筅江蘇省丹陽高級中學　朱煒俊

一道立體幾何最值問題的拓展探究

筅江蘇省丹陽高級中學朱煒俊

立體幾何中體積最值問題能有效考查學生的空間想象能力、數(shù)形結合能力，以及函數(shù)與方程思想的理解和掌握程度，因此在高考中備受命題人的關注，本文以一道課本練習題為引例，就此類問題的求解拓展探究.

圖1　

圖2　

例1（課本練習題）如圖1，在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF.

（1）求證：A′F⊥C′E；

（2）當三棱錐B′-BEF的體積取最大時，求二面角B′-EF-B的正切值.

解析：（1）略.

（2）已知三棱錐B′-BEF的高BB′為定值，欲使其體積最大，則其底面積BEF最大.如圖2所示，在正方形OABC中，設AE=BF=x（0

方法1：利用二次函數(shù)的性質，可知當x=a時，S取得2最大值

以下利用空間向量法求二面角B′-EF-B的正切值.（過程略）

評注：解答此類問題的關鍵是據(jù)所給的條件，構造目標函數(shù)，再利用函數(shù)求最值的方法求解，如二次函數(shù)配方法、均值不等式法、三角函數(shù)最值法、分離常數(shù)法、導數(shù)法等方法求解.下面對此題進行變式探究.

一、變化動點位置

圖3　

例2如圖3，在棱長為2的正方體OABC-O′A′B′C′中，M、N分別為線段OB上的點，若∠MAN= 30°，則三棱錐C′-AMN體積的最大值為______.

解析：因為三棱錐C′-AMN的高為定值，則其體積最大時，其底面積AMN取最大值.

VC′-AMN=AN.

過點A作AH垂直O(jiān)B于點H，如圖4，易知，當MN取最大值時，三角形AMN的面積最大.不妨設∠MAH＝

圖4　

評注：本題將例1中動點的位置置于對底面的對角線OB上，將空間問題平面化后，利用解三角形知識求解，使體積最值轉化為三角形面積最值問題，通過面積公式構造三角函數(shù)關系，再借助函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質求解，求解過程中注意角的范圍變化，防止錯解.

二、改變求解結論

例3如圖3，在棱長為2的正方體OABC-O′A′B′C′中，M、N分別為線段OB上的點，若∠MAN=30°，則三棱錐C′-AMN體積的最小值為_______.

同例2解答，如圖4，過點A作AH垂直O(jiān)B于點H，易知，當MN取最小值時，三角形面積最小，不妨設∠MBH＝ α，∠NBH=β，由AH=所以，當且

評注：本題將例2所求結論改為最小值，同樣利用例2的解答方法，即構造三角函數(shù)求最值.在一道題目解答完畢后，通過對題目的條件或結論進行變式探究，能有效地考查同學們利用所學知識靈活解答問題的能力.

三、變換求解方法

例4同例3.

圖5　

由面積公式得S△AMN=xysin30°，所以S△AMN=·MN=xysin30°，所以xy=2MN.

由余弦定理可得MN2=x2+y2-2xycos30°=x2+y2-

所以VP-BMN的最小值為

評注：對一道題通過從不同角度進行分析解答，即一題多解訓練，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維，有利于建立不同知識點之間的關聯(lián)，從而形成解題思維和解題能力的提高.

四、問題拓展延伸

例5如圖6，∠ACB＝45°，BC＝3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°，連接BC（如圖7所示）.

圖6　

圖7　

（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大？

（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設E、M分別為棱BC、AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小.

解析：（1）在如圖6所示的△ABC中，設BD＝x（0＜x＜3），則CD＝3-x.

由AD⊥BC，∠ACB＝45°，知△ADC為等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3-x.

由折起前AD⊥BC，知折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以，當且僅當2x＝3-x，即x＝1時，等號成立.

故當x＝1，即BD＝1時，三棱錐A-BCD的體積最大.

（2）略.

評注：據(jù)題構造出目標函數(shù)后，利用均值不等式的三元形式，即a，b，c>0，a+b+c

（當且僅當a=b=c時，“=”成立）求函數(shù)最值.

總之，求立體幾何最值問題的方法是根據(jù)所給條件確定目標函數(shù)，再利用相關方法求目標函數(shù)的最值，除本文所述的幾種方法外，同學們在學習中要不斷進行歸納總結，以不變應萬變，提高自己的應試能力.F