☉浙江省寧波市第二中學顧文露

循循善誘，魚漁皆得———“同角三角函數的基本關系”的課堂實錄與思考

☉浙江省寧波市第二中學顧文露

一、背景介紹

聽課，是教育教學的一個重要組成部分，是學習提高的一個重要途徑和載體，是反省教學的一個好平臺.最近筆者有幸參加了寧波市特級教師帶徒活動，聆聽了一堂新授課“同角三角函數的基本關系”.這堂課給人的感覺是循循善誘，魚漁皆得.課堂上，教師教得自然，學生學得愉快.筆者聽后感觸頗多，深受啟發(fā)，現整理成文，與大家分享.

二、課堂實錄及評析

1.開門見山——一石二鳥

師：同學們，今天我跟大家一起學習1.2.2同角三角函數的基本關系，既然是1.2.2，那么肯定與什么內容有關？

生：與1.2.1的內容有關.

師：好！那大家還記得1.2.1的內容是什么嗎？

評析：一方面，通過文字展示本節(jié)課的學習內容，激發(fā)學生的學習興趣；另一方面，通過數字映射本節(jié)課的學習基礎，讓學生感悟數學是自然的.

2.復習回顧——指明方向

生：1.2.1的內容是任意角的三角函數.

師：怎么定義任意角的三角函數？

生：從“數”的角度：設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=

從“形”的角度：角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線，角α的終邊（或其反向延長線）交切線于點T，則sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，MP、OM、AT為有向線段.

師：很棒！從“數”與“形”的角度準確復述了定義.概念清晰，題目自然不在話下，請看典型問題：已知角α的終邊經過點P0（3，4），求角α的正弦、余弦、正切.

師：從“數”的角度快速得到了答案，還有不同方法嗎？

生：過P0作P0M0⊥x軸，利用△OPM～△OTA～△OP0M0即可得到.

評析：通過對任意角的三角函數的數與形定義的回顧，抓住了概念的核心，通過對典型例題的兩種角度的求解，強化數形結合思想，為學生的后續(xù)研究指明方法和方向.

3.變化問題——直入正題

師：完整嗎？

生：先求點P，再求cosα，tanα.

師：可以不求點P，直接求cosα，tanα嗎？回歸定義，尋找關系.

生：在Rt△OPM中，MP2+OM2=1?sin2α+cos2α=1?又根據定義sinα=y，cosα=x，則

師：從“形”的角度得到了sin2α+cos2α=1，又從“數”的角度得到，這就是同角三角函數的基本關系.我們再看看這位同學的解題格式，準確嗎？

生：不準確！上述答案有四種了，事實上只有兩種，應該要分開來寫.

師：關注細節(jié)，規(guī)范書寫！（教師板演）

評析：通過變換問題，層層遞進，逐步導出同角三角函數的基本關系，重點突出，提高學生分析問題和解決問題的能力.通過板演，規(guī)范書寫，注重實效.

4.理解公式——提煉升華

師：對于公式，我們要關注公式的三個方面：結構、適用范圍、運用.

結構：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.

適用范圍：sin2α+cos2α=1；（α∈R）

運用公式：正、反、變三個角度.

評析：關注公式的三個方面，對應思維上的三個層次：記憶—掌握—應用，為后續(xù)研究新結論指明方法，提升了學生的思維.

5.運用公式——升華思想

（1）正用公式，完善認知.

例1判斷以下說法是否正確：

⑥sin4α+sin2αcos2α+cos2α=1.

評析：通過正誤辨析，去偽存真，進一步熟記公式.關注細節(jié)，培養(yǎng)學生思維的深刻性與縝密性.

（2）反用公式，掌握技巧.

師：觀察很仔細，對公式的正向使用很熟練.下面我們反向觀察，即從右往左看，公式一：sin2α+cos2α=1，發(fā)現“1”可以用“sin2α+cos2α”來表示.這里有個常用技巧“1”的逆代.公式二：t的右邊是一個分式，且sinα與 cosα的次數是一樣的，說明對于關于sinα與cosα的齊次式，可以采用“齊次化切”的方法來求解.

例2已知tanα=2，求值：

①sinα，cosα；

師：學以致用！利用切化弦直接得到方程組，體現了方程的思想.

生：發(fā)現第二問中的前三個式子都是齊次分式，所以可以上下同除cosα或cos2α直接得到關于tanα的表達式.

師：第四個式子怎么辦？

生：先通過“1”的逆代，構造出一個二次齊次分式，然后與前面相同處理分式.

師：借助常用技巧“1”的逆代及齊次化切，成功解決問題，接受得很快.

評析：先通過對公式的分析，教師點撥其常用技巧.借助例題，運用技巧，提高學生的解題能力.

（3）多向變通，發(fā)散思維.

師：成功玩轉了公式，那么能否寫出更多的同角三角函數的關系式呢？

評析：學貴于思，思才有所獲，在學生的最近發(fā)展區(qū)，提出這個問題，意在把有限的課內延伸到無限的課外，引導學生去思考，去探索，從中培養(yǎng)學生學習數學的興趣，也為數學愛好者提供發(fā)展平臺.

6.反思小結——再度升華

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：掌握了同角三角函數的基本關系.

師：這是知識層面的收獲，那方法上有收獲嗎？

生：有“1”的逆代，構造齊次式，切化弦等.

師：以后碰到新的公式知道怎么研究了嗎？

生：可以從正、反、變三個角度加以研究.

師：這是方法層面上的收獲，那數學思想上有收獲嗎？

生：數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想、方程思想.

評析：課堂小結，從知識、方法、思想三個維度依次展開，對課堂教學進行提煉與升華，使學生對所學內容的全貌有一個清晰的認識.

三、課后思考

1.兩點收獲

（1）圍繞目標，體現高效教學的特征.

高效教學是每一位教師的畢生追求，新課程下的高效教學需要一些特征：其一是主動性，教師如何在教學中調動學生學習的積極性，需要用針對性的問題，及時地引導和激勵學生進行主動參與，由此設計一些與學生“最近發(fā)展區(qū)”相切合的有效問題顯得尤為重要；其二是核心性，高效教學必須始終圍繞教學目標實施，這是高效教學的根本，如何圍繞根本設計問題是教師能力的滲透和體現；其三是歸納性，圍繞根本教學展開的高效課堂，需要將教學核心和重點進行歸納達到教學的目的，從而提高學生對知識的產生和發(fā)展過程有清楚的認識和理解，宏觀上有利于學生把握知識的結構和關系，有利于提升學生數學學習的能力.

本節(jié)課始終圍繞三維目標展開教學.在知識與技能上，通過對同角三角函數的基本關系的講解運用，學生能熟練掌握本節(jié)課的重點.在過程與方法上，通過對基本關系的探究與運用，讓學生親歷知識的生成過程，掌握對一般新事物（如恒等式）的探究方法（正、反、變三個層面）.在情感態(tài)度價值觀上，運用標題導入，讓學生充分感受到數學是有用的，數學是自然的，提升學生學習數學的興趣.

（2）精心設計，體現數學課堂的教育特色.

霍姆林斯基說過：“一名好教師意味著什么呢？首先意味著他是這樣的人，他熱愛孩子，感到跟孩子交往是一種樂趣.”一名好的教師不僅僅是看他的業(yè)務能力有多強，更要看他能否營造出一種寬松和諧、相互尊重的教學氛圍，使學生輕松愉快地參與學習

在實際教學過程中，教師通過問題，循循善誘，啟發(fā)學生的思維，引導學生進入知識本質的思考，歸納提升，讓學生魚漁皆得.細細品味本堂課師生間的每次對話，發(fā)現教師對學生的回答評價都很具體，注重評價思維過程，直指問題本質，充滿了濃濃的人文關懷.這些都足以展現了教師深厚的教學功底、精湛的教學藝術及先進的教育理念.

2.兩點值得商榷的環(huán)節(jié)

（1）在變化問題環(huán)節(jié)，執(zhí)教者安排了兩次問題的變化.筆者認為，第一次變化意義不大，而且點P坐標的求得，反而干擾了后面的探究.如果直接從典型問題變化到第二個問題，學生可能會更加容易回歸到圖形，直接發(fā)現勾股定理.這樣可以留出更多的時間供學生自主探究.

（2）在反用公式環(huán)節(jié)，執(zhí)教者先帶領學生觀察公式，總結出常用技巧，然后讓學生根據教師提供的技巧加以求解.雖然學生對例2的求解比較順利，但是學生在這個數學活動中的思維沒有得到提升，充其量是對技巧進行一下操練而已.設想，如果先讓學生求解例2，然后根據學生的解法（可能會與設定的方法有出入），不斷修正，最后讓學生自己提煉出常用方法與技巧，筆者認為這樣更能調動學生的積極性，讓我們的數學課堂更加精彩有效.

1.冒文文.“提煉”誠可貴，“升華”價也高——記一堂賽課“雙曲線及其標準方程”［J］.中學數學（上），2015（6）.

2.王鋒，楊志文.教學相長，點燃智慧之捻——對“導數的應用”一課的點評［J］.中學數學教學參考（上），2015（12）.