☉西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)　蔣亞軍

例談幾類解題方法的妙用

☉西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)蔣亞軍

高中三年的數(shù)學(xué)知識多而且雜，解題方法往往要綜合和靈活運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、構(gòu)造法、分離參數(shù)法等各種數(shù)學(xué)思想方法.雖然某些題有一定的解題模式和套路，但又極具靈活性和綜合性，不少題目用常規(guī)思路和方法求解，要么過程繁難，要么運(yùn)算復(fù)雜，學(xué)生只好“望題興嘆”，因此對不少考生來說，真是“愛恨交加”.筆者結(jié)合多年的高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)，談?wù)剮追N解題方法的運(yùn)用，不當(dāng)之處，敬請指正.

一、巧用主元法解題

數(shù)學(xué)中解答多元問題時，如果把它們不分主次來研究，問題很難解決，所謂“主元”方法就是在一個多元數(shù)學(xué)問題中以其中一個為“主元”，將問題轉(zhuǎn)化為一元的函數(shù)問題，使得在求解最值問題中降低思維難度.

例1已知函數(shù)f（x）=3x+a與函數(shù)g（x）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點(diǎn)，則的最小值為_____.（江蘇省泰州市2014屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷14）

分析：本題的目標(biāo)函數(shù)有三個變量，這對學(xué)生思維增加了很大的難度，若觀察出變量a的最高次數(shù)為2，則可將a看成主元將式子變形為二次函數(shù)去求解，于是可以收到“避虛就實、變繁成簡，化難為易”的解題效果.

則可得b-c

以上利用主元策略解決了一類“多元”函數(shù)最值問題.當(dāng)我們遇到多元問題時，面對諸多元素，主元策略往往給我們一個頭緒，一條主線，化多元問題為一元問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.從上述例題中不難看出“主元法”是解題的一種重要的思考方法，我們?nèi)缒莒`活地運(yùn)用它，就可巧辟捷徑，順利找到合理的解題途徑.利用這種思維策略，對于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高研究問題和解決問題的能力大有裨益.

二、利用辯證法解題

很多學(xué)生在解有關(guān)函數(shù)問題中常出錯的原因主要是不善于運(yùn)用數(shù)學(xué)中的矛盾轉(zhuǎn)化.善于解決數(shù)學(xué)問題，就是善于運(yùn)用數(shù)學(xué)中的矛盾轉(zhuǎn)化.在解函數(shù)問題的中，如果學(xué)生能善于用辯證的思維將矛盾轉(zhuǎn)化，并能夠舉一反三，往往可以很快捷地解決問題.

1.整體與局部的轉(zhuǎn)化

整體與局部是對立統(tǒng)一的.解題有時從整體考慮可以使我們擺脫對獨(dú)立的局部細(xì)節(jié)的糾纏，使眼界開闊；而有時從局部入手，各個擊破，從而使得整體解決.

例2求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最值.

分析：由于（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，所以可以把sinx+cosx當(dāng)作一個整體進(jìn)行換元.令t=sinx+cosx，則1，則容易求出最大值為，最小值為-1.

2.具體與抽象的轉(zhuǎn)化

數(shù)是形的高度抽象，而形是數(shù)的具體、形象的表達(dá).數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化本質(zhì)上就是具體與抽象之間的轉(zhuǎn)化.華羅庚先生也曾指出“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分揭示了兩者之間相輔相成、相得益彰的辯證關(guān)系.

例3對關(guān)于x的兩個函數(shù)y1=|x-1|和y2=ax（a≠0），若不等式y(tǒng)1≤y2的解集為閉區(qū)間［m，n］，其中m

分析：對于此絕對值不等式，常規(guī)方法是去絕對值，按x≥1和x<1討論，在每一類中解不等式時又要對a進(jìn)行討論，過程極其復(fù)雜.

利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，即具體與抽象之間的轉(zhuǎn)化，由數(shù)形結(jié)合思想分別作出函數(shù)y=|x-1|和y=ax（a≠0）的圖像，如圖.

由圖像可知，解集為閉區(qū)間［m，n］，當(dāng)且僅當(dāng)0

因此，實數(shù)a的取值范圍為0

3.已知與未知的轉(zhuǎn)化

已知與未知是相對而言的，解題時可以根據(jù)需要把已知當(dāng)作未知，也可以把未知當(dāng)作已知.

例4設(shè)a∈R，求關(guān)于x的函數(shù)y=（a2+1）x2+ax-1的零點(diǎn)最大值和最小值.

分析：函數(shù)y=（a2+1）x2+ax-1的零點(diǎn)就是一元二次方程（a2+1）x2+ax-1=0的根，此題的常規(guī)方法就是用求根公式求出方程的根，然后求最大值和最小值.這種方法看似可行，但實際操作起來很困難.

從辯證的方法考慮，改變思維方向.我們不妨把a(bǔ)視為未知量，x視為已知量，則原方程可以整理為關(guān)于a的一元二次方程x2a2+xa+（x2-1）=0.顯然x≠0（否則得出-1= 0，矛盾），由a∈R知，Δ=x2-4x2（x2-1）≥0，解得.因此，原方程的最大實根為，最小實根

4.相等與不等的轉(zhuǎn)化

相等與不等是客觀世界的一對矛盾，也是數(shù)學(xué)中的兩個重要關(guān)系.在解題時，相等的問題可以通過不等關(guān)系求解，不等的問題也可以轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系求解.

例5已知滿足函數(shù)y=x2+bx+c的函數(shù)值為正的x的集合為｝，求函數(shù)y=x2+bx+c的函數(shù)值為負(fù)的x的集合.

分析：此題直接求解很困難，我們可以考慮相等與不等之間的轉(zhuǎn)化.從辯證的方法考慮，通過分析問題的整體結(jié)構(gòu)，由條件可知，-2和-是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩個根，則由韋達(dá)定理可知，進(jìn)而易求得所求函數(shù)y=x2+bx+c的函數(shù)值為負(fù)的x的集合為

通過對解決函數(shù)問題中體現(xiàn)出來的辯證法思想的系統(tǒng)歸納和總結(jié)，能夠使學(xué)生從中學(xué)會用聯(lián)系的、運(yùn)動變化和發(fā)展的觀點(diǎn)觀察和思考問題.與此同時，由于對辯證法這種科學(xué)的思想方法的了解和掌握，又可以反過來指導(dǎo)學(xué)生的思想和行動，從而也相應(yīng)地提高了他們正確地分析函數(shù)問題和解決函數(shù)問題的能力.

三、巧用放縮法解題

函數(shù)壓軸題是一個熱點(diǎn)，其中一類常見函數(shù)問題是證明函數(shù)不等式或者根據(jù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的范圍.這類問題綜合性強(qiáng)，思維量大，能力要求高，大部分學(xué)生在碰到這類問題時感覺困難，無從下手.而“放縮法”是解決這類問題的有效手段，但在放縮過程中，又會常常出現(xiàn)思維受阻的現(xiàn)象，此時我們不僅需要熟悉一些常見的函數(shù)不等式，而且還要掌握一些常見的基本放縮方法，明確放縮點(diǎn).

1.直接放縮法

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

（2）是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由.

解：（1）略；

所以當(dāng)a≤0時，關(guān)于x的不等式（fx）≥a的解集為（0，+∞）.

②當(dāng)a>0時，下面先證明不等式：當(dāng)x≥4時，lnx<

綜合①②知，存在a，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥a的解集是（0，+∞），且a的取值范圍是（-∞，0］.

點(diǎn)評：一般先分析函數(shù)的特點(diǎn)，看是否具有某些明顯的性質(zhì).這里先通過觀察發(fā)現(xiàn)，可對函數(shù)變形說明f（x）>0恒成立，然后只要再舉例說明對任意大于零的數(shù)a，存在x∈（0，+∞）使得f（x）-1）和對函數(shù)f（x）進(jìn)行了放縮.這兩個不等式中前一個不等式是我們所熟悉的，后一個不等式根據(jù)我們方便求解的需要可以通過聯(lián)想指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的增長快慢想到.這里我們可通過直接對函數(shù)放縮進(jìn)行求解，不妨稱之為直接放縮法.

2.先求導(dǎo)后放縮法

例7設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：（1）略.

（2）f′（x）=ex-1-2ax，由（1）知，ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.所以f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而當(dāng)1-2a≥ 0，即a≤時，f′（x）≥0（x≥0），又f（0）=0，所以當(dāng)x≥0時，f（x）≥0.

由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0），從而當(dāng)時，f′（x）

點(diǎn)評：對比較復(fù)雜的含有指數(shù)，對數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)不能觀察出某些明顯性質(zhì)時，可先嘗試求導(dǎo)再觀察.這里對f（x）求導(dǎo)后，利用不等式ex≥1+x對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行放縮，得到使f（x）≥0成立的一個必要條件，然后再利用不等式e-x>1-x（x≠0）對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行放縮說明當(dāng)a>時，f（x）≥0不恒成立，從而求出a的取值范圍，這里采取的方法是先對函數(shù)求導(dǎo)再對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行放縮求解，不妨稱之為先求導(dǎo)后放縮方法.

3.先放縮后求導(dǎo)法

碰到證明函數(shù)不等式或求函數(shù)中的參數(shù)取值范圍時我們往往會采取先求導(dǎo)后放縮得的方法來處理，但有時候我們反過來采取先對函數(shù)進(jìn)行放縮再來求導(dǎo)會事半功倍.

（1）求a，b的值；

證明：（1）易得a=0，b=-1.

所以g（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增.

點(diǎn)評：對比較復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)任很復(fù)雜不好處理時可以回過頭來再仔細(xì)觀察能不能先對函數(shù)進(jìn)行化簡或放縮.這里如果直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)既含有無理式又含有分式比較復(fù)雜，所以想到先用不等式把根式去掉，把f（x）放大：f（x）=ln（x+1）+，再把問題轉(zhuǎn)化為證明ln（x+1）+成立，這樣使問題迎刃而解.這里用到的方法是先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明，非常簡潔，不妨稱之為先放縮后求導(dǎo)法.該問題也可以采取先求導(dǎo)再放縮法，利用ln（x+1）≤x和對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行放縮來判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而證明（在此不再贅述）.

對函數(shù)進(jìn)行放縮是我們求解有關(guān)函數(shù)問題的一種常用方法，在采用放縮法時，我們要用扎實的知識和一定的能力，能根據(jù)問題的特點(diǎn)以及函數(shù)結(jié)構(gòu)，在相關(guān)知識的指導(dǎo)下，找準(zhǔn)放縮點(diǎn)，找到放縮不等式，這樣才能達(dá)到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果.

以上僅僅列舉了三種常見的解題思想，在實際教學(xué)實踐中遠(yuǎn)不止這些，只要我們肯觀察，常動腦，就會有意想不到的收獲.