筅江蘇省啟東市呂四中學(xué)　周華

例談平面幾何法解決解析幾何問題的幾種途徑

筅江蘇省啟東市呂四中學(xué)周華

眾所周知，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是歷年高考的首選題型.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，數(shù)形結(jié)合是其主要特征.因此，靈活運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的同時(shí)，充分利用問題中的“幾何性質(zhì)”，往往是解決解析幾何問題的關(guān)鍵.在解決高中解析幾何問題時(shí)，若能夠巧妙地運(yùn)用平面幾何知識(shí)，不僅能夠有效解決問題，而且會(huì)使問題變得簡潔明了.特別是在高三復(fù)習(xí)過程中，能將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，將平面幾何與解析幾何融為一體，在提高解題的技能和速度的同時(shí)，也使學(xué)生解題中感受到數(shù)學(xué)的無限魅力.下面筆者就從平面幾何的一些性質(zhì)出發(fā)，探討幾類解析幾何問題的巧妙解法.

一、運(yùn)用中位線的性質(zhì)解題

中位線定理是平面幾何中較容易掌握和理解的結(jié)論，在解析幾何題中經(jīng)常含有中點(diǎn)一類的信息，若能在解析幾何中巧妙地加以運(yùn)用，則會(huì)使有關(guān)問題變得更加簡單容易，利于解題.

解析：如圖1，設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接PF′.

圖1　

評(píng)注：本解法是從幾何角度入手，巧妙地利用了三角形的中位線的性質(zhì)，充分發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合的作用，揭示了題目的本質(zhì).

二、運(yùn)用點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)解題

解析幾何經(jīng)常是點(diǎn)、線之間的關(guān)系，經(jīng)常會(huì)涉及點(diǎn)、線的對(duì)稱問題，若能巧妙用好直線與點(diǎn)的對(duì)稱問題，就能輕松求解.

例2如圖2，使拋物線y=ax2-1（a≠0）上總有關(guān)于直線l：x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線P1P2的方程為y=x+b.

圖2　

由韋達(dá)定理知x1+x2=

由對(duì)稱性質(zhì)知，線段P1P2的中點(diǎn)既在直線P1P2上，又

三、運(yùn)用矩形圖形的性質(zhì)解題

在解析幾何題中，常常會(huì)有過已知曲線內(nèi)某一個(gè)定點(diǎn)，作互相垂直的直線一類題，從幾何圖形看，構(gòu)造了矩形，就可以用矩形里的性質(zhì)解題，取得意想不到的效果.

例3已知AC、BD為圓：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），則四邊形ABCD的面積的最大值為______.

解法一：如圖3，S四邊形ABCD=

當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD時(shí)取“=”號(hào)，且Smax=此時(shí)圓心O到AC、BD的距離OE、OF相等，在正方形OEMF中，由OM=，得到OE=

圖3　

解法二：如圖4，設(shè)E、F分別為

AC、BD的中點(diǎn)，則在矩形OEMF中，

OE2+OF2=OM2=3.又AC2+BD2=4（4-

OE）2+4（4-OF）2=20，則S四邊形ABCD=當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD時(shí)，取“=”號(hào).

圖4　

評(píng)注：在解題時(shí)，需要靈活思考，解法一巧用基本不等式及特殊的純幾何圖形直接求解，解法二是在解法一的基礎(chǔ)上優(yōu)化了解題過程，變正方形為矩形.可見，在解決解析幾何題時(shí)，我們不妨考慮得細(xì)致一點(diǎn)兒，方法多樣一點(diǎn)兒，則能靈活解決相關(guān)問題.

四、運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)解題

垂直平分線定理是平面幾何中常見并且運(yùn)用較為廣泛的定理，也是我們熟知的定理，若能在解析幾何中巧妙運(yùn)用，則可避開復(fù)雜運(yùn)算，使解答直觀容易.

例4如圖5，A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=2，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P，直線k垂直于直線AB，且點(diǎn)B到直線k的距離為3.求證：點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到直線k的距離之比為定值.

證明：以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）.

圖5　

因?yàn)橹本€l為線段MB的垂直平分線，所以|PM|=|PB|，所以|PA|+|PB|= |PA|+|PM|=|MA|=4.

所以點(diǎn)P的軌跡是以A、B為兩焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓，易求其方程為=1，直線k是橢圓的準(zhǔn)線.根據(jù)定義知，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到直線k的距離之比為e=

評(píng)注：本題巧妙地運(yùn)用垂直平分線定理及橢圓定義很快使問題獲解.

五、運(yùn)用圓和三角形有關(guān)性質(zhì)解題

圓和三角形是平面幾何中的基本圖形，也是解析幾何問題中常見的“構(gòu)造”元素，所以圓和三角形的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，在解析幾何問題中是十分重要的.例如，解析幾何中曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是近年來高考、競賽的常見題.此類問題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，常與軌跡問題、曲線系問題相結(jié)合，深入考查直線與圓、圓錐曲線的關(guān)系等相關(guān)知識(shí)，若利用圖形中的幾何特征來解題能起到事半功倍的作用.

例5如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2=r2和直線l：x=a（其中r和a均為常數(shù)，且0＜r＜a），M為l上一動(dòng)點(diǎn)，A1、A2為圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線MA1、MA2與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q，求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

圖6　

分析：此題解法很多，若按照解析幾何的基本思路循規(guī)蹈矩，即用代數(shù)方法解決幾何問題，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，找出題目中的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式，解得結(jié)果.思路簡單、清晰，學(xué)生易上手，但由于題中涉及的未知量較多，因此運(yùn)算過程復(fù)雜，計(jì)算量大，需要學(xué)生有足夠的耐心和細(xì)心，一般學(xué)生很難解到最終結(jié)果（具體解法略），若能關(guān)注到圖形的幾何特征即可很快得到結(jié)果.

證明：運(yùn)用圓直徑所對(duì)的圓周角是直角，建立代數(shù)關(guān)系，列出動(dòng)點(diǎn)P、Q滿足的曲線系方程，求出動(dòng)直線PQ的方程，得出定點(diǎn).

由題設(shè)可知，A1（-r，0），A2（r，0），設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，t），直線MA1的斜率為k1，MA2的斜率為k2，則MA1的方程為y=k1（x+r），過點(diǎn)M（a，t），則t=k1（a+r），得到k1=

MA2的方程為y=k2（x-r），過點(diǎn)M（a，t），則t=k2（a-r），得到k2=.連接AQ并延長交直線x=a與N，如圖6所示，

由于A1A2是圓C的直徑，A1Q⊥MQ，所以直線A1Q的方程為y=-

（x+r），將k2代入，即y=-x+r），得N點(diǎn)坐標(biāo)為

同理，連接PA2并延長交直線x=a于點(diǎn)N′，得直線PA2的方程為y=-可知N′的坐標(biāo)為⊥，所以N和N′實(shí)際為同一點(diǎn).

根據(jù)幾何特征，P、Q、N、M四點(diǎn)共圓，P、Q在以MN為直徑的圓上，即（x-a）2+（y-t）

所以PQ為兩圓的交線，求得PQ的方程為（x-a）2+（y-令 y=0，得x=，故直線PQ恒過定點(diǎn)

評(píng)注：在解析幾何題設(shè)中均隱藏著一些特定的幾何特征.利用圖形中的幾何特征，尋找代數(shù)關(guān)系，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.避開煩瑣復(fù)雜的整理、轉(zhuǎn)化的過程，而借助于幾何特征建立曲線系，設(shè)而不解，運(yùn)算的量小，不易出錯(cuò).這種方法在很多題目中都可應(yīng)用，在解析幾何繁雜的運(yùn)算中利用圖形的幾何特征解題將起到事半功倍的作用.

六、利用平行線分線段成比例的性質(zhì)解題

平行線分線段成比例是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而在解析幾何中若能巧用此定理，則可減少計(jì)算量，降低解題難度.

圖7　

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.

（Ⅱ）如圖8，過點(diǎn)S作SE垂直于x軸，設(shè)S（x0，y0），顯然SE∥l，則有

圖8　

評(píng)注：第（Ⅱ）問巧妙運(yùn)用平行線分線段成比例，找出線段與線段的相等關(guān)系，從而得到結(jié)論，大大減小運(yùn)算量，使解題速度大大提高.此解法體現(xiàn)的另一思路是圓錐曲線中與頂點(diǎn)相關(guān)的線段可以考慮將圓錐曲線的方程變形，然后用平方差公式得到相關(guān)比例，使解題的運(yùn)算量大大減小.

七、利用角平分線有關(guān)性質(zhì)解題

角平分線定理在初中雖然僅出現(xiàn)在習(xí)題中，但它在高中內(nèi)容中時(shí)常出現(xiàn)，若作為結(jié)論加以介紹，并學(xué)會(huì)應(yīng)用，將使解決有關(guān)問題變得簡單易行.

圖9　

解析：如圖9，因?yàn)镮為△F1F2P的內(nèi)心，連接F1I，F(xiàn)2I，則F1I、F2I、PI分別是三角形F1F2P的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得，即所以

評(píng)注：本題結(jié)合角平分線定理，使問題簡單明了，角平分線定理可以用正弦定理證明，便于理解和記憶.

總之，解析幾何中，“解析”只是方法，“幾何”才是本質(zhì).平面幾何在教學(xué)目標(biāo)上側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的作圖識(shí)圖能力和邏輯推理能力.只有利用平面幾何相關(guān)知識(shí)，正確把握問題中各個(gè)對(duì)象的位置關(guān)系，并轉(zhuǎn)化出其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，才能用解析的方法順利解決問題.教學(xué)中若利用平面幾何知識(shí)可避免煩瑣計(jì)算，收到意想不到的解題效果；這樣不僅能起到變難為易、化繁為簡的作用，還有助于打破學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易于形成的一種思維定勢，有益于學(xué)生的發(fā)散性思維的培養(yǎng).F