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        數(shù)學(xué)方法好,解題沒(méi)困擾——幾種典型的高中數(shù)學(xué)解題方法例析

        2016-11-25 03:24:07筅江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)鄭曉晴
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年13期
        關(guān)鍵詞:圖解法反證法結(jié)論

        筅江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 鄭曉晴

        數(shù)學(xué)方法好,解題沒(méi)困擾——幾種典型的高中數(shù)學(xué)解題方法例析

        筅江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)鄭曉晴

        高中數(shù)學(xué)題型多變,表面看來(lái)難度大,深度廣,很容易讓學(xué)生望而生畏,要想消除學(xué)生的這種顧慮,就要從解題方法入手,潛心研究,不斷反思,總結(jié)方法.要懂得根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí),提出靈活的設(shè)想,尋找巧妙的解題方案.方法恰當(dāng)事半功倍,方法不對(duì)收效甚微,所以要學(xué)好高中數(shù)學(xué)必須要重視解題方法的研究.本文將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方法的介紹.

        一、轉(zhuǎn)換法

        高中數(shù)學(xué)一種不可或缺的解題方法就是轉(zhuǎn)換法.這種方法的解題思想是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.適合解決難易程度較高的題型,稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的,能夠靈活運(yùn)用這種方法對(duì)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造性思維是不小的挑戰(zhàn).這種方法關(guān)鍵一步是將所求式(未知問(wèn)題)朝著已知的方向進(jìn)行合理的變形,好的轉(zhuǎn)化方法可以把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟悉的,把不規(guī)范的問(wèn)題轉(zhuǎn)為規(guī)范的,復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的.比如,對(duì)于有理分式的題可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法將分式化為整式,廣義分式也可以將一元函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求積分,然后解答起來(lái)就簡(jiǎn)單容易了.

        例1若x、y、z∈R+且x+y+z=1,求∈的最小值.

        分析:由關(guān)鍵性的已知條件x+y+z=1我們聯(lián)想到:將所求式變形轉(zhuǎn)化為含代數(shù)式x+y+ z,或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式,這樣就將所要求的未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.答案很快就明了了.本題先通分,再整理分子,最后拆分.將求

        轉(zhuǎn)化意識(shí)的形成不是一蹴而就的,需要我們?cè)诮忸}中不斷的應(yīng)用,不斷的訓(xùn)練,久而久之強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力,提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

        二、反證法

        “若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論,就會(huì)導(dǎo)致矛盾”.這是法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對(duì)反證法解數(shù)學(xué)題的精辟概括.邏輯性與規(guī)律性兼容是高中數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn),能從題目中很容易就找到證明條件的情況少之又少,當(dāng)我們從正面入手很難找到切入點(diǎn)的時(shí)候,不妨換一種思維方式,想方設(shè)法從它的相反方向考慮尋找突破口.具體地說(shuō),首先否定原命題,再把這個(gè)經(jīng)過(guò)否定的命題作為一道新題的已知條件,在這個(gè)已知條件下進(jìn)行正常的推理,推出的結(jié)論與我們公認(rèn)的已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)被證明為正確的命題等相矛盾,根據(jù)這個(gè)矛盾的結(jié)論就可斷定最初的假設(shè)不成立,進(jìn)而肯定了原命題的結(jié)論,這就是反證法.運(yùn)用反證法主要分為以下幾個(gè)步驟:①假設(shè):仔細(xì)閱讀題目,理清原命題的條件和結(jié)論是什么(為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤,可以在草紙上列出來(lái)),理清頭緒后作一個(gè)與命題結(jié)論相反的假設(shè),也就是結(jié)論的反面成立.②求證:以上面的假設(shè)為已知條件出發(fā),運(yùn)用正常的推理法進(jìn)行求證,從而得到矛盾的結(jié)果是成立的.③最后一步需要推理一下:產(chǎn)生上面矛盾結(jié)果的原因是第一步的假設(shè)本身就是假的,而第二步求證假設(shè)的結(jié)果也不真,這就間接地證明原命題是真實(shí)的,從而完成原命題證明,它是一種間接證明的方法.

        例2求證兩條直線a,b中的一條與平面α相交,則另一條也和平面α相交.

        證明:這類題我們完全可以用反證法來(lái)解決,假設(shè)直線a與平面α相交,a、b互相平行,b也與平面α相交,假設(shè)b不與平面α相交,就必然形成了兩種情況:

        ①b在平面α內(nèi),由a平行于b,a不屬于平面α,a平行于平面α,與題設(shè)相互矛盾.

        ②b∥α,可過(guò)b作平面β,設(shè)β∩α=c,則b∥c.而b∥a,則a∥c,同上可得a∥α,與題設(shè)a與α相交矛盾.

        因此b和α只能相交.

        在同一思維過(guò)程中,真相只有一個(gè),既然b在平面α內(nèi)和b∥α已經(jīng)為假,那么原結(jié)論b也和平面α相交就一定為真.反證法另辟蹊徑,反其道而行之,要求學(xué)生有很強(qiáng)的逆向思維能力,根據(jù)題的特點(diǎn),對(duì)癥下藥,準(zhǔn)確假設(shè),細(xì)心求證,科學(xué)推理,任何一步都不能有紕漏,否則前功盡棄.所以要求學(xué)生在做題時(shí),認(rèn)真審題,審慎考慮,理清頭緒,大膽嘗試,否則起不到事半功倍的作用.

        三、數(shù)學(xué)歸納法

        證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題是高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的題型,數(shù)學(xué)歸納法針對(duì)這種問(wèn)題最適用.歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,應(yīng)用非常廣泛,一般來(lái)說(shuō),與正整數(shù)有關(guān)的一些恒等式、不等式、整除性、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題都可以采用此種方法,它條理清晰,操作簡(jiǎn)單,很容易接受.要熟練地掌握數(shù)學(xué)歸納法,必須準(zhǔn)確地把握解題步驟,歸納法分為以下幾步:第一步,驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立,這是基礎(chǔ)性的一步,為后面的歸納做鋪墊;第二步,若n=k(k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,這是關(guān)鍵性的一步,為后面的歸納作遞推;最后,得出結(jié)論,命題對(duì)從n0開(kāi)始所有的正整數(shù)n都成立.兩個(gè)步驟(同樣重要),一個(gè)結(jié)論,缺一不可.

        例3求證:12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).

        證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立.(歸納奠基)

        ②假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即12+22+32+…+k2= k(k+ 1)(2k+1).

        由①②可知原等式對(duì)于任意n∈N*都成立(結(jié)論).

        評(píng)析:第一步是求證n取第一個(gè)值時(shí)等式是否成立,第二步在假設(shè)n=k時(shí),一定要寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式,證明n=k+1時(shí),一定要用到歸納假設(shè).第二步證明的關(guān)鍵要看左右兩邊的項(xiàng)和證明的目標(biāo),合理利用一湊假設(shè),二湊結(jié)論的證明技巧.為了做題時(shí)不缺少步驟,我們可以記住這樣一個(gè)口訣:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.

        四、圖解法

        數(shù)學(xué)少不了圖形,數(shù)學(xué)圖形直觀形象,清晰明了,還能把數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件、結(jié)論及它們之間的關(guān)聯(lián)精確地反映出來(lái),我們要巧妙地利用圖形的這一特點(diǎn),它也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的又一重要技巧.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不能手懶,有時(shí)只靠頭腦想像還是缺乏直觀性,容易忽略某個(gè)已知條件,而繪制圖形擺在眼前,所有已知條件躍然圖中,借助對(duì)幾何圖形的有效分析,得出文字?jǐn)?shù)學(xué)的結(jié)論(將所研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形),實(shí)現(xiàn)抽象文字表述到具體形象展現(xiàn)的轉(zhuǎn)化,達(dá)到數(shù)與形的密切結(jié)合,科學(xué)滲透,我們給這種方法起個(gè)名字叫圖解法.圖解法的特點(diǎn)就是將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系以圖形的形式直觀地展現(xiàn)給學(xué)生,借助學(xué)生對(duì)圖像的敏感,啟發(fā)學(xué)生的思路,尋找解題的關(guān)鍵,以便獲取更加準(zhǔn)確的答案.圖解法是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題過(guò)程的集中性體現(xiàn),由“形”獲取“數(shù)”的方法.

        例4已知偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1),且x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則方程f(x)=log3x的解的個(gè)數(shù)為().

        A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

        圖1 

        解析:用圖解法.根據(jù)題意,函數(shù)最小正周期為T(mén)=2,則畫(huà)出圖像(圖1),由圖像觀察得知,符合題意的選項(xiàng)是C.

        圖解法既分析其數(shù)與量之間的關(guān)系,又揭示其幾何含義,避免了文字的枯燥,展現(xiàn)了圖形的魅力,使數(shù)量關(guān)系和圖形緊密地聯(lián)系起來(lái),不僅能夠?qū)Ω咧猩臄?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合,還能夠增強(qiáng)對(duì)他們的創(chuàng)新性思維的培養(yǎng).這種方法的應(yīng)用廣泛并貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程,我們要在實(shí)踐中不斷地加以練習(xí),熟悉識(shí)圖技巧,形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,掌握其內(nèi)涵,領(lǐng)會(huì)其精髓,培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決問(wèn)題的能力,解決數(shù)學(xué)難題對(duì)學(xué)生的困擾,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)題海中自在的遨游.F

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