí)雙曲線的實(shí)軸長2a.

設(shè)C(x,y)，其中x>0，y>0，則|CE|=x，由

得

點(diǎn)C滿足方程

得

b2x2-a2(4-x2)=a2b2,

從而

由x>0，得

從而

令cosθ-sinθ=t，其中0

1-2sinθcosθ=t2,

即

2sinθcosθ=1-t2,

因此

(1)

從而

因此

(2)

式(2)-式(1),得

此時(shí)

故

(板書完畢，很多學(xué)生表現(xiàn)得有點(diǎn)木訥.)

師：此解法在運(yùn)算上稍顯繁瑣，在解題中涉及2次換元，挑戰(zhàn)很大.但整個(gè)解題過程都是自然的，是通性通法，大家要掌握到位.相信大家一定有更好的方法，下課后請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考，上自習(xí)課時(shí)我們?cè)僖黄鹛接懪c分享.

評(píng)析 對(duì)題目的講解，教師通常應(yīng)循循善誘，以達(dá)師生共同解答的目的.但在此處，教師卻一講到底，突顯解題的規(guī)范、方向的明晰、運(yùn)算的準(zhǔn)確.當(dāng)然，也暴露出了解題方法的繁雜與笨拙，正是教師在學(xué)生面前有意展現(xiàn)這一不理想的解法，板書著這實(shí)實(shí)在在的“有為”，從而激發(fā)學(xué)生要探究新法，超越教師，要更有作為.一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課結(jié)束了，新的思緒卻帶到了課后.

以下摘錄自習(xí)課的片段：

師：關(guān)于題目的解答，課堂上我們給出了較繁瑣的解答，同學(xué)們通過課后思考與探究，有更高明的解法嗎？誰來談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

圖2

從而

師:此解法通俗易懂，看似設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)略顯繁瑣，但運(yùn)算起來很輕松，換元很巧妙，轉(zhuǎn)化到熟悉的二次函數(shù)的最值問題,是很好的通性通法，比上節(jié)課中的解法好多了！還有誰有不同的解法嗎？

評(píng)析 教師及時(shí)切中要害的點(diǎn)評(píng)，是學(xué)生思維提升的重要保證.一句“比上節(jié)課中的解法好多了！”對(duì)學(xué)生是一種莫大的鼓勵(lì).

AE=xcosθ.

因此當(dāng)x=2時(shí)，l最大，此時(shí)在Rt△ADB中，

因此

師：數(shù)形結(jié)合，引進(jìn)角度和線段長度這2個(gè)量.AB是圓O的直徑,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角,將cosθ表示出來,再在Rt△ADE中利用這一余弦值,將梯形周長表示成一個(gè)二次函數(shù).生2與生1都將問題轉(zhuǎn)化到了二次函數(shù)的最值問題,但出發(fā)點(diǎn)卻截然不同，有異曲同工之妙！

此時(shí)還有幾位學(xué)生在舉手.

師：請(qǐng)生3也說說想法吧.

圖3 圖4

生3：如圖4，

|OE|=|2cos(π-2θ)|=|-2cos2θ|,

因?yàn)辄c(diǎn)C在第一象限，π-2θ=∠BOC為銳角，即2θ為鈍角，所以

|OE|=-2cos2θ.

在Rt△OBF中，

|BF|=2cosθ，

從而

|BC|=4cosθ,

于是M=4cosθ-2cos2θ=4cosθ-4cos2θ+2,

在Rt△ABC中，

師：生3也是利用了圓的特性，在△OBC中，因?yàn)閨OB|,|OC|均為半徑，所以△OBC為等腰三角形.設(shè)出一個(gè)底角為θ，另2個(gè)角均可用θ表示.最后，將M也表示成了二次函數(shù)，但這里的變量是cosθ.我們?cè)俾犅犐?的想法.

生4：如圖5.因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C,D共圓，所以∠BOD=2∠BAD(同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍),從而

|OE|=|2cos(π-2α)|=|-2cos2α|.

因?yàn)辄c(diǎn)D在第二象限，2α顯然為鈍角，所以

|OE|=-2cos2α.

在Rt△AOF中，

|AF|=2cosα，

從而|AD|=2|AF|=4cosα(或在Rt△ABD中|AD|=4cosα),于是

M=4cosα-2cos2α，

以下同生3的解法.

師：生4與生3都是從角出發(fā)，利用圓的性質(zhì)，看到角之間的聯(lián)系.所設(shè)角不同，最后將M表示成了同一形式.

(生5有些迫不及待的樣子.)

師：生5有些著急了，你快說說.

圖5 圖6

從而 |AD|+|DC|+|CB|=2|b-a|+|c-b|=

cosθ=1-t2,

從而

以下同生3的解法.

師：利用向量的模表示線段的長度，有想法.其本質(zhì)就是在△AOD,△DOC中利用余弦定理表示(線段)邊長.

(教師環(huán)顧教室，發(fā)現(xiàn)還有學(xué)生在舉手.)

師：前面幾位同學(xué)，從問題出發(fā)，都能很好地找到自己解決問題的出發(fā)點(diǎn).最后，利用二次函數(shù)輕松解決問題.下面給大家一點(diǎn)時(shí)間，對(duì)照整理，梳理清晰.

評(píng)析 教師很好地控制著課堂節(jié)奏，并不讓學(xué)生一講到底，稍作停頓，讓學(xué)生真正理解其他學(xué)生的解法，而不是停留在一聽就懂的層面上.現(xiàn)階段課堂，教師很容易被積極反應(yīng)的課堂氛圍所迷惑，誤認(rèn)為學(xué)生真的接受和掌握了.

(幾分鐘后……)

師：我們看看還有幾位同學(xué)在舉手？哦，還有3位！下面聽聽這幾位同學(xué)的想法.

生6：如圖7，由四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形及托勒密定理可得

|AC|·|BD|=|AD|·|BC|+|AB|·|CD|.

設(shè)|AD|=m，則

|BD|=2a+m，

從而 (2a+m)2=m2+4|CD|.

(3)

在Rt△ABD中，

m2+(2a+m)2=16，

從而

m2+m2+4|CD|=16,

得

從而周長

當(dāng)m=2時(shí)，周長最大，此時(shí)|CD|=2，代入式(3)得

(2a+2)2=4+8=12,

得

師：在圓中，由托勒密定理可以找到梯形邊長之間的聯(lián)系，合理設(shè)出m，將梯形周長很好地表示出來，也得到了二次函數(shù).但與前面幾位同學(xué)的解法截然不同，可謂另辟蹊徑.

評(píng)析 托勒密定理在高考中并不要求，是數(shù)學(xué)奧賽涉及的內(nèi)容.學(xué)生解題中能自然想到，說明學(xué)生的解題能力較強(qiáng).

圖7 圖8

生7：如圖8，將半圓補(bǔ)成圓，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,則2(|AD|+|DC|+|CB|)即是圓內(nèi)接六邊形ADCBC′D′的周長，當(dāng)該內(nèi)接六邊形為正六邊形時(shí)，內(nèi)接六邊形的周長最大.此時(shí)∠COB=60°，因此

師：通過補(bǔ)形，將問題轉(zhuǎn)化到圓內(nèi)接六邊形周長最大時(shí)實(shí)軸2a的值問題.利用圓內(nèi)接正n邊形是圓內(nèi)接n邊形中周長的最大值，快速求出2a的值.解題確實(shí)很快，但我有個(gè)疑問，為什么圓內(nèi)接正n邊形是圓內(nèi)接n邊形周長中最大的情形呢？

評(píng)析 教師及時(shí)的質(zhì)疑，使學(xué)生對(duì)問題的思考從感性上升到理性.學(xué)生的閃光點(diǎn)在“感覺”，教師的閃光點(diǎn)在“理性”，學(xué)生的成長在“由感性到理性的思考”.

生7(有點(diǎn)不好意思地說)：我的感覺是這樣的，而且答案對(duì)了！至于為什么，我也說不清.

師：看來我們要靠集體的力量來解決它了，下面請(qǐng)大家思考交流，圓正內(nèi)接n邊形是圓內(nèi)接n邊形中周長最大的情形嗎？

評(píng)析 已由最初的問題，上升到了更有挑戰(zhàn)性的新問題.問題的提出是自然的，升華也是必然的.

(教室變得熱鬧了起來，討論聲不斷……，等待過程中教師也在思考著.過了一會(huì)，有個(gè)小組舉手.)

師：第4小組解決了，你們小組誰來說說？

生8：圓內(nèi)接正n邊形是圓內(nèi)接n邊形中周長最大的情形，證明如下：

圖9

設(shè)圓內(nèi)接n邊形的周長為l，則

因此,當(dāng)圓內(nèi)接n邊形為內(nèi)接正n邊形時(shí)，內(nèi)接n邊形的周長最長.

師：他們能想到利用琴生不等式探究最值問題，實(shí)屬不易.解答起來言簡意賅，輕松易懂.問題的關(guān)鍵是其他小組想到琴生不等式了嗎？你們又有怎樣的想法呢？課堂上時(shí)間有限，其他小組課后可按原有想法繼續(xù)探究.

評(píng)析 當(dāng)問題難度比較大時(shí)，可借助合作學(xué)習(xí)，共同探究，突顯學(xué)習(xí)共同體.

師：在不會(huì)做的情況下，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行合理的分析取舍，雖然通過此途徑得到的答案不一定對(duì)，但此推測(cè)是合理的，也是高明的.

評(píng)析 自習(xí)課(展示課)上學(xué)生的想法獨(dú)特，方法靈活，可看出學(xué)生是真思考、真探究,也展示出了真實(shí)力.學(xué)生的“真”，源于執(zhí)教者平時(shí)授課的靈活多樣，源于教師促使學(xué)生“真思考”，為學(xué)生提供“真平臺(tái)”.

這是一節(jié)延伸的習(xí)題課，重頭戲在課后的探究與自習(xí)課上學(xué)生探究成果的展示.學(xué)生樂于探究、勇于深入探究的源泉很多.就這節(jié)課而言，學(xué)生的探究成果是豐富的，究其根源，應(yīng)該是教師課堂上所展示的“繁瑣”解法.正是這一繁瑣的解法，讓學(xué)生切身感受到一定還有更好的方法.探究的起點(diǎn)并非高不可攀，學(xué)生易于站在這一平臺(tái)上思考下去.從心理上分析，學(xué)生的方法優(yōu)于教師，更使學(xué)生體驗(yàn)到一種成就感.教師在習(xí)題講解中，有時(shí)要適可而止，不要滔滔不絕地講解多種靈活方法，把習(xí)題課變成了教師解題的表演課，讓學(xué)生對(duì)教師更加“敬仰”.某種程度上，教師在方法上的“無為”，恰恰是學(xué)生解題方法的“有為”.

從學(xué)生思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)角度看，教學(xué)之所以獲得成功，執(zhí)教教師注重著以下幾方面：

1)時(shí)效性與延續(xù)性.課堂教學(xué)的有效性，不僅僅關(guān)注學(xué)生在課堂上學(xué)到了多少、掌握了多少,還要看課堂上會(huì)給課后帶來多少思考.這里課后的思考，絕不是課后要完成的課業(yè)負(fù)擔(dān)，還要做多少的題目，而是課堂上思維的延續(xù)與升華.課后的思考，學(xué)生積極的程度有多高,是積極主動(dòng)，還是敷衍了事？高效課堂，要達(dá)到課堂上的時(shí)效性，也要追求課后延續(xù)的有效性.

2)改革與改進(jìn).現(xiàn)階段，一提教育，便是改革.至于傳統(tǒng)，幾乎是改革的對(duì)象.常常聽到的是：“傳統(tǒng)的教學(xué)如何……，新課標(biāo)如何……”，有種將傳統(tǒng)教學(xué)置于眾矢之的的感覺.誠然，教育需要改革，但更多的是在傳統(tǒng)教學(xué)基礎(chǔ)上的改進(jìn).教師“笨拙”的解法，加上合理的引導(dǎo)與激發(fā)，就可成為一節(jié)精彩的探究課，這是改進(jìn)不是改革.

3)生生關(guān)系與師生關(guān)系.“三人行必有我?guī)熝伞?，幾十人的教室里又怎能只有教師一人呢！學(xué)生也是老師，那教師是什么？是導(dǎo)師.學(xué)生中的老師，需要給他們提供舞臺(tái)與空間，讓每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)成為其他學(xué)生的老師.生生之間的師生關(guān)系，牢不牢固，靈不靈活，關(guān)鍵在導(dǎo)師.

4)主導(dǎo)性與主體性.遵循“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”的教學(xué)原則.一方面教師要對(duì)課程資源進(jìn)行有效整合和教學(xué)設(shè)計(jì)，另一方面學(xué)生從問題入手、理解題目、相互討論或自我反省獲得知識(shí).問題解決需要教師預(yù)先的教學(xué)設(shè)計(jì)引領(lǐng)和具體的學(xué)法指導(dǎo).學(xué)習(xí)效果取決于自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的成效，而不是教科書或教師的權(quán)威規(guī)定和解答.要充分發(fā)揮小組學(xué)習(xí)共同體的作用，共同承擔(dān)責(zé)任和任務(wù)，建立多邊多向交流和合作共建關(guān)系.只有學(xué)生的自主性真正發(fā)揮出來了，教師的主導(dǎo)促進(jìn)作用才能落實(shí)到位.

5)無為與有為.2000多年前的老子已經(jīng)給出了管理的精髓——“治大國若烹小鮮”(《道德經(jīng)》第60章).教學(xué)的精髓又何嘗不是呢？“有為”是為了“無為”，“無為”又是為了“有為”.該“有為”時(shí)，就“有為”，不能失其時(shí);該“無為”時(shí)，就“無為”，要能知其時(shí).“無為”并非真的什么都不干，而是另一種形式的“有為”.教師在習(xí)題教學(xué)中，要爭取達(dá)到無為而無不為的境界！