☉江蘇省蘇州市吳江汾湖高級(jí)中學(xué)　薛雪華

返璞歸真話概念教學(xué)

☉江蘇省蘇州市吳江汾湖高級(jí)中學(xué)薛雪華

眾所周知，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位是舉足輕重的，特別是新知教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)概念教學(xué)的扎實(shí)與否影響著學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.北師大錢躍玲教授說的好：“數(shù)學(xué)概念教學(xué)要慢一點(diǎn)，再透一點(diǎn)，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間理解和領(lǐng)悟，現(xiàn)在的學(xué)生往往對(duì)于一些很基本的數(shù)學(xué)概念不甚了解，比如，橢圓、雙曲線、拋物線為什么統(tǒng)稱為圓錐曲線？?jī)蓚€(gè)數(shù)里較大的數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)等.一個(gè)班里竟然有一大半學(xué)生一無所知，令人費(fèi)解.希望概念教學(xué)要返璞歸真，足夠重視才是真正教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué).”

概念教學(xué)是感受概念、認(rèn)知概念、理解概念、運(yùn)用概念的一種結(jié)合.但從現(xiàn)階段教學(xué)現(xiàn)狀來看，我們的教學(xué)卻沒有在這些方面領(lǐng)悟新課程教學(xué)理念，往往是在重復(fù)做著一些試題，走著課改前的老路，對(duì)試題的選擇沒有深刻性、本質(zhì)性，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)對(duì)于基本題的訓(xùn)練是有一定的效果，但是對(duì)于較難的概念性問題是無效的.筆者舉一些問題來看看，復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該如何返璞歸真話概念呢？筆者以案例進(jìn)行說明.

一、從運(yùn)用中體會(huì)概念

中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，有些數(shù)學(xué)概念比較形式化，比如，函數(shù)、映射、平面向量數(shù)量積等，這些概念本身形成過程有數(shù)十年、甚至上百年之久，要求學(xué)生探究實(shí)現(xiàn)或者短短四十五分鐘迅速理解是不太可能的，我們可以選擇一些具備深刻揭示概念本質(zhì)的數(shù)學(xué)試題來指導(dǎo)復(fù)習(xí)教學(xué).

例1存在函數(shù)f（x）滿足，對(duì)任意x∈R，都能滿足下列等式的是______________.

（1）f（sin2x）=sinx；（2）f（sin2x）=x2+x；

（3）f（x2+1）=|x+1|；（4）f（x2+2x）=|x+1|.

分析：本題是高考改編問題，我們細(xì)細(xì)閱讀高考題背后所揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì)，其想反映什么問題？學(xué)生對(duì)其的第一反應(yīng)是模擬考試中從來沒見過類似的問題，肯定很難，不好下手，胡猜一通.作為教學(xué)引導(dǎo)，筆者認(rèn)為既然是問這樣的函數(shù)是否存在？則必然是與函數(shù)概念有關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生回想函數(shù)概念：對(duì)任意的自變量，經(jīng)過對(duì)應(yīng)法則f都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)即可.對(duì)于等式（1）試取x=0及，發(fā)現(xiàn)f（0）分別等于0和1，這與函數(shù)概念最基本的特征相違背，顯然等式（1）是不成立的；對(duì)于等式（2）和（3），可以做類似的取值，都可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量為同一個(gè)值時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均不唯一，通過排除法可以知道只有等式（4）才是正確的.從正面思考等式（4），不通過計(jì)算我們也能發(fā)現(xiàn)，令u=x2+2x，t=|x+1|，它們的對(duì)稱軸均為x=-1，而且在對(duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性一致，因此對(duì)每一個(gè)x≤-1時(shí)，每一個(gè)x的值，u、t都是唯一的，因此滿足題意.

說明：函數(shù)概念一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中最核心的概念，對(duì)概念的基本理解可以說學(xué)生尚能掌握，但是對(duì)概念本質(zhì)的深層次認(rèn)知，還顯得有些不足，在做一些對(duì)概念本質(zhì)更有深意的試題前，如何淺顯巧妙地運(yùn)用概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為高層次的能力之一.

二、從圖形中理解概念

數(shù)學(xué)概念往往是形式化的，特別是一些非常難理解的抽象數(shù)學(xué)概念，對(duì)于概念教學(xué)很多時(shí)候僅僅通過理性的思維還是不夠的，需要進(jìn)一步用圖形去理解這些概念的實(shí)質(zhì).這一類概念的理解問題尤其以近年來的向量小題更為體現(xiàn)得淋漓盡致，筆者舉例說明.

例2設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|b+ta|的最小值為1.則下列命題正確的是___________.

（1）若θ確定，則|a|唯一確定；

（2）若θ確定，則|b|唯一確定；

（3）若|a|確定，則θ唯一確定；

圖1

（4）若|b|確定，則θ唯一確定.

分析：本題可以通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，只有命題（2）是正確的，但是運(yùn)算煩瑣，學(xué)生一般難以清楚地得到正確的算理.筆者以為，向量問題在試題中考查主要圍繞著這么幾個(gè)基本概念展開，弄清了這些基本概念即可解決向量類似的小題.第一，向量加減法的理解，這一點(diǎn)是圖形理解的根基；第二，“模長(zhǎng)”的理解，這往往涉及“距離”概念；第三，向量數(shù)量積的概念，這一概念比較重要，其中涉及投影和極化恒等式這些數(shù)量積概念的轉(zhuǎn)換運(yùn)用；第四，向量中最重要的定理——平面向量基本定理，這一定理大大加深了對(duì)向量自由化的認(rèn)知.從本題來看，要提高學(xué)生返璞歸真，對(duì)于模長(zhǎng)最小值為1最好的理解正是通過向量加減法構(gòu)建的基本圖形，如圖1所示，簡(jiǎn)單的圖形建構(gòu)，加深了向量加減法、數(shù)乘、模長(zhǎng)與距離、向量夾角等這幾個(gè)概念的理解，顯然在直角三角形中，當(dāng)若θ確定，則|b|唯一確定，因此命題（2）是正確的.對(duì)于命題（1），若θ確定，則|a|顯然是不唯一確定，可以有無數(shù)種選擇.對(duì)于命題（3），若|a|確定，則θ可以是銳角也可以是鈍角，不唯一.同理，對(duì)于命題（4），若|b|確定，則θ也可以是銳角或鈍角，不唯一.

圖2

分析：平面向量基本定理是向量教學(xué)中最重要的一個(gè)定理，其承載著向量自由分解和向量坐標(biāo)表示之間的一座重要橋梁，大家可以思考，在正交分解中，分別選擇了x軸、y軸的單位向量為i、u，則平面中任意一個(gè)向量a都可以分解為a=xi+yj，簡(jiǎn)記為a=（x，y），連接兩個(gè)單位向量終點(diǎn)的直線方程恰為x+y=1.現(xiàn)在若將正交分解一般化為斜交分解，也可以類比選擇合適的基向量m、n，則平面中任意向量a=xm+yn，簡(jiǎn)記為a=（x，y），連接兩個(gè)單位向量終點(diǎn)的直線方程恰為x+y=1.這也是三點(diǎn)共線性質(zhì)的體現(xiàn).運(yùn)用這一平面向量基本定理的深入理解，對(duì)于類似研究分解問題可謂信手拈來.如圖2所示，過點(diǎn)C作l的平行線交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交l于點(diǎn)F，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)也是中點(diǎn)，則，選擇斜角坐標(biāo)系，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE為x軸，OC為y軸，記分別為x軸、y軸的單位長(zhǎng)度，則直線EC為基線，因此直線EC的方程為λ2-λ1= 1.又，所以

說明：向量本身是一種既具備了代數(shù)化特征又含有幾何含義的數(shù)學(xué)工具，其在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用往往有意想不到的作用.向量問題可以從代數(shù)的角度去運(yùn)算，也能從幾何的角度去思考，但是真正能起到啟發(fā)思維作用的還是向量的幾何含義，加深幾何含義的理解和教學(xué)才是真正理解向量概念的開始.

三、一點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)概念隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入會(huì)有愈來愈深的理解，初學(xué)概念往往是對(duì)其一般表象的淺顯認(rèn)識(shí)，隨著數(shù)學(xué)問題的深入，我們往往對(duì)其又有了新的、深刻的理解，以例3為例，以往學(xué)生對(duì)于平面向量基本定理的理解往往限于兩個(gè)方面：第一，找到一對(duì)不共線的向量作為基底；第二，平面中任意向量都能分解到這兩個(gè)基向量的方向上去，這種分解是唯一的.但是在解決真正較難問題的時(shí)候，這種分解的理解卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，結(jié)合正交分解，學(xué)生更能清楚地站在一個(gè)系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)平面向量基本定理.因此，筆者思考：

（1）概念教學(xué)要選好試題，特別是試題的循序漸進(jìn)性，這里可以分三個(gè)層次實(shí)施概念教學(xué)，首先，概念基本理解問題，其次，包含概念內(nèi)涵和外延延伸問題，最后，選擇高考中考查概念的經(jīng)典問題去進(jìn)一步思考理解數(shù)學(xué)概念.這樣教學(xué)，既不用大費(fèi)周章的題海訓(xùn)練，又會(huì)取得很好的效果.

（2）從思想上引導(dǎo)學(xué)生重視概念，日常教學(xué)對(duì)于概念的提煉和引導(dǎo)需要多多指導(dǎo)，多從思維上去引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本質(zhì)、發(fā)現(xiàn)試題背后隱藏的數(shù)學(xué)概念，這樣的教學(xué)才是新課程教學(xué)理念希望的教學(xué)，是開發(fā)學(xué)生思維的教學(xué).比如，在表述橢圓稱之為圓錐曲線的時(shí)候，可以用這樣的試題滲透概念和提煉思維：二面角α-l-β的大小為120°，AB垂直平面β交l于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)C滿足AC與AB的夾角為20°，則點(diǎn)C在平面α和平面β上的軌跡分別是___________.（答案：橢圓、圓）有興趣的讀者可以一試.總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要返璞歸真才是真正的理解數(shù)學(xué).

1.吳成海.數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.

2.周湖平，李陽華.從斐波那契數(shù)列看數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（1）.F