筅江蘇省連云港市厲莊高級中學(xué)　陳衛(wèi)光

例談“設(shè)而不求”在解析幾何中的運用

筅江蘇省連云港市厲莊高級中學(xué)陳衛(wèi)光

“設(shè)而不求”，顧名思義就是根據(jù)題意巧妙設(shè)立未知數(shù)并不真正解出來，而是建立“未知”和“已知”之間的關(guān)系，從而幫助我們解題，而未知數(shù)本身并不需要求出它的值.“設(shè)而不求”的方法把關(guān)注通過運算求解上升為關(guān)注分析求解，即通過少量的計算大量的分析實現(xiàn)解題.“設(shè)而不求”的方法在解析幾何的一些問題中有諸多應(yīng)用，它優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，讓難題的解決更有信心.筆者在平時的教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)“設(shè)而不求”的方法在解析幾何中存在大量的運用，現(xiàn)整理如下，以期拋磚引玉.

一、運用一——點差法

點差法常常用來解決圓錐曲線的中點弦問題，即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.若設(shè)出直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為“點差法”.

“點差法”主要適用于題中涉及中點和斜率的問題.如：求中點弦方程、（過定點，平行弦）弦中點軌跡、垂直平分線等問題.

1.證明定值問題

在解答平面解析幾何中的定值問題時，如果能適時運用點差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優(yōu)化解題過程.

圖1　

證明：設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）（x0≠x1，x0≠ x2），于是，整理得，所以，即又OC//BP，所以kOC=kBP，于是kAP·kBP=-

評注：點差法的特點是題目中有明顯或隱含的中點，而中點與斜率又有某種程度的關(guān)聯(lián).點差法的一般處理程序是設(shè)出關(guān)鍵點坐標(biāo)，然后代入曲線方程，再作差，最后將表達(dá)式化成含有斜率與中點的式子.

2.點差法求直線的方程

在解析幾何題中，經(jīng)常已知點在曲線上，求另外相關(guān)點的軌跡方程，可以設(shè)出相關(guān)點，作差求出方程.

例2已知△ABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上，其中A（2，8），且△ABC的重心G是拋物線的焦點，求直線BC的方程.

解析：由已知拋物線方程得G（8，0）.設(shè)BC的中點為M（x0，y0），則A、G、M三點共線，且|AG|=2|GM|，所以G分所成比為2，于是解得，所以M（11， -4）.設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則y1y2=-8.又兩式相減得y-4.故BC所在直線方程為y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0. 3.點差法求點的軌跡

所求點的軌跡是由與之相關(guān)的點引起，而相關(guān)的點在已知曲線上，因而可以設(shè)出相關(guān)點，作差求得.例3已知橢圓+y2=1，求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程.

解析：設(shè)弦的兩個端點分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為M（x，y），則兩式相減得=0，所以=0.又x1+x2=，所以x+4y=0.因為弦中點軌跡在已知橢圓內(nèi)，故所求弦中點的軌跡方程為x+4y=0（在已知橢圓內(nèi)）.

4.利用點差法求參數(shù)的取值范圍

在一類曲線上是否存在關(guān)于某直線對稱的問題中，經(jīng)常會求參數(shù)的取值范圍，此類題中常用點差法解決.

例4若拋物線C：y2=x上存在不同的兩點關(guān)于直線l：y=m（x-3）對稱，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：當(dāng)m=0時，顯然滿足.

當(dāng)m≠0時，設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l：y=m（x-3）對稱的兩點分別為P（x1，y1）、Q（x2，y2），且PQ的中點為M（x0， y0），則，兩式相減得，故.又因為中點M（x0，y0）在直線l：y=m（x-3）上，所以y0=m（x0-3），于是x0=.因為中點M在拋物線y2=x區(qū)域內(nèi)，所以解得-

二、運用二——同構(gòu)式的運用

同構(gòu)式，也稱為同解式，指在解決圓錐曲線中的直線方程時，式子的結(jié)構(gòu)相同，此時可以設(shè)出直線方程，關(guān)注式子的形式，從形式的統(tǒng)一性求直線方程，實現(xiàn)“設(shè)而不求”目的，大大減少計算量，優(yōu)化解題過程，是解決此類問題的最佳方法.

例5設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程.

解析：（Ⅰ）x2=4y.

（Ⅱ）拋物線C的方程為x2=4y，即y=x2，求導(dǎo)得y′=x.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA、PB的斜率分別為，所以切線PA的方程為y-y1=（x-x1），即y=+y1，即x1x-2y-2y1=0；同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.因為切線PA、PB均過點P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以（x1，y1）、（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

評注：同構(gòu)式運用的重點是觀察式子結(jié)構(gòu)的特點，從已知的具有相同結(jié)構(gòu)的等式中抽象出直線方程.顯然觀察法對學(xué)生的觀察能力，直覺思維有更大的要求的，但是卻讓學(xué)生更加專注于問題分析，而不是大量計算.

三、運用三——運用參數(shù)方程

運用參數(shù)方程是解決圓錐曲線中與直線有關(guān)的動點軌跡的重要方法，該動點往往與動直線有緊密的聯(lián)系.該方法與點差法有點類似，也需要設(shè)出直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)，不過此時交點坐標(biāo)被看成參數(shù)，然后將所得的式子選擇性相乘，通過消參得到動點的軌跡方程.

解析：A1、A2為雙曲線的左右頂點，它們的坐標(biāo)為

A1（-，0），A2（，0），則A1P：y=x+，A2Q：y=，兩式相乘得（x2-2）.因為點P（x1，y）1在雙曲線上，則-=1，即x=，故y2=-（x2-2），即+y2=1.

經(jīng)檢驗，以上所得橢圓的四個頂點無法取到，故交點軌跡E的方程為+y2=1（x≠0，且x≠±）.

可見，在解決圓錐曲線的一些動點軌跡方程時，運用參數(shù)方程也是一種設(shè)而不求的方法，它把關(guān)注點同樣放在了式子的變形上，最終實現(xiàn)簡化運算.總之，設(shè)而不求在高中數(shù)學(xué)中有很廣泛的運用，筆者僅舉幾例說明，希望對一線的老師有所啟迪.F