☉安徽省靈璧第一中學　鄭　良

持續(xù)積累落實理解，深度反思促進創(chuàng)新——以“導數(shù)的應用”為例

☉安徽省靈璧第一中學鄭良

簡單高效的教學是每位教師的教育愿景.一直以來，筆者拜讀和反思專家的教學見解（理論、觀點、策略、評價等），感悟同行對數(shù)學問題的精妙解答及對案例的靈活處理，追求“使其言皆若出于吾之口，使其意皆若出于吾之心”，期待自己的教學內(nèi)容深刻、見解獨到、微言大義，發(fā)人深省，學生聽起來輕松，嚼起來有味.用高品位的教學踐行夸美紐斯的教育思想：“尋求并找出一種教學的方法，使教員由此可以少教，但是學生可以多學；使學校因此可以少些喧囂、厭惡和無益的勞苦，多具閑暇、快樂和堅實的進步.”

文獻［1］對兩道高考模擬題的參考答案提出質(zhì)疑并給出相對自然的解法.筆者對文中“世間萬事萬物，都是自然而美好的，數(shù)學解題亦是如此.而衡量解題是否自然，就要看其思路是否順其自然，表達是否簡潔明快”等觀點認同，期待就另外一些觀點進行交流.為方便讀者閱讀，先摘抄文獻［1］所舉兩道模擬題及解答過程如下.

一、題目及解法再現(xiàn)

題目1已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，滿足f（x）+f（-x）=0.當x< -1時，f（x）=（a為常數(shù)），且x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點.

（Ⅰ）求實數(shù)a的值；

參考答案：（Ⅰ）a=1.

文獻［1］認為“很多學生產(chǎn)生疑問：為什么要給m賦值2，為什么要令x-1這種思路是如何想到的？還有沒有更常用的解法呢？”“……這道題第（Ⅲ）問的參考答案無疑違背了這一認知規(guī)律”“……則不等式的證明就可以轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)列的通項之間的大小比較……所以只要證明成立即可.……所以只要證明（此處與*式同根同源）即可，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=lnx+

題目2已知函數(shù)f（x）=lnx-x2，方程2m［x+f（x）］=（1-2m）x2有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值.

參考答案：因為方程2m［x+f（x）］=（1-2m）x2有唯一實數(shù)解，所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解.

設g（x）=x2-2mlnx-2mx，則

令g′（x）=0，則x2-mx-m=0.

當0x2時，g′（x）>0，則g（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞增.所以當x=x2時，g（x）有最小值g（x2）.因為方程有唯一解，則得2mlnx2+mx2-m=0.

又因為m>0，所以2lnx2+x2-1=0.設h（x）=2lnx+x-1，當x>0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解.又因為h（1）=0，所以x2=1，即

文獻［1］認為“本題參考答案通過直接移項構(gòu)造新函數(shù)，把方程的實根轉(zhuǎn)化為方程（函數(shù)）的零點來研究，但在研究函數(shù)的零點時，利用該函數(shù)及導數(shù)在x2處都為0，再聯(lián)立方程組解出m的值，學生不容易想到，下面給出另一種相對自然的解法.因為方程2m［x+f（x）］=（1-2m）x2有唯一實數(shù)解，所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，亦即2m（x+lnx）=x2有唯一實數(shù)解.注意到x+lnx在（0，+∞）上有零點，故轉(zhuǎn)化為.令h（x）=（x>0），則（x>0）.易知當00，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；當x>1時，h′（x）<0，則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.又因為并且h（1）=1，所以解得m=

二、案例分析

什么是自然的思路？作者提供的解法就比參考答案更自然嗎？模擬題能準確落實命題者的命題意圖嗎？如是等等.教師要時刻牢記教學的要義：教學就是教學生學習！學生的地盤學生做主.筆者以這兩道題為載體開設了一堂“導數(shù)的應用”復習課，師生交流過程如下.

教學片斷1（題目1）

對于第（Ⅰ）問，教師先投影兩個學生的解答（略），讓生1還原現(xiàn)場.

生1：因為x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，f（x）為奇函數(shù)，所以x=-2也是函數(shù)f（x）的極值點，這樣做可有效規(guī)避求x>1時f（x）解析式可能出現(xiàn)的錯誤，利用奇偶性可將第（Ⅱ）問轉(zhuǎn)化為：當x≤-2時，不等式f（x）恒成立.從題目的聯(lián)系性角度看，先求出x>1時f（x）的解析式一勞永逸，（不好意思狀）同時錯把必要條件當作充要條件，忘記對a=1進行檢驗.

師：對于一般（恒成立）問題，通過特殊賦值求解，必須檢驗其充分性.

對于第（Ⅱ）問，教師先投影學生的解答，讓該學生回顧解題歷程.

解法1：同參考答案，此略.

生2：本題為含參數(shù)的不等式恒成立問題，嘗試分離參數(shù)化動為靜，繼而轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)g（x）的性質(zhì)（值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性等），通過二次求導可確定函數(shù)g（x）的最小值，否則，可能要利用函數(shù)圖像確定其有界性（極限思想）.

當m≤3時，s（2）≥0，對于任意x≥2，r′（x）=s（x）≥s（2）≥0，即r（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，則需要且只需r（2）=2-m≥0，解得m≤2，所以m≤2；

當m>3時，s（2）<0，存在x0>2使得s（x0）=0，則函數(shù)r（x）在［2，x0］上單調(diào)遞減，（x0，+∞）上單調(diào)遞增，而r（2）= 2-m<0，與題設矛盾.

解法3：……必先滿足r（2）=2-m≥0，解得m≤2；當m≤2時，r′（x）=ln（x-1）+，所以r（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，即當x≥2時，r（x）≥r（2）≥0.

所以m的最大值是2.

圖1

當直線y=m（x-1）經(jīng)過t（x）的最低點（2，2）時，m=2.當m=2時，經(jīng)檢驗符合題意.所以m的最大值是2.

生3：關于含參數(shù)的不等式恒成立、存在性問題的常見解法為分離參數(shù)法、函數(shù)最值法、圖像法等.考慮到分式求導相對煩瑣，故嘗試將分式整式化，構(gòu)造函數(shù)求解.

生4：直接求解需要對參數(shù)m全方位分類討論，采用必要性解題策略壓縮參數(shù)范圍，減少無效勞動，從而優(yōu)化解題過程.根據(jù)最值概念，也可只驗證m=2（r（x）≥r（2）≥0），否則題目有問題.

生5：通過對目標函數(shù)進行分解與整合，解法4中t（x）為下凸函數(shù)，而y=m（x-1）為過定點（1，0）的直線系，本質(zhì)為數(shù)形結(jié)合思想，與解法1一樣規(guī)避了凹凸性可能帶來的形的誤導.

師：正如生2所言，使用分離參數(shù)法的前提是參數(shù)容易分離且分離函數(shù)后得到的新函數(shù)的最值能夠確定；函數(shù)最值法適用范圍相對較廣（并非全部），往往需要對參數(shù)進行分類討論；圖像法一般要求兩個函數(shù)圖像差異明顯，借助形的直觀性與數(shù)的精確性對其合情推理與演繹推證，適用范圍相對較窄.只有通曉各種方法的原理，才能根據(jù)具體情況合理選擇.

師：對于第（Ⅲ）問，同學們視角不同，殊途同歸，可謂百花齊放，春色滿園.

教師投影學生的解答，對應學生解說思維歷程.

證法1：同參考答案.（此解法學生數(shù)約占三分之一）

生6：一個題目由幾個問題（部分）組成，若前問探究局部情況，后問則需將其余部分探究清楚，構(gòu)建有機整體.若前問研究了一般情形，后問可通過審題合理賦值利用已知結(jié)論解決.考慮題目各問的聯(lián)系性與整體性，給m賦值2的原因有兩個：（1）2是第（Ⅱ）問求出的邊界值，賦值常常根據(jù)邊界值與中值等特殊情形；（2）目標式中的系數(shù)均為2，右邊只有一項，左邊為n項，從結(jié)構(gòu)和諧對稱角度，右邊應為n項求和化簡后的結(jié)果，聯(lián)想“商的對數(shù)等于對數(shù)的差”，故嘗試將不等式右邊還原為可裂項相消的n項之和，對接常數(shù)ln1=0.

證法2：（1）當n=1時，左邊=0，右邊=ln2，即n=1時，原不等式成立.

綜上所述，不等式對任意的n∈N*恒成立.

生7：求證目標是關于正自然數(shù)的不等式，故可嘗試用數(shù)學歸納法證明.由n=k時的假設較易達成n=k+1的目標，說明所證不等式比較松散，左右兩邊間距較大.

生8：數(shù)列是定義在正自然數(shù)集（或其子集）上的函數(shù)，與正自然數(shù)有關的不等式可從數(shù)列視角入手，嘗試用數(shù)列的單調(diào)性來解決.

證法3：記cn=ln（n+1）-n+2則cn+1=ln故有cn+1-cn=ln（n+2）-ln（n+1）-1+2×0，所以數(shù)列｛cn｝單調(diào)遞增，而c1=ln2>0，所以對任意n∈N*，都有cn>0.

生9：由對數(shù)函數(shù)符號聯(lián)想到定積分，自然對數(shù)lnx的導函數(shù)為，將不等式左邊化為結(jié)構(gòu)形式一致（本身就符合，只是離學生最近發(fā)展區(qū)稍遠）的數(shù)列若干項的和，因為不等式的左邊出現(xiàn)n，故嘗試將其n等分配對化簡，結(jié)果還有意外收獲.

因為a1=0

生10：證明不等式f（x）

師：立足一般，關注特殊.特殊情形用通性通法按部就班求解，往往不夠簡潔；一般情形用特殊化處理則會犯“特殊代替一般”的邏輯錯誤，常用“特殊探路（合情推理），一般跟進（邏輯推證）”來解證.

師：同學們見過類似問題嗎？有何啟發(fā)？（學生思考交流）

生11：我認為該題的母題是2014年高考陜西卷理科第21題：設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）導函數(shù).

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N*，求gn（x）的表達式；

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）設n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

師：很好！我們平時（講完例習題后組織學生）編題時，很多學生僅僅改變題設數(shù)字和設問方式進行簡易變式，形變可能導致質(zhì)異.這也提醒我們編題與解題時要弄清本質(zhì)，否則可能會差之毫厘謬以千里.

教學片斷2（題目2）

解法1：同參考答案，此略.

生12：方程的根是對應函數(shù)的零點，也是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標.構(gòu)造函數(shù)g（x），通過判斷函數(shù)的性質(zhì)進而畫出函數(shù)的圖像，需要且只需g（x）的圖像與x軸有唯一公共點.函數(shù)g（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，在（x2， +∞）上單調(diào)遞增，所以有g(shù)（x2）=0，若將代入g（x2）=0，得到關于m的方程，直接求解相對繁雜.重新審視，借助x2與m的對應關系可先求出x2，再反解得到m.本質(zhì)是換元法解關于m的方程.

師：我們以前遇到過類似問題嗎？

生12：2009年高考數(shù)學全國卷Ⅱ理科第22題［2］：設函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點x1、x2，且x1＜x2.

（Ⅰ）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：f（x2）>

第（Ⅱ）問在已知a的范圍情況下沒有將f（x2）寫成a的函數(shù)，而是求出x2的范圍進而證明，通過對應關系簡化運算.在函數(shù)、解析幾何中有：已知a，b及a的范圍，求b的范圍.常見解決方式為：①建立b關于a的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為值域問題；②建立a關于b的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為解不等式問題.

師：回答很到位.生12的解法是否嚴謹，需要補充嗎？（學生恍然大悟）

生13：生12只考慮了函數(shù)的單調(diào)性，還應說明圖像更精確的變化趨勢，如有界性.由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長趨勢比較可知，當x→0+時，g（x）→+∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，所以原命題等價于g（x2）=0.

解法2：由題意得x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，亦即2m（x+lnx）=x2有唯一實數(shù)解，則有

記φ（x）=2lnx+x-1（x>0），則φ（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，φ（1）=0，所以當x∈（0，1）時，h′（x）=在（0，1）上單調(diào)遞減；當x∈（1，+∞）時，h′（x）=0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.當x=1時，h（x）取得極小值，因為h（x）在開區(qū)間（0，+∞）上只有一個極值，所以h（1）=1也是函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最小值，所以

生14：嘗試利用分離參數(shù)法確定參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)h（x）并判斷其性質(zhì)，得到h′（x）=，若按常規(guī)應設φ（x）=2xlnx+x2-x，繼續(xù)求導運算等，注意到h′（x）分子可提出符號確定的因式x，使得要考查性質(zhì)的函數(shù)φ（x）=2lnx+x-1更便于操作.

生15：p（x）=x+lnx在（0，+∞）存在零點，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可估算，即h（x）的定義域為（0，x0）∪（x0，+∞），結(jié)合m>0，可知原方程的根必定在（x0，+∞）上.求解過程應修正為……其圖像如圖2所示.（采用此法的大部分學生過程準確）

圖2

圖3

生16：解決函數(shù)問題要有“定義域優(yōu)先”的意識，處理p（x）的零點是“設而不求”.既然生14構(gòu)造的函數(shù)h（x）分母可能為零，分子不為零，嘗試將其倒置，重新構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x>0），其圖像如圖3所示.

解法3：同文獻［1］作者提供自然的解法，此略.

解法4：因為方程2m［x+f（x）］=（1-2m）x2有唯一實數(shù)解，所以2m（x+lnx）=x2有唯一實數(shù)解.令m（x）=2m（x+ lnx），n（x）=x2（x>0），則函數(shù)m（x）與函數(shù)n（x）在某點（令其橫坐標為x0）處相切.所以即時方程組成立.下面證明上述猜想：

令x+lnx=x2，即x2-x-lnx=0，φ（x）=x2-x-lnx（x>0），φ′（x） =2x-1-=0，當x∈（0，1）時，φ′（x）<0，φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當x∈（1，+∞）時，φ′（x）>0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，而φ（1）=0，即x=1是函數(shù)φ（x）的唯一零點.考慮圖像的伸縮變換，則m=

三、教學思考

1.釋義“自然”辯證認識

《現(xiàn)代漢語詞典（第6版）》（商務印書館）釋義：［形］自由發(fā)展；不經(jīng)人力干預.［副］表示理所當然.每個人的文化背景、知識儲備、思維方式不同，對事情的看法自然不同.“自然”的想法、做法隨對象、人物、時間、場合等改變而改變，這也是個性思維的精妙之處.案例中學生的想法自然而然，既有個性又有共性，均是基于學生對問題的認知與理解.一般說來，自然的想法是指遇到一個問題時腦海中自然涌現(xiàn)、油然而生的念頭，通過對該念頭的思辨，可逐步確定自然的做法.數(shù)學中自然的解法往往指從題目的條件出發(fā)，利用基本知識與基本技能，每一步跨度不大，容易想到，易于理解.“自然的解法”應當是基于解題者的知識結(jié)構(gòu)和思維習慣而產(chǎn)生的一種本能的反應，易于想到的方法，因人、知識結(jié)構(gòu)、思維習慣與受強化程度而不同.只有每個人的自然解法，沒有某道試題的自然解法.

2.注重積累，深化理解

如前文所言，解法是否自然，和解題者本身的積淀有很大關系，如對相關概念、案例、公式掌握如何，聯(lián)想能力與遷移能力等等，不能一概而論，但足夠的積累才能保證學生遇到問題時思維視角張開，形成聯(lián)想因子，確定解題起點，同時為過程的順利進行保駕護航.積累不是對知識、思想方法的死記硬背，而是對相關問題的透徹理解.只有深刻領悟的東西，才能召之即來.案例中學生對兩道高考題的鏈接與類比，不是教師灌輸而是學生內(nèi)化的體現(xiàn).教師不能輕易說“問題的自然想法是……”，教師的自然想法卻讓學生屢屢想不到、想不通、學不會，加重其自卑感.反之，教師要引導學生發(fā)表見解、提出看法，讓學生共同交流完善，不足之處教師撥云見日助其提升.通過順應學生的思維，走有限之路，飲不竭之泉.如2012年高考數(shù)學全國大綱卷第22題：若函數(shù)f（x）=x2-2x-3，定義數(shù)列｛xn｝如下：x1=2，xn+1是過點P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸的交點的橫坐標.

（Ⅰ）證明：2≤xn

（Ⅱ）求數(shù)列｛xn｝的通項公式.

通過積累讓學生通曉an+1=（s2+p2≠0）的化歸思想與解法.

學生是在不斷變化與發(fā)展的，但相同學段的學生具有較強的相似性.教師要善于積累學生的成長記錄，詳盡分析，在解決問題的同時，豐富自己的資源，教學才能有效避免“教為中心”，取而代之的是“學為中心”，對接學生認知，貼近學生“最近發(fā)展區(qū)”.命題是教師的必備技能，命好題是教學的有益補充.題目1只是對高考題簡單的拼湊，導致考查意圖落空，借鑒不是生搬硬套，而是基于理解基礎上取其精華，用得恰到好處，化用于無痕，活用于無間，妙用于無限，神用于無形.關于科學命題的文獻很多，在此僅強調(diào)教師要系統(tǒng)學習命題（技術(shù)）理論、深化對內(nèi)容的理解、在實踐中反復打磨、做好成長記錄冊等等，力爭命制出導向明確、潤物無痕的科學、藝術(shù)的試題.

3.深度反思，促進創(chuàng)新

文獻［1］指出：“盡信書則不如無書.在數(shù)學解題時，同樣無須迷信參考答案.”數(shù)學培養(yǎng)人的理性精神，看待問題要辯證統(tǒng)一.參考答案不可能（也沒必要）把所有的解法一一羅列，簡潔的書寫掩蓋了命題者解題的思維歷程.與教師不能以自我為中心去修正學生思路一樣，教師也不能以自我為中心去排斥答案.多一份敬畏，多一份收獲.嘗試將參考答案激活，用“冰冷的美麗”促進學生“火熱的思考”.教師要與學生同步（早于學生）做題，將自己的原始思維與參考答案、學生的解答對比，才能更好地理解學生真實的想法，基于學情確立教學的起點與進程.尊重答案但不能囿于答案，如題目1的一題多問，前問的結(jié)論為后問奠基，通過層層遞進解題，很多時候跳出圈子看世界，梯子旁邊也許還有很多索道，天塹變通途.如高考題對分離參數(shù)法冷眼旁觀，模擬題從幕后走向前臺，猶抱琵琶半遮面.學生對其“愛恨交加”“想說愛你不容易”，因為分離參數(shù)法體現(xiàn)化歸思想，但分離出來的函數(shù)的最值未必容易確定，可能會涉及高中沒有學習的洛必達法則［3］［4］，正是暗藏殺機的隱患，導致學生沒有底氣面對可能存在的風險，讓高考命題專家對其敬而遠之（高考試題分離參數(shù)往往要用到洛必達法則，通過函數(shù)最值法考查學生分類討論思想）.只有知己知彼，方能百戰(zhàn)不殆.Bukingham在他的《教師的研究》（Research for Teacher）一書中闡釋了這樣的觀點：教師擁有研究的機會，如果他們抓住這種機會，不僅能有力而迅速地發(fā)展教學技術(shù)，而且將賦予教師個人工作以生命和尊嚴.研究是指對某種現(xiàn)象或問題加以調(diào)查、審查、討論及思考，然后分析和綜合所得的結(jié)論或結(jié)果.通過系統(tǒng)、深入研究，把復雜問題簡單化，深奧問題通俗化，教學時才不會孤芳自賞、曲高和寡.當我們對問題的理解不斷深入，創(chuàng)造性解法不請自來.如2014年高考數(shù)學浙江卷理科第16題：設直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是_______.可將兩條漸近線看成曲線系，利用整體體現(xiàn)了分解與整合思想方法.愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性.”

1.魏相清，許靜一.對兩道高考模擬題的解法反思［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2015（11）.

2.鄭良.數(shù)學對話促思考質(zhì)疑過程探本質(zhì)［J］.數(shù)學通訊（教師版），2015（8）.

3.鄭良.揭開正確答案后的“迷霧”——函數(shù)最值法與分離參數(shù)法的應用比較［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2011（10）.

4.鄭良.根深才能枝繁葉茂——從一類試題解法談起［J］.中小學數(shù)學（高中版），2012（7-8）.

5.鄭良.八方聯(lián)系智慧現(xiàn)渾然一體高效生［J］.中學數(shù)學（上），2015（8）.

6.趙輝.對解題思路自然性的思考——以2015年廣東高考數(shù)列題為引例［J］.中學數(shù)學（上），2016（1）.Z