☉江蘇省常熟市教育局教學研究室　陳志江

在一場“算”宴中求簡明道——2016年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三一模試題運算分析

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室陳志江

運算是指在運算律的指導下對具體的數(shù)、式進行變形演繹的過程，運算能力是數(shù)學的三大基本能力之一（運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力），我國基礎教育數(shù)學課程一直將運算作為其主要內(nèi)容.目前雖然教學中大家都很重視運算能力的培養(yǎng)，但是學生運算差的問題卻依然存在，甚至還很突出.2016年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三一模四市聯(lián)考落下帷幕，絕大部分學生反映來不及做，因為有很多中檔題運算量大.本次考試可謂是一場“算”宴，回顧學生運算中的不足與錯誤，細細分析，我們發(fā)現(xiàn)學生的求“簡”意識不夠，如果能把這些教訓化成以后解題的經(jīng)驗，那就在失敗中成長了.筆者曾在文1中對備課組長提出進行考試分析的建議，本文是從“運算”角度進行分析的一例，求“簡”的數(shù)學觀念是一個永恒的話題，而在運算中如何求“簡”，本文試圖通過具體題目的解答分析來作點探究，在此與同行探討.

一、在用圖中求“簡”

數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”數(shù)學解題中如果我們能有效地利用圖形，回避運算，特別是考試中，就可以簡捷地把問題處理好，會大大節(jié)省時間.

解析：設點M（x0，y0），可得B（0，y0）和直線MA的方程y-y0=-（x-x0），將直線MA的方程與直線y=x聯(lián)立可解得.由點M在函數(shù)的圖像上，可得從而M■→A·M■→B=-2.

盡管本題難度不是很大，大部分同學都能解出（全市實測難度系數(shù)為0.84），但求解中涉及求直線方程、兩直線交點、向量的坐標表示、向量數(shù)量積運算、代換消元等運算，還是有一定的運算量.不少學生最后求得結果為2，運算出錯，可謂前功盡棄，即使求對，也花了不少時間.當然有很多同學注意到點M的任意性，采用了特殊化的方法，簡化運算，取點M為（2，4），則B（0，4），然后仿上過程計算得A（3，3），再求出M■→A·M■→B的結果，但仍有一定計算量.本題如果學生熟悉函數(shù)圖像（如圖1），從圖形入手，利用直線MA與直線y=x垂直，取點M（2，4）后即可觀察得A（3，3），再求出M■→A·M■→B，那么本題即可“秒殺”.

圖1

例2（第10題）若一個鈍角三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為m，則實數(shù)m的取值范圍是_____.

分析：本題考查正弦定理或余弦定理、不等式相關基礎知識等，學生得分并不理想（難度系數(shù)為0.52），絕大部分同學都是走運算一條路.

解法1：不妨設角A，B，C從小到大成等差數(shù)列，其對應邊依次為a，b，c，則B=60°.若用正弦定理做，則），可得m∈（2，+∞）.

解題中不少學生由于角A的范圍出錯而出現(xiàn)各種各樣的錯誤答案.

解法3：同樣本題若能有效用圖（如圖2），則觀察即可得答案，當C=90°時，m=2，由于是鈍角三角形，故C> 90°，這樣C點向B點移動，那么就增大了，故可得m∈（2，+∞）.

圖2

二、在引元中求“簡”

動態(tài)問題是考試中的熱點，往往需要引入變量，我們要在客觀分析動因的基礎上，找準問題的切入點，要把引入變量與后續(xù)運算聯(lián)系起來思考，對運算過程的繁簡有一個透視，只有這樣才能簡化求解.

例3（第11題）已知過原點的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A、B，若A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為________.

分析：本題引入變量主要有兩種方法：一為直線l的斜率k，二是點A（或B）的坐標.

解法1：設動直線l為y=kx，代入圓方程得（1+k2）x2-6x+5=0，由A恰為線段OB的中點，知xB=2xA，用求根公式求得xA、xB，代入得關于k的方程，算得，再求得圓心C（3，0）到直線l的距離為

解法2：設點A（x0，y0），則點B（2x0，2y0），代入圓方程可得從而圓心C（3，0）到直線l：y的距離為

比較兩種解法，思路都較簡單，但運算量不同.解法1盡管只引入一個變量，但運算過程長，且運算式子明顯比解法2復雜，容易算錯，究其原因還在于引入的變量為直線斜率，導致后續(xù)必須要進行解交點坐標的運算和解關于k的方程xB=2xA；而解法2雖然引入的是兩個變量，但充分利用了中點和點A、B都在圓上的條件，在解A點坐標時大大減少了運算，使解題更加快捷.

（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點.

①若直線l過橢圓C的右焦點，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；

分析：本題第（2）問的第①小問的難度系數(shù)是0.44，很少學生能成功做完.絕大多數(shù)學生設直線l的方程為y= k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，在由消去y的過程中，大多數(shù)學生能得到（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，但也有部分同學化簡出現(xiàn)錯誤.在正確得到學生在計算kPA·kPB=時，沒有用y=k（x-1）及時消元，而是計算了y1+y2和y1·y2，由于復雜運算的步驟增加，出錯率相當高，能正確得到kPA·kPB=-k-的少之又少.

三、在換元中求“簡”

換元法在解題中經(jīng)常被使用，是通過引進新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问?，從而使復雜的計算和推證得到簡化.

例5（第13題）已知函數(shù)f（x）=2x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R，若滿足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

分析：本題難度很大（難度系數(shù)為0.02），得分極低.求解中很多同學未能作好轉(zhuǎn)化，若能注意換元法的應用，把復雜的指數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)零點分布問題，結合圖像來處理，相信不少同學還是能夠解決的.

解：由條件，不等式f（x）≥g（x），即2x-1+a≥b（2-x+a），令t=2x（t＞0），則不等式可化為t2+2（a-ab）t-2b≥0，問題轉(zhuǎn)化為該不等式當t＞0時的解的最小值為4.設g（t）=t2+2（aab）t-2b，結合二次函數(shù)圖像可得

當然，使用換元法時，需要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大.

四、在消元中求“簡”

消元就是減少未知數(shù)的個數(shù)，把多元問題減元或轉(zhuǎn)化成一元問題進行解決.消元的方法學生在初中就已經(jīng)比較熟練了，但對消元思想，即使到高三，部分同學仍不具備，特別是在一些綜合性較強的題目中，缺少將未知數(shù)個數(shù)由多化少，簡化問題的意識.

分析：本題的難度系數(shù)為0.26，也就是說有75%的同學做錯了，其中一大部分同學的錯誤答案是［3，12］，做法是對x1f（x2）利用x1和f（x2）各自的單調(diào)性去求，錯在沒有消元的意識.本題畫出函數(shù)圖像后（如圖3），根據(jù)條件“若存在x1，x2∈R，當0≤x1＜4≤x2≤6時，f（x1）=f（x2）”，可得到x1∈［1，3］，x2∈［4，6］，其中x1∈［1，3］.這樣就轉(zhuǎn)化為一個常規(guī)的求三次函數(shù)在給定閉區(qū)間上的值域問題，此題目也就迎刃而解了.

圖3

例7上文例4中的第（2）問的第②小問.

運算能力是學生解決問題的必備能力，要提高運算能力，我們先要關注運算細節(jié).“細節(jié)決定成敗”，運算的成敗也在細節(jié)，“題海”讓我們的學生習慣于耐心的去算，而忽略了運算中的規(guī)律探尋，沒有了求簡的意識.求簡的過程是對運算細節(jié)的深度思考，也就是明道的過程.章建躍博士認為：“‘明道’，明即明白、懂得，道即規(guī)律、原則.明道者，明白原則、掌握規(guī)律也.老子說，‘人法地，地法天，天法道，道法自然’.因此，凡‘明道’者一定懂得按客觀規(guī)律辦事.”劉紹學教授提出：“數(shù)學是自然的，數(shù)學是清楚的.”其實這些都是要求我們廣大教師要努力掌握數(shù)學的內(nèi)在規(guī)律，并按這樣的規(guī)律展開教學，對運算而言，就是要在求簡中明道，在明道中求簡.

1.陳志江.精耕細作低耗高效——和高三備課組長談引領工作［J］.中學數(shù)學（上），2014（10）.

2.章建躍.數(shù)學教學的取勢、明道、優(yōu)術［J］.中小學數(shù)學（高中版），2013（4）.F