張建奮

(廣州市白云區(qū)教育發(fā)展中心 廣東 廣州 510440)

(收稿日期：2016-05-26)

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物理源問題的“變式”構造與例析

張建奮

(廣州市白云區(qū)教育發(fā)展中心 廣東 廣州 510440)

(收稿日期：2016-05-26)

通過源問題加以變化構造變式題，可從原型題的結構進行分析，主要的構造方法有以下5種.(1)通過變換背景構造變式題；(2)通過逆向思考構造變式題；(3)通過類比構造變式題；(4)通過物理模型推廣構造變式題；(5)通過概念或過程“屬性”變化構造變式題.

問題變式 物理 構造 模型 否定假設法

變式教學是物理教學的熱點問題，也是中學教師自覺或不自覺運用的常用方法.將源問題加以變化，稱為問題變式.變式題的構造可通過對某一源問題進行條件變換、結論探索、逆向思考、圖形變化、類比、推廣等多角度、多方位的思考，使一道題變?yōu)橐活愵}，達到舉一反三的效果.教師進行變式教學，可根據不同的教學目標、教學任務和不同的生源狀況構造出相應的變式題，教學實踐中編擬變式題的方法很多，但常見的有如下幾種.

1 通過變換背景構造變式題

1．1 給物理命題配置實際背景

【例1】一質點在某高度以10 m/s的速度勻速豎直上拋，經17 s后到達地面.求拋出時物體離地的高度.

變式: 氣球以10 m/s的速度勻速豎直上升，從氣球上掉下一個物體，經17 s到達地面.求物體剛脫離氣球時氣球的高度.(g=10 m/s2)

事實上，這一實際情景所反映的物理問題的本身就是源問題.

1.2 實際背景的配置轉換

【例2】小船橫渡一條寬100 m的河流，船在靜水中的速度5 m/s,水流速3 m/s，要使渡河時間最短，船的實際位移是多少？

變式:民族運動會上有一個騎射項目，運動員騎在奔駛的馬背上，彎弓放箭射擊側向的固定目標，如圖1所示.假設運動員騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的弓箭速度為v2.跑道離固定目標的最近距離為d.假定運動員射箭時所用力量都相同，要想命中目標且射出的箭在空中飛行時間最短，弓箭運動員放箭處離目標的距離是多少？(本題忽略豎直方向運動的影響.)

圖1 騎射項目

量和角動量，它們的軌道可能是圓，也可能是橢圓，還可能是拋物線，或者是雙曲線的一支，但任意時刻3個天體始終構成一個正三角形.

1 姜付錦.三體問題一類特解的初探.物理通報,2015(2)：43～45

2 周衍柏.理論力學教程(第2版).北京：高等教育出版社,1985.67～77

本題物理模型是完全一樣的.牽連速度：水流速度-馬的速度；橫向位移：河寬-跑道離固定目標的最近距離;相對速度：船在靜水中的速度-運動員靜止時射出的弓箭速度;實際位移大?。捍膶嶋H位移大小-弓箭的運動員放箭處離目標的距離.這些都是一一對應的關系.

2 通過逆向思考構造變式題

把源問題的“條件”和“結論”在一定條件下進行轉換，得到變式題.這種反向變式題可以發(fā)展學生的逆向思維能力，增強思維的靈活性．

【例3】物體從靜止出發(fā)做勻變速直線運動，第1 s內通過的位移是1 m，求物體的加速度和8 s后的速度.

變式:火車剎車后經過8 s停下，若它在最后1 s內通過的位移是1 m，求火車的加速度和剎車時火車的速度.

一般來說，“正向思維”就是從問題的始態(tài)到終態(tài)，順著物理過程的發(fā)展去思考問題.而逆向思維則是反常規(guī)的，是將問題倒過來思考的思維方法.根據因果關系,由果導因，它是解決物理問題常用的思維方式.人們習慣于正向思維，許多物理問題，如果逆著正向思維的方向提出，往往使許多人不知所措.在習題課教學中，對某些題目進行逆向置換，即從事物的反面提出問題，以加強學生的逆向思維能力訓練，可培養(yǎng)思維的靈活性.本題若沿正向思維的思路來解，將是十分繁瑣的，不過若倒過來考慮，將火車的運動逆時間順序倒推過去，則剎車過程看作初速度為零的勻加速運動的逆過程，最后1 s通過的位移就變成了勻加速運動的最初1 s通過的位移，火車剎車時的速度就變成了勻加速運動的末速.由運動學公式

可得

a=2 m/s2v=16 m/s

3 通過類比構造變式題

所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的一種推理方法．類比是一種發(fā)現的方法，也是構造變式題的一種方法.

【例4】設質量為m的子彈以初速度v0射向靜止在光滑水平面上的質量為M的木塊，并留在木塊中不再射出，如圖2所示.求：整個過程中子彈和木塊系統(tǒng)動能的損失是多少？

圖2 子彈射入木塊并留在木塊中

變式1：如圖3所示，木塊A的右側為光滑曲面，曲面下端極薄，其質量MA=2 kg，原來靜止在光滑的水平面上，質量mB=2.0 kg的小球B以v=2 m/s的速度從右向左做勻速直線運動中與木塊A發(fā)生相互作用，求:B球沿木塊A的曲面向上運動中可上升的最大高度(設B球不能飛出去)。

圖3 小球向左運動與木塊相互作用

變式2: 如4圖所示，距離為L的兩塊平行金屬板A和B豎直固定在表面光滑的絕緣小車上，并與車內電動勢為U的電池兩極相連，金屬板B下開有小孔，整個裝置質量為M，靜止放在光滑水平面上，一個質量為m，帶正電q的小球以初速度v0沿垂直于金屬板的方向射入小孔，若小球始終未與A板相碰，且小球不影響金屬板間的電場．假設小球經過小孔時系統(tǒng)電勢能為零，則系統(tǒng)電勢能的最大值是多少？

圖4 變式2題圖

變式3: 兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L.導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖5所示．兩根導體棒的質量均為m，電阻均為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行．開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：在運動中產生的焦耳熱最多是多少．

圖5 變式3題圖

從源問題與變式題運用的力學規(guī)律基本相同，只是系統(tǒng)動能的減少轉化為不同類型的能量.盡管物理過程不一樣，但可采用類比的方法進行分析.

4 通過物理模型推廣構造變式題

推廣是擴大題目的條件中有關對象的范圍，或擴大結論的范圍．一個題目經過推廣后，源問題其實就是它的特殊情形，兩者具有包含與被包含的關系．這種推廣分兩種類型.

4.1 概念型(實物模型類)

【例5】如圖6，置于地面上的一單擺在小振幅條件下擺動，擺長為l，周期為T.可求得該處的重力加速度g.

圖6 單擺

變式1：圖7所示為一雙線擺，它是由在一水平天花板上用2根等長的細線懸掛一小球構成的．繩的質量和球的大小可忽略，設圖中角度θ和線長l為已知，則當小球在垂直于紙面的平面內做擺角小于10°的振動時，其振動的周期為多少?

圖7 雙線擺

圖8 通過弧形槽研究兩球相碰

變式3：如圖9 所示，在傾角為θ 的光滑斜面上，一根長為 L 的輕繩一端固定在斜面上，另一端系一個可看成質點的小球靜止在斜面上，今將小球拉離平衡位置一段很小的距離，放手后小球在斜面上來回擺動，不計空氣阻力，求其周期.

圖9 斜面上小球的周期性運動

4.2 規(guī)律型(過程模型類)

【例6】小球從距地面高h=15 m處的同一點拋出，初速度大小均為v0=30 m/s水平拋出，空氣阻力不計，重力加速度取g=10 m/s2．求球經多長時間落地？

變式1：如圖10所示，將質量為m的小球從傾角為θ的光滑斜面上A點以速度v0水平拋出(即v0∥CD)，小球運動到B點，已知A點的高度h，則小球到達B點時的速度大小為多少？

圖10 斜面上的小球水平拋出

變式2：如圖11所示，有一個很深的豎直井，井的橫截面為一個圓，半徑為R，且井壁光滑，有一個小球從井口的一側以水平速度v0拋出與井壁發(fā)生碰撞，撞后以原速率被反彈，求小球與井壁發(fā)生第n次碰撞處的深度.

圖11 從豎直井井口水平拋出小球

變式3：如圖12所示，豎直圓筒內壁光滑，半徑為R，筒壁上方有一入口A，在A的正下方h處有出口B，一質量為m的小球從入口A沿筒壁切線方向水平射入圓筒內，要使球從B處飛出，小球進入入口A處的速度v0應滿足什么條件？在運動過程中，球對筒的壓力多大？

圖12 小球從豎直圓筒壁上方水平射入

源問題是平拋運動模型，重力加速度為g，變式1是斜面內的類平拋運動，沿斜面向下的加速度g′=gsin θ相當原型題的g.變式2展開后情境也與原型題大體相同.變式3小球受重力和筒壁的支持力，并且具有水平初速度v0，因此，小球在筒內的運動可看作豎直方向的自由落體運動和水平方向速度為v0的勻速圓周運動兩個分運動的合運動，好像是一個卷成圓筒狀的平拋運動，其中拋出高度為h .

5 通過概念或過程“屬性”變化構造變式題

對問題所包含的某些“屬性”進行變化，這是從源問題出發(fā)，產生新問題.通過否定假設構造變式題對于問題提出的認知策略，研究者也從方論的角度積極的探索，其代表人物為美國學者布朗及瓦爾特(Brown&Walter)．他們對題提出進行了大量的實證研究后，提出了“否定假設法”(what-if．not,如果它不是這樣的，那么也可能是什么呢?).這一方法的核心是對源問題的條件與限定進行思考和自由改變來產生新問題.

5.1 物理過程的限制條件改變或條件開放構造新題

【例7】物體從地面以10 m/s的初速度豎直上拋一小球，拋出后，求： 1 s末、2 s末小球落速度和到拋出點的距離.(忽略空氣阻力的影響，取重力加速度g=10 m/s2).

變式1：在離地面15 m的高處，以10 m/s的初速度豎直上拋一小球，拋出后，求： 1 s末、2 s末、3 s末小球落速度和到拋出點的距離.(忽略空氣阻力的影響，取重力加速度g=10 m/s2)

變式2：一輛汽車以9 m/s的速度運動，進站后剎車制動，以加速度大小為3 m/s2做勻減速運動.從剎車開始計時，求汽車5 s內通過的位移.

原題是勻變速直線運動，第一階段上升過程，勻減速運動到最高點，以后做勻加速直線運動.變式1是拋出點位置改變，較變式1第二階段的位移放寬增加15 m；變式2隱含第二階段處于靜止狀態(tài).同樣，若條件開放，題目的結果會多種多樣的.

5.2 物理過程的背景條件改變構造新題

這種題目相當多，問題變式的兩類結構：水平變式和垂直變式.新問題相對源問題來說，學生能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式.水平變式是問題表面部分的重復，如：

【例8】如圖13所示裝置，電阻忽略不計，足夠長的光滑金屬導軌處于水平面內，導軌所在區(qū)域的勻強磁場豎直向下，兩導軌間連接一電阻R，金屬桿ab垂直導軌放置．現用一水平恒力F拉桿ab，使桿ab沿導軌從靜止起向右運動，試分析桿ab的運動狀態(tài)如何?

圖13 導軌水平放置

變式1：改變圖裝置的位置，使導軌處于豎直面內如圖14所示，現將桿ab由靜止起釋放，使其沿導軌滑下，桿與導軌保持接觸，試分析桿ab的運動狀態(tài)如何.

圖14 導軌豎直放置

變式2：改變圖裝置的位置，使導軌處于斜面內,如圖15所示，現將桿ab由靜止起釋放，使其沿導軌下滑，試分析桿ab的運動狀態(tài)如何.

圖15 導軌傾斜放置

原題中ab在運動方向上受到拉力F和與其方向相反的安培力F安作用，開始時，速度v增大→感應電動勢E增大→感應電流I增大→安培力F安增大→合外力減小→加速度a減速小→桿做加速度不斷減小的加速運動→當F安增大至與F相等時a=0→v不變→ab桿最終做勻速運動.變式1裝置豎直放置，拉力F換成重力，分析的過程與原題基本一樣.變式2裝置導軌傾斜，從導軌平面來看，受力情況也與原題大致相同，拉力改為重力的沿斜面的向下分量.

學生不能區(qū)分問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，帶來認知負荷的變化，為垂直變式.如：

【例9】如圖16所示，在光滑的水平桌面上有一質量為m的物體A，求在F=2mg的作用下物體A的加速度(假設繩子的質量以及繩子與定滑輪之間的摩擦力都可以忽略不計).

圖16 物體A在拉力F作用下沿桌面運動

變式1:如圖17所示，如果用質量為2m的物體B代替力F，則物體A的加速度為多大?

圖17 物體A在物體B的作用下沿桌面運動

分析：物體B與A一起做勻加速直線運動，故B對A的拉力不等于B的重力.讓學生通過比較上述兩個情境，批判地、辯證地思考拉力是否等于物體的重力.

變式2：如圖18所示，若將光滑的水平桌面改成傾角為30°角的光滑斜面，則物體A的加速度又為多大?

圖18 物體A在物體B的作用下沿斜面運動

由變式1到變式2，學生相應解決問題的認知負荷增加，需要調用的解題難度增大，需要用力的合成與分解的知識.還可以認為變式1是變式2的一種特例.同樣，在變式2的基礎上還可以變化，使問題更具一般性.

變式3：若在圖18中的斜面與物體A之間的動摩擦因數為0.2，則物體A的加速度又為多大?

這種物理過程的背景條件改變構造新的題，將條件一般化，變更求解的問題，可以將所學的思維引向深入.