☉江蘇省南通第一中學(xué)葛小萍

三角函數(shù)背景下導(dǎo)數(shù)命題賞析

☉江蘇省南通第一中學(xué)葛小萍

以三角函數(shù)為背景綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是近年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，問(wèn)題的求解中除了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算外，還要充分結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算.下面引例說(shuō)明.

解析：有關(guān)比較大小問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理，而導(dǎo)數(shù)又是判斷函數(shù)單調(diào)性的有利工具.因?yàn)闂l件中所要判斷的三個(gè)函數(shù)值均在內(nèi)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性（易判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)），因此進(jìn)一步判斷函數(shù)f（x）=xsinx在）內(nèi)的單調(diào)性即可.求導(dǎo)得f′（x）=sinx+xcosx，當(dāng)x∈f′（x）>0，所以f（x）為增函數(shù).由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)知f（-1）=f（1）

答案A.

評(píng)析：對(duì)于x與sinx的組合函數(shù)，除了本例所述形式外，還有的形式（見(jiàn)后面變式），處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意x與sinx的關(guān)系，如當(dāng)x>0時(shí)，有sinxx等.

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（2）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù).

解析：（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，證明如下：

因?yàn)閒（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），

所以f（x）是偶函數(shù).

（2）當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閒（x）=acosx+xsinx>0恒成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為0.

所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為1.

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閒′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+

由f（x）是偶函數(shù)可知，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為2.

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)a=0時(shí)，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)a<0時(shí)，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個(gè)數(shù)為2.

評(píng)析：本題函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與引例如出一轍.對(duì)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的常規(guī)處理策略是將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求極值最值來(lái)處理.此處若一開(kāi)始就直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，那么對(duì)于當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）=（1-a）sinx+xcosx的x∈內(nèi)的正負(fù)符號(hào)不易判斷，導(dǎo)致解題無(wú)法進(jìn)行.因此在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)切忌直接求導(dǎo)，應(yīng)先根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍，直接來(lái)判斷原函數(shù)的零點(diǎn)情況，即當(dāng)a=0與a>0時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)知識(shí)可直接判斷，當(dāng)a<0時(shí)，無(wú)法直接判斷時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步求解.

（1）求證：f（x）≤0；

g′（x）=cosx-c.

當(dāng)c≤0時(shí)，g（x）=sinx-cx>0恒成立.

當(dāng)c≥1時(shí)，g′（x）=cosx-c<0，此時(shí)g（x）=sinx-cx在）上是減函數(shù)，

g（x）

當(dāng)0

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）>0；

所以g（x）=sinx-cx在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)c≥1時(shí)，g（x）<0.

評(píng)析：第（1）問(wèn)證明f（x）≤0，即函數(shù)的最大值小于等于0，利用導(dǎo)數(shù)即可簡(jiǎn)捷求解.第（2）問(wèn)與引例相比，將的形式體現(xiàn)出來(lái).若令，則g′（x）=，其中分子就是第（1）問(wèn)中的f（x），由（1）知g′（x）<0對(duì)x∈）恒成立，則g（x）在）上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，a的最大值是但是在利用同種方法處理時(shí)，陷入困境.注意到在恒成立，等價(jià)于，因此只需研究函數(shù)y= sinx-bx和y=sinx-ax，的最值情況.由于這兩個(gè)函數(shù)在形式上一致，故可構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)g（x）=sinxcx，c為常數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)法研究新函數(shù)的最值即可.

變式3已知函數(shù)f（x）=sinx-xcosx.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程；

解析：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx.

（1）因?yàn)閒′（π）=0，f（π）=π，所以切線方程為y=π.

則g′（x）=xsinx-x2=x（sinx-x）.

評(píng)析：本題在第（2）問(wèn)求解中，利用了二次求導(dǎo)法，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)不易判斷時(shí)，可將導(dǎo)函數(shù)或其中的一部分視為新的函數(shù)，再次求導(dǎo)來(lái)判斷.對(duì)于第（3）問(wèn)分離出參數(shù)k后，不難發(fā)現(xiàn)它就是變式2第（2）問(wèn)的部分.因此可借助變式2點(diǎn)評(píng)中所述的方法求解.另外如果是客觀題，我們也可以借助函數(shù)的幾何意義，即將f（x）=視為y=sinx圖象上的點(diǎn)（x，sinx）與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合函數(shù)圖像易知當(dāng)點(diǎn)（x，sinx）與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，即在點(diǎn)（0，0）處直線變?yōu)榍芯€，此時(shí)斜率最大且最大值為1；當(dāng)點(diǎn)（x，sinx）為）直線的斜率最小且最小值為，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解.