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        柯召定理的擴(kuò)展及證明*

        2016-11-25 02:01:08四川省成都市樹德中學(xué)羅龍熙
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年9期
        關(guān)鍵詞:素?cái)?shù)奇數(shù)正整數(shù)

        ☉四川省成都市樹德中學(xué) 羅龍熙

        柯召定理的擴(kuò)展及證明*

        ☉四川省成都市樹德中學(xué)羅龍熙

        本文將柯召定理中約束條件p的取值進(jìn)行了拓展,從p只能取素?cái)?shù)推廣到了p可以為兩個(gè)素?cái)?shù)之積的形式,推測(cè)等式x2-1=yp(p=p1p2,其中p1,p2為大于3的素?cái)?shù))無正整數(shù)解;并運(yùn)用數(shù)論的理論知識(shí)和柯召方法,證明了除外的所有情況下,該等式無正整數(shù)解.

        柯召定理擴(kuò)展

        一、引言

        1842年,法國(guó)著名數(shù)學(xué)家Catalan提出的“卡特蘭猜想”是一個(gè)著名的數(shù)論難題:8和9是僅有的兩個(gè)大于1的連續(xù)正整數(shù),他們都是整數(shù)方冪,用不定方程表示為xmyn=1(m>1,n>1),除(x,y,m,n)=(3,2,2,3)以外,沒有其他正整數(shù)解.[1-2]

        1962年,我國(guó)著名數(shù)學(xué)家,四川大學(xué)柯召院士以精湛的方法解決了卡特蘭猜想的二次情形,并獲一系列重要成果,被世界數(shù)學(xué)界譽(yù)為“柯召定理”,它所運(yùn)用的方法被稱為“柯召方法”.[3]柯召院士證明出了方程x2-1=yp(p為任意大于3的素?cái)?shù))無正整數(shù)解;[4]并證明出了方程和x2=yp+1(n為大于1的奇數(shù),p為奇素?cái)?shù),x和y都是整數(shù)).[5]

        后來,國(guó)內(nèi)一些學(xué)者對(duì)柯召定理的推廣形式進(jìn)行了研究.曹珍富(1987)避開了文5的結(jié)果,給出了柯召定理一個(gè)簡(jiǎn)短的證明,[6]但規(guī)定了不定方程x2-1=yp的約束條件p只能為大于3的素?cái)?shù).不少學(xué)者運(yùn)用柯召方法解決了一大類不定方程問題.

        本文試圖對(duì)柯召定理中約束條件p的取值進(jìn)行拓展,推測(cè)等式x2-1=yp①無正整數(shù)解.其中,p=p1p2,p1,p2為大于3的素?cái)?shù).

        二、主要結(jié)果及證明

        定理1:x2-1=yp(p=p1p2,其中,p1,p2為大于3的素?cái)?shù))無正整數(shù)解.

        為了證明該定理,本文需要首先證明以下兩個(gè)結(jié)論:

        是指對(duì)a、b運(yùn)用Jacobi

        符號(hào)進(jìn)行計(jì)算所得值.

        證明:對(duì)q和p1進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除有:

        q=k1p1+r1;(1≤r1≤p1-1)

        p1=k2r1+r2;(1≤r2≤r1)

        ……

        rs-1=ks+1rs+rs+1;(1≤rs+1≤rs)

        rs=ks+2rs+1.

        所以f(k1p1+r1)≡f(r1)(modf(p1)).

        又由(p,q)=1知rs+1=1,所以

        證畢.

        下面來證明定理1:由方程①得yp=x2-1=(x-1)(x+1).下面分2|x、2|x+1兩種情況:

        (Ⅰ)若2|x,則有x-1與x+1均為奇數(shù),于是(x-1,x+2)=(2,x+1)=1,其中(a,b)表示a與b的最大公約數(shù).故不妨設(shè)y=y1y2,且(y1,y2)=1,y1<y2.則此時(shí)有x-1=yp1②,x+1=yp2③.

        下面證明方程④無正整數(shù)解,事實(shí)上:

        又因?yàn)閥為奇數(shù),故y1,y2均為奇數(shù),所以y2-y1≥2,從而y2-y1=2,則yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11=1.

        因?yàn)閥1,y2中至少有一數(shù)大于1,故yp-12+yp-22y1+…+y2yp-21+yp-11>1,矛盾.

        (Ⅱ)若2|x+1,進(jìn)一步可得2|y.

        2015年四川省中學(xué)生英才計(jì)劃項(xiàng)目資助.本文獲得了第31屆四川省青少年科技創(chuàng)新大賽一等獎(jiǎng).

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