☉湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué)　張進(jìn)華

既要夯實(shí)“通性通法”，又要學(xué)會“靈活變通”——從兩道高考試題的解法談起

☉湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué)張進(jìn)華

每年的高考都會有讓老師們津津樂道的佳作面世.每年的高考備考老師和學(xué)生都會有猜題、押題等應(yīng)對的環(huán)節(jié)，各種模擬卷、參考書都極盡挖掘之能事，而對于考綱規(guī)定的有些內(nèi)容則一筆帶過，對于數(shù)學(xué)中的“通性通法”也沒能很好地夯實(shí).高考出卷者和各地老師也在玩躲貓貓，高考出卷者經(jīng)常是“任憑風(fēng)浪起，穩(wěn)坐釣魚臺”，他們堅(jiān)守自己的原則，從考綱和教材出發(fā)，從學(xué)生和實(shí)際出發(fā)，注重對數(shù)學(xué)內(nèi)容全面考查，注重對數(shù)學(xué)的通性通法以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的考查，我們先看一道題：

題1（2015湖北高考理科第14題）如圖1，圓與軸相切于點(diǎn)T（1，0），與軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

圖1

（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.

（Ⅱ）過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個結(jié)論：

其中正確結(jié)論的序號是______（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

此題從面上看既像幾何證明問題，又像解析幾何問題，解決這道題存在一個方法選擇的問題.

所以①②③均正確.

簡評：本題是湖北高考填空題的第四題，若用三角形相似來解難度不大，并且三個命題可以同時判斷，從高考反饋情況以及對現(xiàn)在學(xué)生的檢測來看，這道題的得分情況非常差，并且耗費(fèi)了較長的時間，出現(xiàn)這種情況的原因是對于選修4-1幾何證明選講的相關(guān)知識、尤其是對于我們不太常用的三角相形相似的判定定理沒有牢固掌握.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)x2>0那么kNB=

由（1）可得kx2=，將其代入（2）化簡可得1.同理可得

所以①②③均正確.

簡評：這種解法很嚴(yán)謹(jǐn)，但對于計(jì)算能力和應(yīng)變能力要求太高，并且作為一個填空題花費(fèi)的時間太長，學(xué)生沒有耐心和信心堅(jiān)持下去.

筆者關(guān)注了一些參考書上的參考答案，基本上都是用帶入特殊值這種錯誤的方法，出現(xiàn)這種做法的原因是對于選修4-1幾何證明選講的相關(guān)知識沒有牢固掌握，而對于解法2中的計(jì)算又不能熟練運(yùn)用，所以手忙腳亂，連算帶蒙，我們在高考備考中，還是要摒除僥幸，扎實(shí)應(yīng)對，考綱規(guī)定的每一個章節(jié)，無論是必修，還是選修，我們都要夯實(shí)基礎(chǔ)，夯實(shí)“通性通法”，同時還要做到靈活變通.

題2（2016屆湖北八校高三第一次聯(lián)考理科第20題）小明同學(xué)制作了一個簡易的網(wǎng)球發(fā)射器，可用于幫忙練習(xí)定點(diǎn)接發(fā)球，如圖2所示，網(wǎng)球場前半?yún)^(qū)、后半?yún)^(qū)總長為23.77米，球網(wǎng)的中間部分高度為0.914米，發(fā)射器固定安裝在后半?yún)^(qū)離球網(wǎng)底部8米處中軸線上，發(fā)射方向與球網(wǎng)底部所在直線垂直.為計(jì)算方便，球場長度和球網(wǎng)中間高度分別按24米和1米計(jì)算，發(fā)射器和網(wǎng)球大小均忽略不計(jì).如圖3所示，以發(fā)射器所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上的球場中軸線上，y軸垂直于地平面，單位長度為1米.已知若不考慮球網(wǎng)的影響，網(wǎng)球發(fā)射后的軌跡在方程k2）x2（k>0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).發(fā)射器的射程是指網(wǎng)球落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）求發(fā)射器的最大射程；

（Ⅱ）請計(jì)算k在什么范圍內(nèi)，發(fā)射器能將球發(fā)過網(wǎng)（即網(wǎng)球飛行到球網(wǎng)正上空時，網(wǎng)球離地距離大于1米）？若發(fā)射器將網(wǎng)球發(fā)過球網(wǎng)后，在網(wǎng)球著地前，小明要想在前半?yún)^(qū)中軸線的正上空選擇一個離地面2.55米處的擊球點(diǎn)正好擊中網(wǎng)球，試問擊球點(diǎn)的橫坐標(biāo)a最大為多少？并請說明理由.

圖2

圖3

因此，最大射程為20米.

（Ⅱ）（法1）令y=2.55即（1+k2）x2-40kx+204=0.（1）

設(shè)（1）的兩根為x1，x2且x1

要使擊球點(diǎn)的橫坐標(biāo)a最大，

簡評：這種解答自然、合理，大部分同學(xué)都利用這種解法，但很遺憾，很多學(xué)生在求x2的最值時沒有辦法進(jìn)行下去，因?yàn)闆]有對x2進(jìn)行分子有理化，損失慘重，分子有理化是我們在計(jì)算或者判斷時常用的技巧，問題是我們對于這種技巧沒有很好地夯實(shí)、歸納和總結(jié)，更談不上嫻熟地運(yùn)用.

（法2）網(wǎng)球發(fā)過球網(wǎng)，滿足x=8時y>1.

即a2k2-40ak+a2+204=0.

因?yàn)閍≠0，故Δ=1600a2-4a2（a2+204）≥0，

簡評：這種解法簡潔、明了、省時、省力，只可惜很少有同學(xué)能跳出來用這種辦法來解題，即把方程（1+k2）a2=2.55看成關(guān)于k的一元二次方程用Δ≥0求解，各種方法的“靈活變通”是我們高考復(fù)習(xí)中需要做好的“重點(diǎn)工程”，否則我們就不能“因地制宜”地去靈活應(yīng)對.

題3（2015年廣東高考理科第21題）數(shù)列｛an｝滿足

（Ⅰ）求a3的值；

（Ⅱ）求數(shù)列｛an｝前n項(xiàng)和Tn；

（Ⅲ）令b1=a1，bn=

證明：數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＜2+2lnn.

本題的關(guān)鍵是第三問中數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn，筆者重點(diǎn)談Sn求法.詳細(xì)答案在此不再具體給出.

解：（Ⅰ）（Ⅱ）略.

當(dāng)n≥2時，bn=（cn-cn-1）Tn-1+cn（Tn-Tn-1）=cnTn-cn-1Tn-1，故Sn=b1+b2+b3+…+bn=b1+（c2T2-c1T1）+（c3T3-c2T2）+…+

簡評：這種解法很好，先構(gòu)造一個數(shù)列，然后利用數(shù)列求和的常用辦法——裂項(xiàng)相消可求出Sn，那怎么樣才能想到構(gòu)造一個數(shù)列呢？筆者認(rèn)為來自于考生的感覺，只有有過硬的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能有感覺.

（法2）b1=a1=1，因?yàn)閎2=

簡評：該題是2015年廣東高考題最后一題，我在班上讓學(xué)生做了一下，結(jié)果讓人大跌眼鏡，學(xué)生用時20多分鐘，居然沒有一人能突破第三問（前兩問很簡單，學(xué)生用時不到5分鐘），我所教的班可是省示范中學(xué)高三唯一的重點(diǎn)班.究其原因，學(xué)生都不能求出Sn，既不會用證法1構(gòu)造數(shù)列后裂項(xiàng)相消，也不能用證法2通過觀察歸納出Sn，它們均需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和高超的運(yùn)用、應(yīng)變能力.

高考考的是數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，我們只有夯實(shí)了“通性通法”才能提高數(shù)學(xué)能力，我們只有學(xué)會了“靈活運(yùn)用和變通”，才能提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高考命題者有“任憑風(fēng)浪起，穩(wěn)坐釣魚臺”的修為和定力，我們高考備考者更要有“既夯實(shí)通性通法，又學(xué)會靈活變通”的勇氣和決心，只有這樣，我們才能在激烈的高考競爭中立于不敗之地.Z