☉浙江省臨海市臺(tái)州中學(xué)　畢里兵

巧用余弦定理求解一類圓錐曲線高考題

☉浙江省臨海市臺(tái)州中學(xué)畢里兵

近日，筆者在辦公室和同事參與討論了一個(gè)圓錐曲線問(wèn)題.

圖1　

經(jīng)過(guò)激烈的討論，大致得出三種方法：特殊化法（不妨設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的右焦點(diǎn)）、向量法、余弦定理法，現(xiàn)把余弦定理法過(guò)程記錄如下.

解：如圖1所示，記雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，并設(shè)FM=x，F(xiàn)N=y，F(xiàn)A=z.

則MF2=8+x，NF2=y-8，AF2=z-10

同理可得

這種利用余弦定理求解的思路勾起了筆者對(duì)一類圓錐曲線高考題解法的思索.筆者下面以近幾年的幾道高考題為例，談?wù)動(dòng)嘞叶ɡ碓趦?yōu)化圓錐曲線運(yùn)算方面的應(yīng)用.現(xiàn)分析如下，供大家參考.

例1（2014年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第20題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；

（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.

圖2　

（2）如圖2所示，由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，

所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)（0，2）是線段MF1的中點(diǎn)，故|MF2|=

設(shè)|NF1|=t

在△NF1F2中，由余弦定理得

說(shuō)明：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)焦點(diǎn)弦的處理，一般是設(shè)出某一線段長(zhǎng)度，然后結(jié)合圓錐曲線定義表示出焦點(diǎn)三角形其余的邊長(zhǎng)，最后選用一個(gè)合適的角度，應(yīng)用余弦定理列出表達(dá)式，就可以簡(jiǎn)捷地求解.

例2（2014年高考安徽卷文科第21題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|=3|BF1|.

（1）若|AB|=4，△ABF2的周長(zhǎng)為16，求|AF2|；

圖3　

解：（1）|AF2|=5.（過(guò)程略）

（2）如圖3所示，設(shè)|F1B|=t（t＞0），則|AF1|=3t，|AB|=4t，由橢圓定義可得|AF2|=2a-3t，|BF2|=2a-t.

在△ABF2中，由余弦定理可知，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|· cos∠AF2B，

化簡(jiǎn)可得（a+t）·（a-3t）=0，解得a=3t.

于是有|AF2|=3t=|AF1|，|BF2|=5t，

所以|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，可得AF1⊥AF2.

故△AF1F2是等腰直角三角形，從而2a2=4c2，

（1）求a，b；

（2）設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列.

圖4　

如圖4所示，設(shè)|BF2|=t，則由雙曲線定義知，|BF1|=2a+t=2+t，

所以|AF1|=|BF1|=2+t，|AF2|=4+t，從而|AB|=|AF2|-|BF2|=4.

在△BF1F2，由余弦定理得cos∠F1BF2=

在△BAF1，由余弦定理得cos（π-∠F1BF2）=，即cos

所以|AF2|·|BF2|=t（4+t）=t2+4t=16=|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列.

例4（2012年高考安徽卷文科第20題）如圖5所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2=60°.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）已知△AF1B面積為40，求a，b的值.

圖5　

（2）設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a-t，

在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°，

例5（2010年高考新課標(biāo)卷理科第20題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.

（1）求E的離心率；

（2）設(shè)點(diǎn)P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程.

解：（1）如圖6所示，由橢圓定義知，|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=

圖6　

由題意直線l的傾斜角為45°，可得∠AF1F2=45°，∠BF1F2=135°，

設(shè)|AF1|=t，|BF1|=m，則|AF2|=2a-t，|BF2|=2a-m，

在△AF1F2中，由余弦定理得

（2a-t）2=4c2+t2-4tccos45°，得t=

在△BF1F2中，由余弦定理得

（2a-m）2=4c2+m2-4mccos135°，得m=

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），由（1）可知，|AF1|=t=a，|BF|=a，b=c，1

所以e=

說(shuō)明：上述幾道試題相關(guān)的焦點(diǎn)三角形在圖形中都能直觀的觀察到，但是有一類試題是屬于隱藏型的，這時(shí)我們只要根據(jù)圓錐曲線的特點(diǎn)把它補(bǔ)充出來(lái)即可.

例6（2010年高考遼寧卷理科第20題）設(shè)橢圓C：

（1）求橢圓C的離心率；

圖7　

解：（1）如圖7所示，記F1為橢圓的右焦點(diǎn)，連接AF1，BF1.由題意可得∠AFF1=60°，∠BFF1=120°，由橢圓定義知|BF1|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，設(shè)|BF|=t，則|BF1|=2a-t，|AF|=2t.

在△BFF1中，由余弦定理得

（2a-t）2=4c2+t2-4tccos120°，

在△AFF1中，同理可得所以（2）把③代入②得t=所以|AB|=3t=所以c=2，

例7（2011年高考浙江卷理科第17題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別

解：如圖8所示，延長(zhǎng)AF1交橢圓于B′，則根據(jù)橢圓對(duì)稱性知所以|AF1|=5|F1B′|.

圖8　

連接AF2，B′F2，并設(shè)|F1B′|=t，

則|AF1|=5t，|AF2|=2a-5t，|B′F2|= 2a-t.

在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠AF1F2=

在△B′F1F2中，由余弦定理得cos（π-∠AF1F2）=

所以|AF1|=5t=

則點(diǎn)A為橢圓的頂點(diǎn)，故點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）.

高考試題是許多專家、學(xué)者、優(yōu)秀教師集體智慧的結(jié)晶，具有很高的研究?jī)r(jià)值.研究高考試題是高中教師的必修課，最大限度地發(fā)揮高考試題的指導(dǎo)價(jià)值是這門功課的重中之重.波利亞說(shuō)：“沒(méi)有一道題是解決得十全十美的，總剩下一些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”這告訴我們教師，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，不僅要得到問(wèn)題的答案，還要讓學(xué)生知道問(wèn)題的一般規(guī)律，這樣才能使學(xué)生舉一反三，觸類旁通，以不變應(yīng)萬(wàn)變.Y