☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)季漢杰

課例研究漫談——教學(xué)關(guān)注思維層次的啟發(fā)

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)季漢杰

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主陣地，是啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行理解、記憶、反思、運(yùn)用的場(chǎng)所.課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要致力于對(duì)學(xué)生思維的啟發(fā)和培養(yǎng)，將學(xué)生的學(xué)習(xí)從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)探索.”課程標(biāo)準(zhǔn)的想法非常美好，但是可以這么說(shuō)，真正在常態(tài)課教學(xué)中能做到以啟發(fā)思維為主的教學(xué)設(shè)計(jì)少之又少.

大量調(diào)查資料顯示，這一教學(xué)理念實(shí)施非常困難的原因在于：第一，我們教育的現(xiàn)狀是以教師引導(dǎo)下的啟發(fā)式為主的教學(xué)，以高效課堂為主的教學(xué)模式勢(shì)必強(qiáng)調(diào)了灌輸，從而讓自主思維愈來(lái)愈僵化；第二，課程改革和高考改革步調(diào)并不一致，課程改革強(qiáng)調(diào)自主探索、積極建構(gòu)，這一方式耗時(shí)耗力，勢(shì)必延緩教學(xué)進(jìn)度，而高考內(nèi)容和難度卻一再加深，若長(zhǎng)時(shí)探索必定浪費(fèi)時(shí)間，造成應(yīng)試能力的下降.因此，筆者認(rèn)為，可以在不同的課程類型中使用不同的教學(xué)方式，要提高思維層次性，還是要從合理的教學(xué)設(shè)計(jì)入手，螺旋式上升的進(jìn)行.

一、課例設(shè)計(jì)

課例絕對(duì)值不等式應(yīng)用案例設(shè)計(jì).

思維設(shè)計(jì)一：已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=f（x）+f（x-1）.

（1）若不等式f（x）≤2的解集為｛x|-1≤x≤3｝，求實(shí)數(shù)a的值.

思維分析：從絕對(duì)值最簡(jiǎn)捷的相關(guān)不等式出發(fā)，復(fù)習(xí)回顧初中數(shù)學(xué)相關(guān)的簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解決方法，并將不等式與方程進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.這里的思維設(shè)計(jì)屬于第一層次，即基本知識(shí)的回顧和整理.

解析：由f（x）≤2，得|x-a|≤2，解得a-2≤x≤a+2.又不等式f（x）≤2的解集為｛x|-1≤x≤3｝，所以解得a=1.

歸納：|ax+b|≤c，|ax+b|≥c（c≥0）型不等式的解法.

方法一：①若c>0，則|ax+b|≤c等價(jià)于-c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c等價(jià)于ax+b≥c或ax+b≤-c，然后根據(jù)a，b的值解出即可；②若c<0，則|ax+b|≤c的解集為?，|ax+b|≥c的解集為R.

方法二：不等式兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)即可.

思維設(shè)計(jì)二：在（1）的條件下，若對(duì)一切的實(shí)數(shù)x恒有g(shù)（x）≥m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

思維分析：關(guān)注基本問(wèn)題的發(fā)散，教師給出了中學(xué)數(shù)學(xué)恒成立相關(guān)基本問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生思考恒成立問(wèn)題的基本處理方式.當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=|x-1|+|x-2|，若對(duì)一切的實(shí)數(shù)x恒有g(shù)（x）≥m等價(jià)于m≤g（x）min.這里進(jìn)行的思維設(shè)計(jì)屬于第二層次，在思維最直接解決不等式問(wèn)題的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)了絕對(duì)值恒成立的設(shè)計(jì)，對(duì)于該問(wèn)題所具備的思維，即在基本思維儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上螺旋式上升地提高了知識(shí)的運(yùn)用能力.

解法一：當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=|x-1|+|x-2|，于是g（x）=|x-當(dāng)x>2時(shí)，g（x）>1；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，g（x）=1；當(dāng)x<1時(shí)，g（x）>1.綜上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，g（x）min= 1，所以m≤1.

解法二：當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=|x-1|+|x-2|，由|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，當(dāng)且僅且當(dāng)（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2時(shí)等號(hào)成立，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，g（x）min=1，所以m≤1.

說(shuō)明：①研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法；②對(duì)于求f（x）=|x-a|+|x-b|或f（x）=|x-a|-|x-b|型的最值問(wèn)題利用絕對(duì)值三角不等式更方便.形如f（x）=|x-a|+|x-b|的函數(shù)只有最小值，形如f（x）=|x-a|-|x-b|的函數(shù)既有最大值又有最小值.這里的解決方式體現(xiàn)了思維設(shè)計(jì)的兩個(gè)方向，第一種方式從分類討論的角度切入，旨在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想；第二種方式更是從數(shù)學(xué)概念、絕對(duì)值本質(zhì)的角度入手思考（即三角不等式的使用），讓問(wèn)題的解答頗有“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué)！

思維設(shè)計(jì)三：在（1）的條件下，對(duì)任意實(shí)數(shù)b（b≠0）和c，不等式|b|g（x）≤|b+c|+|b-c|恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

思維分析：?jiǎn)⒌蠈W(xué)生思維，教師在問(wèn)題設(shè)計(jì)的時(shí)候需要關(guān)注一些數(shù)學(xué)小技巧的處理，此處將恒成立問(wèn)題進(jìn)行了深化，將參變分離的思想引入進(jìn)來(lái)，在思維設(shè)計(jì)二的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高了不等式恒成立問(wèn)題解決的思維層次性，實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)的層層遞進(jìn)和思維的循序漸進(jìn).當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=|x-1|+|x-2|，不等式等價(jià)于g（x）≤恒成立，即，即|x-1|+in.因?yàn)閨b+c|+|b-c|≥|（b+c）+（b-c）|=2|b|，當(dāng)且僅當(dāng)（b+c）（bc）≥0時(shí)等號(hào)成立，所以|x-1|+|x-2|≤

解法二：如圖1，設(shè)數(shù)軸上與1，2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，則不等式的解就是數(shù)軸上到A、B兩點(diǎn)的距離之和小于等于2的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).顯然，區(qū)間［1，2］滿足不等式的解集.把A向左移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)A1，此時(shí)|A1A|＋|A1B|＝0.5＋1.5＝2.把點(diǎn)B向右移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)B1，此時(shí)|B1A|＋|B1B|＝2，故原不等式的解集為

圖1　

解法三：如圖2所示，利用數(shù)形結(jié)合思想即可.

圖2　

說(shuō)明：形如|x-a|+|x-b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三種解法：①分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為（（-∞，a］，（a，b］，（b，+∞），此處設(shè)a0）的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1=a和x2=b的距離之和大于c的全體，|x-a|+|x-b|≥|（x-a）-（x-b）|=|a-b|.③圖像法：作出函數(shù)y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的圖像，結(jié)合圖像求解.

二、設(shè)計(jì)反思

回顧上述教學(xué)設(shè)計(jì)，我們看到了教師在引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思維方面做出的三個(gè)不同思維設(shè)計(jì)，這樣的設(shè)計(jì)符合了層次性原則：

（1）思維設(shè)計(jì)一是教師教學(xué)必須做的基本思維啟發(fā)，這種啟發(fā)更多的是依賴于知識(shí)的回顧，暗示本課所要達(dá)到的方向，這種設(shè)計(jì)盡管較為平淡，也是數(shù)學(xué)教學(xué)最無(wú)可厚非的形式化展示.

（2）思維設(shè)計(jì)二是結(jié)合恒成立進(jìn)行的問(wèn)題的處理，我們知道恒成立問(wèn)題對(duì)于初學(xué)者而言往往是思維混淆的，這里筆者常常借助于一個(gè)形象的年齡比喻：將班級(jí)某學(xué)生甲和某幼兒園所有學(xué)生的年齡比大小，我們只要找到甲比該幼兒園中年齡最大的幼兒大即可，即大于最大值；將班級(jí)某學(xué)生甲和某大學(xué)所有學(xué)生的年齡比大小，我們只要找到甲比該大學(xué)中年齡最小的大學(xué)生小即可，即小于最小值.筆者認(rèn)為，這種思維的形象化啟發(fā)是有助于利用非形式化手段闡述形式化的數(shù)學(xué)過(guò)程和結(jié)論的，即在學(xué)生抽象理解的層面上做到了非常獨(dú)到的思維啟發(fā).

（3）思維設(shè)計(jì)三是恒成立問(wèn)題的進(jìn)一步處理，這里筆者想要做的是進(jìn)一步的思考啟發(fā)，即恒成立問(wèn)題在混亂狀態(tài)下的清晰分離.從處理方式來(lái)說(shuō)，參變分離是首選的方法，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為上述年齡問(wèn)題的理論，這是最好的解決狀態(tài).另外，考慮到絕對(duì)值不等式相關(guān)的問(wèn)題還有更為簡(jiǎn)捷的距離本質(zhì)（幾何意義），教師也從這一角度進(jìn)行了多解性的思考和引導(dǎo)，進(jìn)一步加深了學(xué)生在知識(shí)多角度上的思維啟發(fā)，可以這么說(shuō)教師在該節(jié)的設(shè)計(jì)處在了層層遞進(jìn)的思維上，是較好的思想型課堂.

任何教學(xué)設(shè)計(jì)都存在著一定不足性，筆者課后反思了本課注重思維啟發(fā)的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，產(chǎn)生了一些可以繼續(xù)優(yōu)化的教學(xué)環(huán)節(jié)：首先，課堂引入環(huán)節(jié)的思維設(shè)計(jì)顯得與后續(xù)知識(shí)銜接性不足，在指向性上存在著不足，若教師能將后續(xù)知識(shí)在這里進(jìn)行基本環(huán)節(jié)的鋪墊，能更好地體現(xiàn)思維設(shè)計(jì)一的重要性；其次，絕對(duì)值不等式相關(guān)的問(wèn)題類型比較多，這里對(duì)于兩種思想方法，即分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想引入較為到位，但是恒成立問(wèn)題的設(shè)計(jì)顯得有些單一，若能更為開(kāi)放地選擇一些試題，那么既在問(wèn)題的多樣性上有了實(shí)踐探索，又在思維上做到了一定的啟發(fā)，這樣的思維設(shè)計(jì)顯得更為豐滿一些.

總之，現(xiàn)階段教學(xué)不能總是以解題重復(fù)訓(xùn)練為主基調(diào)，更要從思維訓(xùn)練的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，只有關(guān)注思維的培養(yǎng)才能將學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力進(jìn)行提升，否則，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生而言永遠(yuǎn)是一種重復(fù)的機(jī)械訓(xùn)練，不利于其思維能力的培養(yǎng).因此，課堂教學(xué)中教師多多關(guān)注思維層次性的教學(xué)是提高自身課堂教學(xué)水平和學(xué)生學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.

1.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)具備的幾種意識(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（2）.

2.冷少華.淺談學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)及其培養(yǎng)［J］.教育探索，2013（6）.