☉重慶市育才中學(xué)校黨忠良王歷權(quán)

中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)宜著眼于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)*——以《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)實(shí)踐為例

☉重慶市育才中學(xué)校黨忠良王歷權(quán)

作為數(shù)學(xué)體系中非常重要的一種數(shù)學(xué)思想方法，“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)歷來(lái)為每一位高中數(shù)學(xué)教師所重視.

在教學(xué)實(shí)踐中，基于啟發(fā)式的講授法教學(xué)設(shè)計(jì)是一種比較常見(jiàn)的設(shè)計(jì)，其立足于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的情景模擬，通過(guò)類比來(lái)定義數(shù)學(xué)歸歸納法，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)相關(guān)的命題.因此課堂教學(xué)中更多地呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的教師講解、示范，學(xué)生的模仿、練習(xí)、鞏固等.

但通過(guò)調(diào)研，我們注意到一種特別的普遍現(xiàn)象：很多學(xué)生會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)相關(guān)的命題，但其實(shí)他們并不明白為什么可以那樣證明，也就是說(shuō)，學(xué)生并沒(méi)真正理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

為此，我們?cè)囼?yàn)從促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的角度，以?shī)W蘇貝爾有意義的接受性學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，仍然以啟發(fā)式教學(xué)為主要授課形式，對(duì)常見(jiàn)的講授法教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行改造，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、搭建腳手架進(jìn)行鋪墊，構(gòu)建最近發(fā)展區(qū)，組織學(xué)生層層探索，通過(guò)對(duì)一些問(wèn)題的探究、解決、反思，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系來(lái)完成邏輯結(jié)構(gòu)上的對(duì)接［1］.

我們通過(guò)對(duì)這種教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整、重組，由同一位有過(guò)5年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的青年教師在同層次的平行班級(jí)上課作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，取得迥異的教學(xué)效果.

一、基于啟發(fā)式教學(xué)理念的講授法教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)情況概述

教師首先通過(guò)多媒體展示生活中的不完全歸納的實(shí)例，定義歸納法（由一系列有限的特殊事例得出一般等式1，請(qǐng)猜想破損處“□”可能是什么數(shù)學(xué)字母（或表達(dá)式），并證明.

【引導(dǎo)學(xué)生分析】可分別令n等于1，2計(jì)算發(fā)現(xiàn)破損處□也依次為1，2，從而可猜測(cè)破損處□可能是n.但這種猜測(cè)只是由n=1，2計(jì)算猜測(cè)得到的，其是否對(duì)任意n∈N*成立，需要證明.

然而n有無(wú)數(shù)個(gè)取值可能，我們無(wú)法對(duì)其一一驗(yàn)算，因此需要找到一個(gè)簡(jiǎn)潔的證明方式.

回到生活中尋找靈感或啟示，帶領(lǐng)學(xué)生觀看“多米諾骨牌游戲”視頻，分析骨牌向同一方向一一倒下，需要保障的條件，從而將其類比至如前面所述的涉及無(wú)限正整數(shù)的數(shù)學(xué)命題的證明.

【教師引導(dǎo)】類比骨牌倒下的原理，你能給出證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題p（n）的一般方法嗎？

一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題“得證”能和骨牌“全部倒下”類比嗎？（此時(shí)教師展示幻燈片，請(qǐng)學(xué)生通過(guò)類比，完成下表中右半部分）結(jié)論的推理方法），并簡(jiǎn)略分析不完全歸納法得到結(jié)論的準(zhǔn)確性不確定，需要證明.

【組織學(xué)生探究】在一本破損的教材封面上發(fā)現(xiàn)一個(gè)

骨牌全部倒下命題p（n）對(duì)正整數(shù)都成立（1）推倒第一塊骨牌；（2）假設(shè)第n=k塊骨牌倒下，則能推倒第n=k+1塊骨牌.（1）驗(yàn)證n的初始值；（2）假設(shè)n=k時(shí)命題p（k）成立；證明n=k+1時(shí)命題p（k+1）成立由（1）（2）知，骨牌將全部倒下由（1）（2）知命題p（n）對(duì)正整數(shù)n成立

教師連續(xù)抽問(wèn)多位同學(xué)進(jìn)行類比并填表，但少有能準(zhǔn)確表達(dá)意思的.這種情況下，教師自己邊引導(dǎo)邊一一完成類比，類比過(guò)程中，教師作了非常詳盡細(xì)致的對(duì)應(yīng)解釋，并給出數(shù)學(xué)歸納法的定義：

數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題p（n）常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.

【教師解讀】其中數(shù)學(xué)歸納法的步驟一是歸納奠基，步驟二是歸納遞推，這兩個(gè)關(guān)鍵步驟缺一不可.以初始值n0=1為例，由上面的證明思路可知：p（1）真?p（2）真?p（3）真…?p（k）真?p（k+1）真?…?命題對(duì)所有正整數(shù)均成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

（1）證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；

（3）由（1）、（2）可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確.

至此，教師繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生一起完成下面的問(wèn)題（打出幻燈片）

【學(xué)生探究】：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+2n= 2n2+n對(duì)任意的正整數(shù)n都成立.

5分鐘后，我們觀察課堂發(fā)現(xiàn)的情況：少部分同學(xué)直接用等差數(shù)列求和公式求等式左邊，得到等式成立；一部分同學(xué)按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，但基本上都在假設(shè)n=k等式1+2+3+…+2k=2k2+k成立后，證明n=k+1時(shí)等式是否成立時(shí)，直接代n=k+1到1+2+3+…+2n=2n2+n的左右兩邊，然后下結(jié)論得等式成立；還有一部分同學(xué)不知如何下手使用數(shù)學(xué)歸納法，其中少數(shù)同學(xué)在逐一取n=1、2、3…驗(yàn)證等式成立.

5分鐘后，根據(jù)學(xué)生的探究情況，教師引導(dǎo)學(xué)生一起用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式，并一再?gòu)?qiáng)調(diào)前兩個(gè)證明步驟，尤其重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了其中的第二步n=k+1時(shí)的證明必須使用假設(shè)n=k時(shí)候的結(jié)論，教師板書正確的證明過(guò)程.

5分鐘后，我們觀察課堂，驚訝地發(fā)現(xiàn)：絕大多數(shù)的學(xué)生都能正確使用數(shù)學(xué)歸納法完整地證明此等式！

課堂后續(xù)的教學(xué)進(jìn)入常規(guī)的操作鞏固階段：

（其余內(nèi)容略）

二、疑惑與分析

該教師使用基于啟發(fā)式教學(xué)理念的講授法教學(xué)設(shè)計(jì)在幾個(gè)同層次班級(jí)連續(xù)試講了幾次，該教學(xué)設(shè)計(jì)在利用多米諾骨牌游戲類比引入數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，花費(fèi)了大量精力，并對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟做了詳細(xì)的分析，教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的概念、步驟分析得不可謂不透徹.

然而在學(xué)生首次具體實(shí)踐“用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+ 3+…+2n=2n2+n對(duì)任意的正整數(shù)n都成立”時(shí)，每個(gè)班的學(xué)生都暴露出高度相似的問(wèn)題，絕大多數(shù)都不會(huì)準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)歸納法證明該問(wèn)題.

而在教師詳細(xì)給出問(wèn)題的證明過(guò)程及具體的步驟解釋后，幾乎全部班級(jí)的學(xué)生又都能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)歸納法證明第二個(gè)具體問(wèn)題“（n∈N*）”.此后的鞏固練習(xí)中，絕大部分的同學(xué)都能順利使用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)命題.

困惑的是，在教師與學(xué)生一起從多米諾骨牌游戲類比引入數(shù)學(xué)歸納法作了詳盡細(xì)致的研究后，也一起順利給出了數(shù)學(xué)歸納法的定義及證明步驟后，為什么絕大多數(shù)學(xué)生不會(huì)使用數(shù)學(xué)歸納法證明第一個(gè)問(wèn)題？而在教師講解了該問(wèn)題后，又為何絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)使用數(shù)學(xué)歸納法證明第二個(gè)問(wèn)題？學(xué)生是真正理解了數(shù)學(xué)歸納法還是在簡(jiǎn)單地機(jī)械模仿？如何檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法真實(shí)的掌握情況？課堂教學(xué)設(shè)計(jì)又該如何作出相應(yīng)的調(diào)整？

回溯數(shù)學(xué)歸納法的起源及其基本思想，分析數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)的心理困難，對(duì)我們?cè)O(shè)計(jì)其課堂教學(xué)，是具有十分重要的指導(dǎo)意義的.

數(shù)學(xué)歸納法的思想萌芽于古希臘時(shí)代，歐幾里得在證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)時(shí)，使用了反證法，通過(guò)反設(shè)“假設(shè)有有限多個(gè)”，使問(wèn)題變成“有限”的命題，其隱含著：若有n個(gè)素?cái)?shù)，就必存在第n+1素?cái)?shù)，從而推出素?cái)?shù)有無(wú)限個(gè).這是一種試圖用有限處理無(wú)限的做法，是人們溝通有限和無(wú)限的最初嘗試.

后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在其1654年寫的著作《論算術(shù)三角形》中，就“帕斯卡三角形”的一些命題證明時(shí)，首次指出證明過(guò)程只需兩個(gè)步驟，其本質(zhì)上講就是現(xiàn)在的數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟.1686年，瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利提出表示任意自然數(shù)的符號(hào)后，給出并使用了現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)歸納法.1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立自然數(shù)的公理體系時(shí)，提出歸納公理，為數(shù)學(xué)歸納法奠定了理論基礎(chǔ)［2］.

菲施拜因等的研究表明［3］，數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)學(xué)生面臨的心理問(wèn)題是：命題p（k）（歸納假設(shè)）在證明過(guò)程中出現(xiàn)了兩次，一是作為被證的命題，一是作為命題成立的假設(shè)條件.理解的難點(diǎn)是：關(guān)鍵的第二步的證明過(guò)程整個(gè)建立在一個(gè)命題p（k）上，而它本身又未被預(yù)先證明，并且在推理過(guò)程中不加以證明.

在此影響下，學(xué)生不能將歸納假設(shè)p（k）看成一個(gè)命題，于是會(huì)產(chǎn)生以下想法：歸納假設(shè)的成立是沒(méi)有保證的；歸納假設(shè)的成立是不能證明的；歸納假設(shè)的根據(jù)是有限的（某種情況下，它可能不成立）.

事實(shí)上，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的掌握需要一個(gè)過(guò)程，尤其第二步的證明更感陌生，不知道如何使用乃至不使用歸納假設(shè).而且，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于同化“數(shù)學(xué)歸納法”無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)還是邏輯知識(shí)都不夠充分，所以他們不易領(lǐng)會(huì)掌握，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的掌握往往停留在“形式”上［4］.

我們前面介紹的課堂觀察無(wú)不暴露出了上述這些問(wèn)題.

因此，我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的設(shè)計(jì)應(yīng)該立足于對(duì)學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解，從幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)入手，努力搭建合適的背景平臺(tái)，讓學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，適應(yīng)、同化數(shù)學(xué)歸納法的原理思想.為此，我們對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做了調(diào)整，并對(duì)不同設(shè)計(jì)教學(xué)效果做了最簡(jiǎn)單的檢測(cè)分析.

三、對(duì)原教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)

基于前面課堂觀察中看到的問(wèn)題，我們以?shī)W蘇貝爾有意義的接受性學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，以啟發(fā)式教學(xué)為主要授課形式，重新調(diào)整了教學(xué)設(shè)計(jì)，主要從下面兩個(gè)地方作了調(diào)整：

調(diào)整一：在提出問(wèn)題一“12+22+32+…+n2=請(qǐng)猜想破損處□可能是什么數(shù)學(xué)字母（或表達(dá)式），并證明”時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生猜想破損處□應(yīng)該是n的證明是一個(gè)無(wú)限問(wèn)題的證明，不同于我們常見(jiàn)的有限結(jié)構(gòu)的問(wèn)題證明.啟發(fā)學(xué)生如何突破從“無(wú)限”到“有限”，并提示從生活中尋找靈感，通過(guò)觀看多米諾骨牌游戲視頻，啟發(fā)學(xué)生分析如何構(gòu)造有限的條件保證無(wú)限塊骨牌能一一全部倒下，從而類比至問(wèn)題一的解決可否從中得到借鑒.

但不再始終停留在理論層面進(jìn)行類比并定義出數(shù)學(xué)歸納法.

調(diào)整二：回到問(wèn)題一的處理上，對(duì)12+22+32+…+n2=是否成立，我們鋪墊上幾個(gè)問(wèn)題：

（1）當(dāng)n=1、n=4時(shí)，等式是否成立？

師生共同驗(yàn)證，且12+22+32+42=30，右邊=30，等式成立.

（2）當(dāng)n=5時(shí)，等式是否成立？（驗(yàn)證時(shí)如何計(jì)算？）

（3）假設(shè)已經(jīng)知道n=10時(shí)，等式成立，且左邊=385，問(wèn)n=11時(shí)等式是否成立？如何驗(yàn)算？

（4）假設(shè)已經(jīng)知道n=100時(shí)，等式成立，且左邊= 338350，問(wèn)n=102時(shí)等式是否成立？如何驗(yàn)算？

（5）如果要證明n=200時(shí)等式是否成立，可以先判斷n=？時(shí)成立？

（6）如果要證明n=k+1時(shí)等式是否成立，可以先判斷n=？時(shí)成立？

（7）假設(shè)已經(jīng)知道n=k時(shí)，等式成立，且左邊=A，問(wèn)n=k+1時(shí)等式是否成立？如何驗(yàn)算？

至此，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)前后命題之間存在的“遞推”關(guān)系，且初步領(lǐng)會(huì)到兩點(diǎn)：

一是p（k+1）是否成立，依賴于命題p（k）是否成立.比如，記f（k）=12+22+32+…+k2，則f（k+1）=f（k）+（k+1）2，計(jì)算f（k+1）時(shí)，可以調(diào)用f（k）的計(jì)算結(jié)果.

二是必須確?！皃（k）?p（k+1）”成立.

據(jù)此，師生再一起初步梳理出問(wèn)題一的證明需要以下兩點(diǎn)：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=右邊，等式成立；

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)等式成立，即假設(shè)12+22+32+…成立，

那么n=k+1時(shí)，等式左邊12+22+32+…+k2+（k+1）2=這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

最后，師生一起給出數(shù)學(xué)歸納法的概念，并提煉出證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的等式關(guān)鍵的步驟：

（1）證明當(dāng)n取初始值時(shí)等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k為正整數(shù)且大于等于初始值）時(shí)，等式成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立；

（3）由（1）（2）知等式對(duì)從初始值開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.

在處理問(wèn)題二“用數(shù)學(xué)歸納法證明命題1+2+3+…+ 2n=2n2+n對(duì)任意的正整數(shù)n都成立”時(shí)，我們?nèi)匀辉O(shè)計(jì)讓學(xué)生自己探究.五分鐘過(guò)后，我們?cè)俅卧诮淌已惨暟l(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)同學(xué)都能順利、準(zhǔn)確用數(shù)學(xué)歸納法證明，與調(diào)整前的教學(xué)情況形成了鮮明對(duì)照.

后續(xù)的教學(xué)設(shè)計(jì)與調(diào)整前相同，學(xué)生均能正確使用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)問(wèn)題.

四、效果檢測(cè)

為了對(duì)比研究教學(xué)設(shè)計(jì)調(diào)整前后的效果差異，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)小調(diào)查，試題與問(wèn)卷數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄.

從問(wèn)卷調(diào)查的情況來(lái)看，特別是由其中第4、5、6題的回答來(lái)看，教學(xué)設(shè)計(jì)調(diào)整后的班級(jí)學(xué)生正確率遠(yuǎn)高于其他使用初稿教學(xué)設(shè)計(jì)的班級(jí).而我們認(rèn)為，4—6題是特地選擇構(gòu)造的數(shù)學(xué)歸納法的變式形態(tài)的使用，學(xué)生們?nèi)缥茨苷嬲斫鈹?shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，那他對(duì)這3道試題的回答判斷將面臨很大的困難.客觀上看，我們認(rèn)為調(diào)整后的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)比調(diào)整前是有效的，特別是調(diào)整二中的幾個(gè)鋪墊問(wèn)題，更有效地幫助了學(xué)生加大對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)理解，對(duì)比其他對(duì)比班級(jí)，其效果也明顯要好些.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘在創(chuàng)造’過(guò)程”.并明確提出“理解”“體驗(yàn)”“探究”等所界定的過(guò)程性目標(biāo).

因此，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)考慮的目標(biāo).按照認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論，學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念、定理、公式或法則，如能在心理上組織起適當(dāng)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，并能比較方便地激活、提取、利用，才說(shuō)明達(dá)到理解的層面［5］.

基于以上理解，我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整，不再拘泥于通過(guò)對(duì)多米諾骨牌游戲的簡(jiǎn)單類比來(lái)獲得數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，只是通過(guò)它給予我們解決含正整數(shù)數(shù)學(xué)命題證明的無(wú)限性提供啟發(fā)點(diǎn).反之，回到數(shù)學(xué)歸納法的起源點(diǎn)，從算法上設(shè)計(jì)鋪墊性的計(jì)算，通過(guò)學(xué)生的計(jì)算、體驗(yàn)、感悟命題p（k+1）是否成立與命題p（k）之間的內(nèi)在邏輯，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)理解.而我們對(duì)調(diào)整后的課堂觀察及學(xué)習(xí)小調(diào)查，尤其是小調(diào)查中第4、5、6題的反饋結(jié)果，告知我們，從促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的角度設(shè)計(jì)好教學(xué)，才是好的教學(xué)！

1.張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國(guó)道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.

2.邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

3.菲施拜因，等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.載張奠宙主編.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引［M］.南京：江蘇教育出版社，1994.

4.邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

5.李俊.基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（3）.

6.王歷權(quán)，黨忠良，郭曉俊.也談“RMI原理”與仿射變換下有關(guān)圓與橢圓的若干問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

7.王歷權(quán)，黨忠良.也談?wù)剺O值點(diǎn)偏移問(wèn)題［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（4）.

附錄：

為了掌握同學(xué)們的學(xué)習(xí)狀況，特作課后小問(wèn)卷，以下各問(wèn)題均為單項(xiàng)選擇，請(qǐng)根據(jù)自己的真實(shí)情況如實(shí)填寫，不要猜測(cè)答案.謝謝！

1.高二期間，你的數(shù)學(xué)成績(jī)一般在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)（）

A.多數(shù)時(shí)候在120分以上

B.多數(shù)時(shí)候在90與119分之間

C.多數(shù)時(shí)候在89分及以下

2.數(shù)學(xué)歸納法第一次課后你的整體感覺(jué)（）

A.理解了數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，基本會(huì)作題

B.沒(méi)有理解數(shù)學(xué)歸納法的原理但能模仿格式證明

C.根本沒(méi)理解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，也不會(huì)證明問(wèn)題

3.真正理解數(shù)學(xué)歸納法原理是在第一次課后的多長(zhǎng)時(shí)間（）

A.當(dāng)堂課就基本理解了

B.練習(xí)題目后兩三天才基本理解

C.至今尚未完全理解

4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，已知若n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，可推得n=k+1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)命題不成立，那么可以推得（）

學(xué)習(xí)小調(diào)查班級(jí)：高二（）班

A.當(dāng)n=4時(shí)命題不成立

B.當(dāng)n=6時(shí)命題成立

C.當(dāng)n=6時(shí)命題不成立

5.下面是某同學(xué)學(xué)習(xí)歸納法后提出的一種證明命題的方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀其關(guān)鍵步驟，你認(rèn)為這種方法得出的結(jié)論正確嗎？__________

A.正確B.不正確

C.不清楚該證明是否正確

6.有同學(xué)證明命題P（n）（n∈N*，n≥n0）成立，他用如下方式證明，你認(rèn)為是否正確？_______

A.正確

B.不正確

C.不清楚不清楚該證明是否正確

【小調(diào)查問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)】：（以重慶育才中學(xué)高二年級(jí)三個(gè)平行班級(jí)為實(shí)驗(yàn)班級(jí)）

*本文系重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度重點(diǎn)課題——“基于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念及思想方法的教學(xué)實(shí)踐與評(píng)價(jià)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2014-00-021）階段性成果.