袁宏觀

2015年鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)壓軸題賞析

袁宏觀

數(shù)學(xué)壓軸題是為考查考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計的，集中體現(xiàn)知識的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題.中考壓軸題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點與數(shù)即坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答.解題的關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法.

一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想.以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組求其解析式，研究其性質(zhì).

二是運(yùn)用分類討論的思想.對問題的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行探究.

三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.由已知向未知，由復(fù)雜向簡單的轉(zhuǎn)換.中考壓軸題是對考生綜合能力的一個全面考查，所涉及的知識面廣，思想方法也較全面.因此，可把壓軸題分離為相對獨立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究.

原題呈現(xiàn)如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（0，3），且當(dāng)x=1時，y有最小值2.

（1）求a，b，c的值；

（2）設(shè)二次函數(shù)y= k（2x+2）-（ax2+bx+c）（k為實數(shù)），它的圖像的頂點為D.

①當(dāng)k=1時，求二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax2+ bx+c）的圖像與x軸的交點坐標(biāo)；

②請在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=k（2x+ 2）-（ax2+bx+c）的圖像上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關(guān)于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標(biāo)（點M在點N的上方）；

圖1　

④當(dāng)k取-2，-1，0，1，2時，通過計算，得到對應(yīng)的拋物線y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）的頂點分別為（-1，-6），（0，-5），（1，-2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標(biāo)是變量嗎？縱坐標(biāo)是如何隨橫坐標(biāo)的變化而變化的？

【分析】本題是一道以二次函數(shù)為背景的題目，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識.

（1）設(shè)函數(shù)解析式為頂點式，把（0，3）代入求得a，然后再把a(bǔ)的值代入化為一般式，即得a、b、c的值；

（2）①當(dāng)k=1時，可得函數(shù)解析式為y= -x2+4x-1，令y=0時，求出x的值，可寫出與x軸的交點坐標(biāo)；②由于點M、N關(guān)于x軸對稱，則點M和點N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即ax2+ bx+c+［k（2x+2）-（ax2+bx+c）］=0，解得x= -1，代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c與y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）中，即可求出點M，N的坐標(biāo)；③易得一次函數(shù)解析式為y=-可得此直線與x軸交點A（7，0），根據(jù)已知可得AE=8，MN=10，設(shè)MD交x軸于點B，作BC⊥MA于點C，利用三角形相似或銳角三角函數(shù)的定義列出等式，求得BC=3，將點B的坐標(biāo)代入MB的解析式，即可求出k的值；④通過觀察頂點坐標(biāo)的變化可得：當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)大于-1時，頂點的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)小于-1時，頂點的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小.

解：（1）設(shè)y=a（x-1）2+2，將（0，3）代入，得a=1，則y=（x-1）2+2，

即y=x2-2x+3，∴a=1，b=-2，c=3.

（2）①當(dāng)k=1時，y=k（2x+2）-（ax2+bx+ c）=2x+2-x2+2x-3=-x2+4x-1.令y=0，-x2+ 4x-1=0，解得x=2±即圖像與x軸交點坐標(biāo)為

②∵點M、N關(guān)于x軸對稱，則點M和點N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即ax2+bx+c+［k（2x+ 2）-（ax2+bx+c）］=0，2k（x+1）=0，不論k取何值方程都有解，∴x=-1，y=ax2+bx+c=x2-2x+ 3=1+2+3=6，點M的坐標(biāo)為（-1，6），∴點N的坐標(biāo)為（-1，-6）.

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴E點的橫坐標(biāo)為-1，∴AE=8.

又∵M(jìn)E=6，∴MA=10.

如圖2，設(shè)MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C.

圖2　

∵M(jìn)D平分∠NMP，MN⊥x軸，

∴直線MB的函數(shù)表達(dá)式：y=-2x+4，

y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）頂點坐標(biāo)為D（k+1，k2+4k-2），將其代入y=-2x+4，得

④是.當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)大于-1時，頂點的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)小于-1時，頂點的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）