蘇教版數(shù)學(xué)教材共分三次編排了認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的教學(xué)，分別是三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)“一個(gè)物體”的幾分之幾（分?jǐn)?shù)教學(xué)的“起始”課）、三年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)“一些物體”的幾分之幾、五年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)“單位‘1”的幾分之幾（分?jǐn)?shù)意義的“結(jié)束”課）。三次教材編排結(jié)合了學(xué)生的年齡與心理特征和認(rèn)知水平，具有明顯的思維遞進(jìn)與邏輯上升，形成對(duì)分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)的整體視角。下面便結(jié)合認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的教學(xué)觀察，就“缺位”現(xiàn)象進(jìn)行探討與思考，與大家交流、分享，以求指正。

一、關(guān)注靜態(tài)結(jié)果，過(guò)程路徑“缺位”，用“思維對(duì)接”補(bǔ)位

概念教學(xué)，不能只關(guān)注作為結(jié)論呈現(xiàn)的靜態(tài)抽象的本質(zhì)屬性，還需要特別關(guān)照數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)化過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程操作。三年級(jí)上冊(cè)第一次教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，書(shū)寫(xiě)分?jǐn)?shù)是基本目標(biāo)之一。表面上看，書(shū)寫(xiě)作為“靜態(tài)畫(huà)面”呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)能出現(xiàn)“極高的正確率”，便逐漸形成一種錯(cuò)覺(jué)：學(xué)生寫(xiě)出一個(gè)分?jǐn)?shù)是件十分簡(jiǎn)單的事。于是，教學(xué)中教師對(duì)于分?jǐn)?shù)的書(shū)寫(xiě)指導(dǎo)常常一帶而過(guò)，忽略了分?jǐn)?shù)書(shū)寫(xiě)過(guò)程的具體指導(dǎo)。細(xì)究分?jǐn)?shù)的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，受“從上往下、從前往后”等習(xí)慣性心理影響，常常先寫(xiě)分子再分?jǐn)?shù)線（或先分?jǐn)?shù)線再寫(xiě)分子），最后寫(xiě)分母。這種“只見(jiàn)分?jǐn)?shù)、不見(jiàn)意義”的“書(shū)寫(xiě)與為什么書(shū)寫(xiě)”之間的脫鉤，正是師本位的體現(xiàn)，是對(duì)學(xué)生視角的缺失。

事實(shí)上，“分?jǐn)?shù)的書(shū)寫(xiě)過(guò)程是有‘序存在的，可以結(jié)合分?jǐn)?shù)的概念形成，即分?jǐn)?shù)的意義來(lái)進(jìn)行。同時(shí)，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的各部分名稱的理解也能更到位”。比如：將一個(gè)物體平均分（寫(xiě)分?jǐn)?shù)線）成3份（寫(xiě)分母“3”），每份（寫(xiě)分子“1”）是它的三分之一（整體感知 ），如下圖。這種從意義出發(fā)的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，與中國(guó)古代對(duì)分?jǐn)?shù) 的描述“分三之一”高度一致，有效實(shí)現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的思維對(duì)接。

可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)過(guò)程中，一要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，在多了解學(xué)習(xí)的心理學(xué)的基礎(chǔ)上，注重結(jié)果的正確，重視過(guò)程的適切，暴露思維的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，在問(wèn)題解決時(shí)將知識(shí)方法的過(guò)程性和結(jié)論性統(tǒng)整并“脈動(dòng)”起來(lái)，既能看到正確的結(jié)論，又能捕捉到應(yīng)用概念達(dá)成問(wèn)題解決過(guò)程的思維軌跡。二要關(guān)注概念的生成邏輯，重視理解和記錄表達(dá)的結(jié)合與溝通。概念的生成，有著其“個(gè)性化”的發(fā)展邏輯，概念的理解也具有一定的學(xué)生個(gè)體性的內(nèi)化方式。在概念教學(xué)課中，可以從概念的本源出發(fā)，充分聯(lián)系概念或?qū)Ω拍畹睦斫夥妒竭M(jìn)行數(shù)學(xué)思維語(yǔ)言的“外化”，充分結(jié)合與溝通所學(xué)概念的內(nèi)涵，讓表達(dá)與記錄具備生長(zhǎng)的力量感。基于此，在教學(xué)數(shù)概念等知識(shí)時(shí)，可以適時(shí)滲透數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生在創(chuàng)生新知的同時(shí)，“看到”知識(shí)的“成長(zhǎng)”歷程，明白概念表達(dá)的科學(xué)性與合理性，感受數(shù)學(xué)的精、簡(jiǎn)、美。

二、重視正向分析，反向思辨“缺位”，到“思維彼岸”補(bǔ)位

思維是有“方向序列”的心理活動(dòng)，簡(jiǎn)單地可以分為“正向思維”和“反向思維”。反向思維可以看作是正向思維的“彼岸”，反映相反方向的另一面，常能在重要時(shí)刻起到關(guān)鍵作用，卻也常因人們習(xí)慣于正向思維的表達(dá)而被忽視。在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)生第二次學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，要把一些物體看作一個(gè)整體平均分，此時(shí)的“每份”等價(jià)于“一個(gè)或幾個(gè)”，實(shí)現(xiàn)個(gè)數(shù)與份數(shù)的明確“劃界”，這是這一階段學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和疑點(diǎn)。為了進(jìn)行突破，常會(huì)觀察到這樣的題組進(jìn)行對(duì)比與追問(wèn)：

出示“想想做做”第2題：

學(xué)生獨(dú)立完成，同桌相互交流，集體校改。

強(qiáng)調(diào)：把（ ）看作一個(gè)整體，平均分成（ ）份……

追問(wèn)1（并列呈現(xiàn)上面兩小題）：每份都是1個(gè)物品，為什么一個(gè)是 ，一個(gè)是 ？

追問(wèn)2（并列呈現(xiàn)下面兩小題）：同樣是把8個(gè)小看正方體作一個(gè)整體平均分，為什么一個(gè)是 ，而另一個(gè)卻是 ？

追問(wèn)3（并列呈現(xiàn)左邊兩小題）：為什么都是 ？

小結(jié)：把一些物體看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份都是它的幾分之一。每份的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)，也可能是幾個(gè)。

這一題組練習(xí)主要是熟練與規(guī)范思維方法，通過(guò)三次對(duì)比與追問(wèn)，從三種不同的維度正向感受“分?jǐn)?shù)與什么有關(guān)”，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)中分母與分子的具體所指。“學(xué)生同時(shí)解答題組中的各個(gè)小題，能及時(shí)對(duì)這些小題進(jìn)行比較，如果找到相同的成分就可以‘認(rèn)知組合，如果發(fā)現(xiàn)相異的因素就可以‘認(rèn)知分化”。無(wú)論是“認(rèn)知組合”還是“認(rèn)知分化”，都能夠較好地促進(jìn)對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的深刻理解與外延的整體把握。上面的教學(xué)案例中，教師過(guò)于關(guān)注知識(shí)本質(zhì)“認(rèn)知組合”下的抽象與概括，卻缺位引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于非本質(zhì)屬性進(jìn)行剝離的反向思維的經(jīng)歷。

所以，建議在此教學(xué)環(huán)節(jié)之后增加一個(gè)“反向思異”的追問(wèn)環(huán)節(jié)，獲得思維“反補(bǔ)”的機(jī)會(huì)：

追問(wèn)4（并列呈現(xiàn)4小題）：看來(lái)，得到的分?jǐn)?shù)與什么無(wú)關(guān)？

小結(jié)：分?jǐn)?shù)與被平均分的“整體”和所取“部分”所包含的具體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。

從“與什么有關(guān)”，到“與什么無(wú)關(guān)”，一正一反的兩類追問(wèn)，讓學(xué)生系統(tǒng)、全面地經(jīng)歷了整體感知與理性思考，強(qiáng)烈地感受到無(wú)論怎么平均分，都與被平均分的總數(shù)的具體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，而與這些總數(shù)“組成的整體”平均分時(shí)形成的份數(shù)和所取的份數(shù)有關(guān)，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)表示數(shù)量多少的相對(duì)性，較好地抽象出分?jǐn)?shù)的概念，完整地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過(guò)程，把對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知建構(gòu)引向深邃。

三、局限課時(shí)設(shè)計(jì)，長(zhǎng)程眼光“缺位”，在“思維盲區(qū)”補(bǔ)位

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，習(xí)題的設(shè)計(jì)在特定的階段也有著特定的需求與要求。由于在小學(xué)階段分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)分成三個(gè)階段進(jìn)行，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)的習(xí)題設(shè)計(jì)有著相對(duì)獨(dú)立的考量與階段遞進(jìn)要求，不但要符合學(xué)生相應(yīng)的認(rèn)識(shí)能力與水平層次，而且也要關(guān)注課時(shí)設(shè)計(jì)的“向前觸伸、向后銜接、向內(nèi)深化和向外拓展”，從而形成教學(xué)體系。只有“當(dāng)我們從系統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)概念時(shí)，概念教學(xué)才可能發(fā)生質(zhì)的飛躍，從孤立的知識(shí)點(diǎn)走向有結(jié)構(gòu)的整體。”否則，很容易形成思維盲區(qū)，影響學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的深刻把握，甚至造成理解上的思維定勢(shì)與偏差。

1.三年級(jí)上冊(cè)“一個(gè)物體平均分”：圖形“完全分”向“非完全分”延展endprint

曾經(jīng)多次在課堂上觀察到這樣的現(xiàn)象：在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)后，教師出示一組判斷題：下面的涂色部分是否表示 ，其中有如下圖式。學(xué)生、甚至老師都很容易受圖形的形狀影響而錯(cuò)判涂色部分不能表示為 。實(shí)際上，通過(guò)教師用心添加輔助線后，便一目了然了。只是，基于三年級(jí)學(xué)生初學(xué)分?jǐn)?shù)，此例有著較大的思維難度，遠(yuǎn)超學(xué)生的認(rèn)知水平，出現(xiàn)時(shí)機(jī)過(guò)早，不適用。

拋開(kāi)上例輔助線的“思維難度”，回到數(shù)學(xué)課堂中去，縱觀數(shù)學(xué)教材與課堂習(xí)題設(shè)計(jì)，有兩類設(shè)計(jì)是缺位的：第一類是教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的都是“完全平均分好”的成品，第二類是平均分后的每份很少形狀相同。見(jiàn)到學(xué)生獲得此種思維拓展的機(jī)會(huì)，教師創(chuàng)設(shè)“非完全平均分”的圖式情境缺位。

所以，建議在課尾增設(shè)類似下圖的“看圖寫(xiě)分?jǐn)?shù)”的習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生感受、思辨，積累操作經(jīng)驗(yàn)。一方面，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，“跳一跳”是能夠找到正確答案，摘下思維的果子的。另一方面，這樣的設(shè)計(jì)豐富了習(xí)題的思維層次，學(xué)生經(jīng)歷了“初看不平均分”到“細(xì)想平均分”的過(guò)程，走向了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵的理解：與每份的形狀無(wú)關(guān)，只與大小（數(shù)量）有關(guān)。

2.三年級(jí)下冊(cè)“一些物體平均分”：每份“整數(shù)個(gè)”向“非整數(shù)個(gè)”拓寬

在這一階段，無(wú)論是教材的例題與習(xí)題，還是教師創(chuàng)編的練習(xí)設(shè)計(jì)，通過(guò)教學(xué)，學(xué)生都能輕松地把一些物體平均分成幾份，并通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)每份可以是1個(gè)，也可以是幾個(gè)，分子只與“取”的份數(shù)有關(guān)，而與具體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的再次跨越。

只是，如果把三年級(jí)兩次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的教學(xué)聯(lián)系起來(lái)建構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的引入是從“一個(gè)物體平均分，每份不夠1個(gè)”而“生長(zhǎng)”出來(lái)，那么，到了第二次將一些物體平均分的時(shí)候，是不是也可以在平均分的過(guò)程中再次感受“每份不是正好幾個(gè)”呢？畢竟“每份不是整數(shù)個(gè)”的情況在現(xiàn)實(shí)生活與學(xué)習(xí)中也是一種常會(huì)接觸到的“常態(tài)”。所以，建議在原有基礎(chǔ)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，增添畫(huà)圖表示 的題組設(shè)計(jì)進(jìn)行適當(dāng)拓展，完成對(duì)常規(guī)習(xí)題的“補(bǔ)位”，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵把握的再次深入（如下圖）。

3.五年級(jí)下冊(cè)“單位‘1”平均分：從“部分與整體”向“部分與部分”滲透

早在2010年以前，特級(jí)教師唐彩斌曾做過(guò)這樣的調(diào)查：在圖中，你看到了什么分?jǐn)?shù)？并得出數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)論呢？縱觀三個(gè)階段的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)，都是用份數(shù)來(lái)定義的分?jǐn)?shù)，所有的圖像表征都是圍繞“部分與整體”之間的份數(shù)關(guān)系（即倍比關(guān)系）進(jìn)行的邏輯展開(kāi)，還沒(méi)有涉及“部分與部分”或“一個(gè)數(shù)量與另一個(gè)數(shù)量”之間的份數(shù)關(guān)系。所以，從某種角度上可以說(shuō)：三次分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是“一個(gè)數(shù)”內(nèi)部本身的大小度量與規(guī)律特征。直到后續(xù)例2、例3教學(xué)了“部分與部分”之間的份數(shù)關(guān)系（如下上圖），教學(xué)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，此外在例4正式研究“一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾”，并在練一練中首次出現(xiàn)分子比分母大的分?jǐn)?shù)的情況（如下下圖）。那么，在前三個(gè)階段教學(xué)分?jǐn)?shù)概念的過(guò)程中，是否也有機(jī)會(huì)提前滲透，適時(shí)打破學(xué)生的思維局限與定勢(shì)呢？拓寬對(duì)分?jǐn)?shù)概念的開(kāi)放性認(rèn)識(shí)呢？

五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”一課的教學(xué)是分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的結(jié)束課。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了大量有關(guān)分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，為了讓學(xué)生完整地感知分?jǐn)?shù)，不妨在課尾結(jié)束時(shí)增設(shè)“看圖說(shuō)分?jǐn)?shù)”的習(xí)題“向后銜接”并“向內(nèi)深化”，初步感知原來(lái)分?jǐn)?shù)除了能表示部分與整體的份數(shù)關(guān)系，還可以用來(lái)表示部分與部分之間的份數(shù)關(guān)系，觸及分?jǐn)?shù)的商的定義形式，再次完成分?jǐn)?shù)意義的整體認(rèn)知建構(gòu)。

當(dāng)然，限于認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的階段性，“涂色部分是空白部分的 ”或“空白部分是涂色部分的 ”都只需點(diǎn)到即止，一帶而過(guò)；或者用滲透的方式結(jié)束全課：“這種說(shuō)法到底對(duì)不對(duì)呢？大家可以在課后繼續(xù)思考、相互討論，今后我們將會(huì)進(jìn)一步研究?！睆亩褜?duì)“數(shù)”的思考與興趣從課內(nèi)延伸到課外，提升課堂質(zhì)感。

數(shù)學(xué)特級(jí)教師俞正強(qiáng)說(shuō)：“當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生困難時(shí)，回到源頭去。一定是在某個(gè)時(shí)候，我們?cè)?jīng)省略了一段陽(yáng)光。”這段被省略的“陽(yáng)光”，需要我們教師用長(zhǎng)程的整體視角去有效實(shí)現(xiàn)“補(bǔ)位”，通過(guò)研讀教材建立整體性的觀念，防止把節(jié)點(diǎn)性課堂教學(xué)與整體性知識(shí)脈絡(luò)割裂，從而實(shí)現(xiàn)內(nèi)涵的深入，以及外延的擴(kuò)大。

（姚建法，常州市新北區(qū)新華實(shí)驗(yàn)小學(xué)，213127）

責(zé)任編輯：趙赟endprint