陳少毅

[摘 要]2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)尺規(guī)作圖作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，課程標(biāo)準(zhǔn)的變化，對(duì)2015年中考產(chǎn)生了較大的影響，各地出現(xiàn)了不少考查尺規(guī)作圖的新題型，這些題型從條件的給出與作圖意義上都有適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新，對(duì)促進(jìn)新課標(biāo)的落實(shí)和學(xué)生思維品質(zhì)的提升具有積極的教學(xué)導(dǎo)向意義.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)尺規(guī) 作圖題型 分析

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2016）110013

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)尺規(guī)作圖作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，增加了如“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”等六條尺規(guī)作圖教學(xué)內(nèi)容，并將教學(xué)要求從“了解尺規(guī)作圖的步驟”調(diào)整為“不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實(shí)施這些步驟的理由”.本文根據(jù)2015年中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖從條件給出與作圖意義大體分為以下幾種題型進(jìn)行分析.

一、按照明確指令，完成基本作圖

直接按照題目給出的要求完成基本作圖，或在其基礎(chǔ)上完成圖形計(jì)算、證明是2015年中考出現(xiàn)較多的題型，這種題型有助于考查課標(biāo)對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)要求的落實(shí)情況.

猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.

這類考題直接考查學(xué)生是否真正掌握了基本的作圖和利用基本作圖完成課標(biāo)要求的作圖教學(xué)內(nèi)容，并在

此基礎(chǔ)上與證明、計(jì)算有機(jī)地融合在一起，突出幾何題型在推理能力培養(yǎng)上的作用.比如例2，它以尺規(guī)作圖為載體，在學(xué)生正確完成角平分線、線段垂直平分線作圖

的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想，推理驗(yàn)證的過程，題型

結(jié)構(gòu)合理，達(dá)成了“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”的課程目標(biāo).

二、根據(jù)給定條件，確定方法作圖

如果說直接按照指令完成作圖是考查學(xué)生基本的操作技能，那么根據(jù)所給的條件自己選擇、確定基本作圖方法完成作圖，則是兼顧了對(duì)基本作圖原理和學(xué)生良好思維品質(zhì)的考查.

【例3】 （2015·甘肅甘南藏族自治州）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB

（1）利用尺規(guī)作圖，在BC邊上確定點(diǎn)E，使點(diǎn)E到邊AB，AD的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）若BC=8，CD=5，則CE= .

【例4】 （2015·山西）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.

（1）尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E，保留作圖痕跡，不寫作法，請(qǐng)標(biāo)明字母.

（2）在你按（1）中要求所作的圖中，若BC=3，∠A=30°，求DE的長.

從以上兩個(gè)例題中可以發(fā)現(xiàn)，本類題型并沒有直接給出完成哪種基本作圖，必須根據(jù)給定條件依托作圖原理判斷作圖方法.比如例3，由“到邊AB，AD的距離相等”判斷是作∠A的角平分線；而例4，由“⊙C與AB相切于點(diǎn)D”，可判斷是過點(diǎn)C作直線AB的垂線段AD.這種從給定條件到作圖方法的聯(lián)系，需要學(xué)生綜合所學(xué)的相應(yīng)圖形的性質(zhì)和判定定理，通過猜想、操作、推理后做出正確判斷，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，能有利于學(xué)生形成理性思考問題的意識(shí).

三、觀察作圖步驟，說明作圖依據(jù)

2011版課標(biāo)對(duì)“作圖道理”的關(guān)注，催生了2015年中考尺規(guī)作圖的新題型，這類題要求學(xué)生按照題目描述的作圖步驟，通過試題設(shè)置問題，讓學(xué)生追問每一步操作背后的根據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

【例5】 （2015·廣東梅州）如圖4，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；

③連接BD，與AC交于點(diǎn)E，連接AD，CD.

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長.

本類題型的共同特點(diǎn)是在試題中通過呈現(xiàn)作圖步驟，給出所要求作（或求證）的圖形的條件，并據(jù)此說明作圖根據(jù)（或進(jìn)行推理證明）.在例5中，由作圖可得條件“AD=AB，CD=CB”，并在此基礎(chǔ)上證明三角形全等.解決這類問題的關(guān)鍵是，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所作圖形，將規(guī)范的作圖語句轉(zhuǎn)換成證題所需的幾何符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，利用所學(xué)的知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行邏輯證明.

四、分析背景材料，設(shè)計(jì)方案作圖

設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}情景或給出新定義的圖形概念，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，根據(jù)題目要求按指定的任務(wù)，自我尋找解決方案進(jìn)行作圖，是一類極具挑戰(zhàn)性的尺規(guī)作圖新題型.

【例6】 （2015·陜西）如圖5，已知△ABC，請(qǐng)用尺規(guī)過點(diǎn)A作一條直線，使其將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【例7】 （2015浙江臺(tái)州）定義：如圖6，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn).

（1）略；（2）略；

（3）已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖7所示，請(qǐng)?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D，使C，D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

（4）略.

讓學(xué)生自我設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖題型，注重引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)和結(jié)論，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)情景中分析問題，解決問題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力和較高的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).比如例6，要求學(xué)生有很好的化歸轉(zhuǎn)化思想，能由條件“面積相等”聯(lián)想到“等高等底”，并從找線段BC的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為尺規(guī)作垂直平分線.又如例7，本題是2015年浙江省臺(tái)州市的中考?jí)狠S題，它首先需要學(xué)生能理解線段“勾股分割點(diǎn)”的概念，在此基礎(chǔ)上，還要根據(jù)圖8中點(diǎn)C的位置，利用直角三角形三邊關(guān)系判斷線段AC只能是直角邊，進(jìn)而探索如何將CB分割為另一條直角邊和斜邊，本題作圖方案的最終確定，對(duì)學(xué)生應(yīng)用幾何知識(shí)、動(dòng)手操作能力、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累都有較高的要求（圖8是一種正確的尺規(guī)作圖結(jié)果）.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）