吳強(qiáng)

概率是隨機(jī)事件自身的屬性，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量.概率的計(jì)算是中考命題的熱點(diǎn)之一.求概率要根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適用的方法，才能簡(jiǎn)捷準(zhǔn)確.

一、 實(shí)驗(yàn)法

在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減小.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率可以作為其概率的估計(jì)值.

例1 在一個(gè)不透明的口袋里裝有黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

（1） 請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近_______；（精確到0.01）

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是_______；

（3） 試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只.

（4） 解決了上面的問題，小明同學(xué)猛然想起過去一個(gè)懸而未決的問題：在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來數(shù)的情況下，如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)（可以借助其他工具及用品）？請(qǐng)你應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率的思想和方法解決這個(gè)問題，寫出主要步驟及估算方法.

解：（1） 當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601）÷6≈0.60；

（2） 摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1-0.60=0.4；

（3） 白球有20×0.60=12（只），黑球有20-12=8（只）；

（4） 把a(bǔ)個(gè)黑球裝入口袋中，將黑球、白球混合攪勻，做摸球?qū)嶒?yàn)，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再放回口袋中，不斷重復(fù)，多次實(shí)驗(yàn)后得到摸到黑球的頻率P，設(shè)白球的數(shù)量為b，由于黑球有a個(gè)，可得a/a+b=P，解得：b=1-p/pa.

【總結(jié)】考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)試驗(yàn)下，頻率的穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.部分?jǐn)?shù)目=總體數(shù)目乘相應(yīng)概率.

二、 枚舉法

例2 在數(shù)字1，2，3中任選兩個(gè)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是________.

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目.二者的比值就是其發(fā)生的概率.

解：在數(shù)字1，2，3中任選兩個(gè)組成一個(gè)兩位數(shù)，有12，13，21，23，31，32六種等可能結(jié)果，能被3整除的有12，21兩種情況，即這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是2/6=1/3.

練習(xí) 用2、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為_______.

答案：2/3.

例3 甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)站成一排照合影，甲沒有站在中間的概率為_______.

【分析】枚舉出所有情況，看甲沒排在中間的情況占所有情況的多少即為所求的概率.

解：甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6種情況，有4種甲沒在中間，所以甲沒排在中間的概率是4/6=2/3.

【總結(jié)】本題考查用枚舉法求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、 方程法

例4 不透明的口袋中裝有若干個(gè)完全相同的白球，為了估計(jì)它們的個(gè)數(shù)，現(xiàn)將兩個(gè)黑球（除顏色外其他都與白球相同）放入口袋中，然后從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，按此方法摸了100次，有20次摸到了黑球，則估計(jì)口袋中共有白球（ ）.

A. 7個(gè) B. 8個(gè)

C. 9個(gè) D. 10個(gè)

【分析】口袋中有2個(gè)黑球，根據(jù)黑球在總數(shù)中所占比例與實(shí)驗(yàn)比例相等求出即可.

解：（1） 設(shè)有x個(gè)白球，

∵口袋中有2個(gè)黑球，實(shí)驗(yàn)總共摸了100次，其中有20次摸到了黑球，

∴2/2+x=20/100，

解得：x=8，即口袋中有白球8個(gè).故選B.

例5 在一個(gè)不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個(gè)小球，其中紅球4個(gè)，黑球6個(gè).

（1） 先從袋子中取出m（m>1）個(gè)紅球，再從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，將“摸出黑球”記為事件A.請(qǐng)完成下列表格：

（2） 先從袋子中取出m個(gè)紅球，再放入m個(gè)一樣的黑球并搖勻，隨機(jī)摸出1個(gè)球是黑球的概率等于4/5，求m的值.

解：（1） 事件A為必然事件，則袋中應(yīng)全為黑球，∴m=4； 若事件A為隨機(jī)事件，則袋中有紅球，∵m>1，∴m=2或3.

（2） ∵m+6/10=4/5，∴m=2.

（作者單位：江蘇省常州外國(guó)語學(xué)校）