筅江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)　丁益民

從一次調(diào)研測試談?wù)勵(lì)惐韧评淼慕虒W(xué)

筅江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)丁益民

一、從一次調(diào)研試題的解答情況中發(fā)現(xiàn)問題

前不久，我校高二年級(jí)組織了一次調(diào)研測試，在試卷中命制了如下三道試題：

題1在平面內(nèi)，點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=.運(yùn)用類比的思想，我們可以解決下面的問題：在空間內(nèi)，點(diǎn)P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距離d=_______.

圖1　

題2如圖1，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π（R2-r2）＝（R-r）×2π×所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R-r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×為長的矩形面積.請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2≤4｝繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是________.

題3物理學(xué)家開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密……它應(yīng)該是最不容忽視的.”我們要重視“類比”在解題中的應(yīng)用，比如，遇到“的結(jié)構(gòu)時(shí)可類比正切的和角公式.請(qǐng)運(yùn)用“類比”思想解答下列問題：

三道試題的命制旨在調(diào)研“類比推理”的教學(xué)情況，試題在設(shè)計(jì)上由簡單到復(fù)雜進(jìn)行多維考查——先是對(duì)已有命題進(jìn)行簡單的形式化類比，再到對(duì)已有命題中的有關(guān)數(shù)學(xué)“元素”（對(duì)象、概念、尤其是思想方法）的認(rèn)知進(jìn)行思想方法的類比，最后上升至能自覺并創(chuàng)造性地運(yùn)用類比思想進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng).

通過統(tǒng)計(jì)與調(diào)查，測試題的基本情況如下：

題號(hào)得分情況情況反饋1均分4.63分（滿分5分）大部分學(xué)生反映較易，僅需類比已知命題的形式進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的運(yùn)算即可. 2均分1.85分（滿分5分）未能解答出此題的學(xué)生反映：（1）未能真正讀懂已知命題的數(shù)學(xué)意義；（2）不會(huì)將已有命題中的“對(duì)象”（矩形）類比出新的“對(duì)象”（圓柱）；（3）不能運(yùn)用已有命題的信息獲得類比出圓柱的高. 3均分7.66分（滿分16分）大部分學(xué)生得分在第（1）問，但有近一半的學(xué)生沒有借助提示語（遇到“x+y 1-x y”的結(jié)構(gòu)時(shí)可類比正切的和角公式）進(jìn)行解題，而是直接憑已有經(jīng)驗(yàn)將“tan11π 15”直接運(yùn)用和角的正切公式展開后切化弦進(jìn)行求解；對(duì)于第（2）問，很多學(xué)生表現(xiàn)出沒有思路，未能尋找到合適的類比“源頭”.

結(jié)合上表，訪談部分教師，可見當(dāng)前“類比推理”的教學(xué)現(xiàn)狀是：

（1）沒有形成相對(duì)完整的類比推理體系，對(duì)常見同構(gòu)對(duì)象的關(guān)聯(lián)缺乏分析.比如，“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”之間的類比更多地憑直覺類比，不能選擇恰當(dāng)?shù)囊暯欠治鰞蓚€(gè)數(shù)列在運(yùn)算上的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，進(jìn)而不能準(zhǔn)確地進(jìn)行相關(guān)的類比推理.

（2）類比過程機(jī)械程式化，類比結(jié)果浮于表面形式，缺少思想內(nèi)涵的分析.比如，將平面幾何與空間立體幾何之間的類比簡單地認(rèn)為只要將“2”改成“3”，如“在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個(gè)正確命題是：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則有______.”很多學(xué)生簡單地改寫為“cos2α+ cos2β+cos2γ=1”、“cos3α+cos3β+cos3γ=1”等錯(cuò)誤結(jié)論，其原因就在于不能發(fā)現(xiàn)平面幾何結(jié)論中的思想內(nèi)涵，不能準(zhǔn)確地將其中的思想方法拓展到空間中去.

（3）類比推理的教學(xué)定位偏低，沒有凸顯出類比推理的思維過程和思維價(jià)值.比如，有些教師試圖通過幾道題的講解與訓(xùn)練就認(rèn)為完成了“類比”的教學(xué)目標(biāo)，然后讓學(xué)生云里霧里地去“依葫蘆畫瓢”，在這樣的教學(xué)中，學(xué)生獲得的認(rèn)知顯然只是類比的“外殼”，對(duì)類比推理的理解幾乎就停留在表淺形式的模仿層面.

二、從教學(xué)定位、認(rèn)知困難角度分析問題

1.“類比推理”的教學(xué)目標(biāo)定位

類比推理，是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉灿邢嗨苹蛳嗤耐评矸椒?類比推理的思維過程大致是：觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測新的結(jié)論.類比推理是一種富有創(chuàng)造性的邏輯思維，數(shù)學(xué)家波利亞曾將類比推理比喻為“偉大的引路人”.

筆者認(rèn)為，在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮類比推理的教學(xué)價(jià)值——不僅要讓學(xué)生能根據(jù)已知的概念、性質(zhì)、結(jié)論等進(jìn)行類比，得到新命題，獲得新結(jié)論，更重要的是通過推理的學(xué)習(xí)形成類比的思維方式，并能主動(dòng)運(yùn)用類比的思想解決問題.那么，類比推理的教學(xué)定位應(yīng)該是以形成完整規(guī)范的類比思維而展開教學(xué)活動(dòng)，充分認(rèn)識(shí)類比思想的科學(xué)價(jià)值.顯然這是一個(gè)由低到高、逐步認(rèn)知的螺旋上升過程，這樣的遞進(jìn)過程為：首先能通過簡單的類比推理案例感受類比的思維過程，再到從已有命題中發(fā)現(xiàn)“思想方法”后進(jìn)行內(nèi)涵性類比，最終形成科學(xué)的可操作的類比思維，并能運(yùn)用于研究具體問題中去.

2.“類比推理”認(rèn)知困難分析

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，造成“類比推理”認(rèn)知困難主要有以下原因：

（1）長期形式化的推理方式的影響.就內(nèi)容而言，歸納推理注重的往往重在某個(gè)（類）形式化的結(jié)論，比如等式、不等式的歸納猜想，而類比推理的思維起點(diǎn)是從已有結(jié)論中發(fā)現(xiàn)承載的思想方法或數(shù)學(xué)操作方式，思維的要求明顯更復(fù)雜.學(xué)生從小學(xué)起就頻繁接觸“歸納”（如找規(guī)律），從形式上進(jìn)行歸納推理已成為他們進(jìn)行推理的主要思維方式，他們不知不覺地將這樣的方式慣性地用到類比推理中去，將兩者的思維過程等同處理.類比推理往往不是簡簡單單地將結(jié)論進(jìn)行形式化改寫，而是對(duì)思維對(duì)象中相關(guān)思想方法進(jìn)行過程性類比，簡單機(jī)械的形式改寫得到的結(jié)論根本就不具有科學(xué)性，只有關(guān)乎問題本質(zhì)的類比才是類比推理的核心所在.

（2）缺少具體可循的操作系統(tǒng)支撐.從認(rèn)知系統(tǒng)來看，類比是兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的模型之間的推理，盡管學(xué)生可以在書本、作業(yè)習(xí)題中接觸到一些類比問題，但對(duì)于常見的同構(gòu)模型，特別是零散在各個(gè)知識(shí)單元中的類比內(nèi)容，由于沒有具體的操作系統(tǒng)可供參考，導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行類比時(shí)更多地憑感覺去臆想，增加了類比結(jié)論的盲目性.同時(shí)，從上面調(diào)研測試的反饋情況可知，對(duì)類比對(duì)象中的內(nèi)涵認(rèn)識(shí)缺乏也是學(xué)生覺得類比推理困難的原因之一.在進(jìn)行類比推理時(shí)，首先要找出兩類對(duì)象間已經(jīng)明確表征的相似屬性，但有些學(xué)生對(duì)此認(rèn)識(shí)模糊不清，憑空亂想，停留在“只可意會(huì)，不可言傳”的懵懂狀態(tài).如上面的題2，很多學(xué)生錯(cuò)的原因就是沒有找到已有命題中的“化不規(guī)則為規(guī)則”、“化曲為直”的思想內(nèi)涵，從而不能將此轉(zhuǎn)化為進(jìn)行類比的信息源頭，導(dǎo)致類比的思維過程失敗.

（3）教學(xué)方式的“簡單粗暴”.實(shí)際教學(xué)似乎更加關(guān)注類比的結(jié)論，而對(duì)類比的過程以及過程中內(nèi)涵分析卻不肯花時(shí)間，這就不難解釋為何很多學(xué)生的類比只停留在“形似”的表象，而非真正意義上的類比.我們不應(yīng)該糾纏于表面的“形式”，適度形式化，重在提高類比過程的分析，特別要重視引導(dǎo)學(xué)生從已知命題中尋找類比信息源的思維過程，引導(dǎo)他們分析兩類同構(gòu)對(duì)象的相關(guān)屬性（維度、運(yùn)算、定義、法則等）的差異與聯(lián)系，并盡可能地引導(dǎo)他們尋找常見同構(gòu)對(duì)象可進(jìn)行類比的基本單元.

三、類比推理教學(xué)中的兩點(diǎn)建議

1.建構(gòu)明確的類比模型系統(tǒng)

任何知識(shí)都不是孤立存在的，知識(shí)間的相互作用下形成了一個(gè)復(fù)雜的龐大系統(tǒng).缺乏體系的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得的往往是孤立的個(gè)體，缺乏體系的學(xué)習(xí)，將是盲目的學(xué)習(xí)，低效的學(xué)習(xí).

就類比對(duì)象而言，可將其粗分為系統(tǒng)間的類比與系統(tǒng)內(nèi)的類比.系統(tǒng)間的類比是指兩個(gè)不同知識(shí)系統(tǒng)之間在概念、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面較為完整的類比，比如等式與不等式、數(shù)量與向量、平面幾何與立體幾何之間的類比等；系統(tǒng)內(nèi)的類比是指同一知識(shí)系統(tǒng)之內(nèi)的兩個(gè)不同對(duì)象在某些方面的類比，如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的加法與乘法、數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列、圓錐曲線中的橢圓與雙曲線之間的類比等.

在教學(xué)中，不僅要明確了類比對(duì)象的區(qū)別，還要明確類比對(duì)象的相似特性，特別是推理過程中是從哪些已知的“相似性”推出未知的“相似性”，并引導(dǎo)學(xué)生將其中的“相似性”用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表征出來，形成運(yùn)用類比推理解決某一類對(duì)象思維范式.比如，平面幾何與立體幾何的類比中，可引導(dǎo)學(xué)生從“維度”的角度建立起相關(guān)相似性；數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中，可引導(dǎo)學(xué)生從“運(yùn)算”的角度建立其相關(guān)相似性.

從平面幾何與立體幾何之間的不同對(duì)象、不同測度在“維度”上的差異建立關(guān)聯(lián)

通過指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算溝通等差數(shù)列與等比數(shù)列在運(yùn)算上的關(guān)聯(lián)

只有在學(xué)生頭腦中形成較為明確的模型系統(tǒng)及相似性的表征方式，才有可能在類比時(shí)根據(jù)不同的模型迅速找到類比推理的正確途徑，從而形成正確有效的思維過程.

2.注重類比推理的過程性教學(xué)

類比推理不僅是結(jié)論的類比，更是思維過程的類比.在教學(xué)中，我們不僅要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)類比對(duì)象的相似性及類比規(guī)律進(jìn)行大膽猜想，得到最合理的結(jié)論，還要要求學(xué)生對(duì)類比的思維過程進(jìn)行分析，理性地去檢驗(yàn)類比結(jié)論的正確性.這個(gè)檢驗(yàn)的過程有時(shí)可能會(huì)是漫長而曲折的，而且當(dāng)猜想的結(jié)論不成立時(shí)，還需根據(jù)“類比”過程進(jìn)行分析并作出相應(yīng)的調(diào)整與改變.

類比思維的形成需要一個(gè)長期的過程，這就需要在教學(xué)中有意識(shí)地運(yùn)用“類比”進(jìn)行教學(xué)組織，選擇具有同構(gòu)特征的認(rèn)知素材進(jìn)行“類比”，讓新知的獲得建立在熟悉的先行組織者之上，使得知識(shí)的生成更加的理性與飽滿.比如，在“二面角”的教學(xué)中，我們就可以運(yùn)用“類比”進(jìn)行概念的建構(gòu).

組織材料組織方式新的認(rèn)知需求1.之前怎么定義“角”？類比現(xiàn)在怎么定義“二面角”？2.1靜態(tài)定義中有哪些元素？（頂點(diǎn)、兩條射線）按此方式，“二面角”需要定義哪些元素？2.2旋轉(zhuǎn)定義中有哪些元素？（始邊、頂點(diǎn)、終邊）按此方式，“二面角”也需要哪些元素？3.角怎么畫？（形的表征）二面角怎么畫？4.之前角怎么表示？（形的具象）同樣的方式，二面角怎么表示？

由上表可以看出，從學(xué)生原有認(rèn)知中的“角”出發(fā)，通過類比的思維方式獲得了“二面角”概念，學(xué)生對(duì)“二面角”的建構(gòu)更多的是理性認(rèn)識(shí)，對(duì)“類比”水平的提升與教學(xué)價(jià)值也將得到相應(yīng)的提升.

1.潘紅玉.類比推理讓規(guī)律探究更深入——由一則教學(xué)案例談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

2.濮陽康和.類比推理的難因分析及教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（11）.Z