李秀真

找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，解題不重不漏

李秀真

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略.當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況.下面結(jié)合兩道中考?jí)狠S題講解分類討論思想.

例1（2015·南通）已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線l：y=x-1.

（1）求證：點(diǎn)P在直線l上；

（2）當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠ACM=∠PAQ（如圖1），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若以拋物線和直線l的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的m的值.

【思路突破】（1）利用配方法得到y(tǒng)=（x-m）2+m-1，點(diǎn)P（m，m-1），然后判斷點(diǎn)P是否在直線l上即可；

（2）先確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過解方程組求得Q、P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別過點(diǎn)P、點(diǎn)M作x軸和y軸的垂線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，利用相似的性質(zhì)得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；

圖1　

（3）通過解方程組得到點(diǎn)M、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到三角形三邊PQ、OQ和OP的長(zhǎng)，在三角形中只要有兩邊相等就可以判斷該三角形是等腰三角形，所以要對(duì)三種情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)PQ=OQ時(shí)，當(dāng)PQ=OP時(shí)，當(dāng)OP=OQ時(shí)，最后分別解關(guān)于m的方程求出m即可.

【解答】（1）證明：

∵y=x2-2mx+m2+m-1

=（x-m）2+m-1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），

∵當(dāng)x=m時(shí)，y=x-1=m-1，

∴點(diǎn)P在直線l上.

（2）當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線解析式為y=x2+ 6x+5.

當(dāng)y=0時(shí)，x2+6x+5=0，解得x1=-1，x2=-5，

則A（-5，0），B（-1，0）；

當(dāng)x=0時(shí)，y=5，則C（0，5）.

∵P（-3，-4），∴Q（-2，-3）.

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2所示，

∴∠MEC=∠PFA=90°.

∵OA=OC=5，

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∵∠MCE=∠ACO-∠ACM，

∴∠MCE=45°-∠ACM.

圖2　

∵Q（-2，-3），

∴QG=3，OG=2，

∴AG=OA-OG=5-2=3=QG，

∴△AQG為等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°-∠PAF

=90°-（∠PAQ+45°）

=45°-∠PAQ，

又∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

又∠MEC=∠PFA=90°，

∴Rt△MEC∽R(shí)t△AFP，

設(shè)M（x，x2+6x+5），

∴ME=-x，CE=5-（x2+6x+5）=-x2-6x，

整理得x2+4x=0，

解之得x1=0（舍去），x2=-4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-3）.

則P（m，m-1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1-m）2+（m-m+1）2=2，

OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，

OP2=m2+（m-1）2=2m2-2m+1.

①當(dāng)PQ=OQ時(shí)，2m2+2m+1=2，解之得m=

②當(dāng)PQ=OP時(shí)，2m2-2m+1=2，解之得m=

③當(dāng)OP=OQ時(shí)，

2m2+2m+1=2m2-2m+1，解得m=0.

【解后反思】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)圖像和一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離計(jì)算，利用相似比計(jì)算線段長(zhǎng)等，遇到等腰就想到分類討論思想是本題解答關(guān)鍵.

例2（2015·泰州）已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+ d2=3時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個(gè)P點(diǎn)，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

【思路突破】（1）由一次函數(shù)解析式求出A與B的坐標(biāo)繼而求出AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P（m，2m-4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據(jù)d1+d2=3求出m的值；

（3）設(shè)P（m，2m-4），利用絕對(duì)值的代數(shù)意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據(jù)存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P求出a的值即可.

【解答】（1）A（2，0）、B（0，-4），P為AB的中點(diǎn)，

∴P（1，-2），

∴d1+d2=

（2）①d1+d2≥2.

②設(shè)P（m，2m-4），

∴d1+d2=

圖3　

當(dāng)0≤m≤2時(shí)，

d1+d2==m+4-2m=-m+4=3，

∴m=1，P1（1，-2）；

當(dāng)m＞2時(shí)，

d1+d2==m+2m-4=3m-4=3.

當(dāng)m＜0時(shí)，

d1+d2==-m-2m+4=-3m+ 4=3，

綜上所述：P1（1，-2）、P2

（3）設(shè)P（m，2m-4），

∴d1=

∵P在線段AB上，

∴0≤m≤2，

∴d1=4-2m，d2=m，

∵d1+ad2=4，

∴4-2m+am=4，即（a-2）m=0，

∵有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，∴a=2.

【解后反思】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，絕對(duì)值的代數(shù)意義以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì).熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）