☉江蘇省通州高級中學朱小莉

讓學生充分經(jīng)歷知識的形成過程*——談《函數(shù)的單調性》教學設計

☉江蘇省通州高級中學朱小莉

一、教材分析

江蘇省從2005年起實施新課程改革，通過這幾年來的實踐，大部分教師能從最初的不斷地摸著石頭過河的探索者，轉變?yōu)楝F(xiàn)在的能不斷總結經(jīng)驗、不斷提升自我的新課程理念的踐行者.作為好奇心和求知欲極強的青少年，數(shù)學課堂的效果如何主要取決于對數(shù)學概念、公式、定理的理解的深度.當代著名數(shù)學家李邦河院士說：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”由此可見，數(shù)學概念和數(shù)學概念教學的重要性.而概念課的教學一直是新課程實施過程中教學難度最大的一類課型，也是最重要的一類課型.

函數(shù)的單調性是高一學生遇到的一個極其重要的概念，因為函數(shù)的單調性不僅與函數(shù)的最大值、最小值緊密地聯(lián)系在一起，而且與不等式、方程、函數(shù)的導數(shù)等高中數(shù)學的主干知識緊密相關.在初中階段，學生已經(jīng)對函數(shù)值隨著自變量的增大而增大（或減?。┻@一函數(shù)性質有一定了解，但還是基于對函數(shù)圖像的直觀去理解的.而高中階段，對于函數(shù)的這種性質的認識應該從“形”的直觀認識上升到“數(shù)”的抽象認識.強調本質是新課程的基本理念，注意適度的形式化.函數(shù)的單調性的定義是一個以全稱命題給出的形式化的定義，具有一定的抽象性，對剛從初中過渡到高中的學生而言是有一定難度的.如果直接給出概念，學生對于概念的認識是不會深刻的，特別是對單調性概念中的“任意”的理解，即使是重復強調也很難深刻理解.著名教育實踐家和教育理論家蘇霍姆林斯基說：“在人的心理深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”要讓學生從內(nèi)心深處接受函數(shù)的單調性的概念，筆者認為有必要讓學生能經(jīng)歷這個概念的建構的過程.

二、教學目標

1.知識與技能

理解函數(shù)的單調性的定義，能利用函數(shù)圖像直觀判斷函數(shù)的單調性，能用函數(shù)單調性的定義證明具體函數(shù)的單調性.

2.過程與方法

引導學生能從具體問題出發(fā)，自主探索函數(shù)單調性的概念，利用函數(shù)的圖像和單調性定義解決函數(shù)單調性問題，進一步體驗數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

體會函數(shù)單調性概念的建構過程，體會數(shù)學的符號語言，進一步培養(yǎng)學生數(shù)學直覺觀察、探索發(fā)現(xiàn)、科學論證良好的數(shù)學思維品質.

三、教學流程

1.創(chuàng)設情境，引入新課

師：俗話說：好記性不如爛筆頭.真是這樣嗎？

德國心理學家艾賓浩斯根據(jù)的研究數(shù)據(jù)畫出了著名的艾賓浩斯記憶遺忘曲線：

時間間隔記憶保持量剛剛記憶完畢100% 20分鐘之后58.2% 1小時之后44.2% 8-9小時之后35.8%

1天后33.7% 2天后27.8% 6天后25.4%一個月后21.1%……

師：觀察這條曲線，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

生：隨著時間的推移，記憶的保持量是減少的.第一天遺忘的速度最快，一天之后遺忘的速度就變慢了.

設計意圖：由與學生密切相關的事情引入新課，激發(fā)興趣.

師：現(xiàn)實生活中有許多事物時刻都在變化，了解它們的變化規(guī)律，對我們是很有意義的.對于函數(shù)的變化規(guī)律，常常是抓?。寒斪宰兞吭龃髸r，函數(shù)值是隨之如何變化的，這節(jié)課我們就一起來學習“函數(shù)的單調性”.（板書課題）

2.以形思數(shù)，由具體到抽象

師：我們在初中已學過正、反比例函數(shù)，知道函數(shù)的圖像在一定的程度上能夠反映該函數(shù)的基本性質.下面我們從函數(shù)的圖像入手來研究函數(shù)的性質.

請大家觀察第一組函數(shù)的圖像，指出它們的共同點.

圖1　

圖2　

圖3　

生：從左向右看，這三個函數(shù)的圖像都是上升的，x的值越大，y的值也越大.

設計意圖：從圖像直觀感知函數(shù)單調性，對增函數(shù)有一個初步認識.

師：請觀察第二組函數(shù)的圖像，指出它們的共同點.

圖4　

圖5　

圖6　

生：從左向右看，都是下降的，x的值越大y的值越小.

設計意圖：從圖像直觀感知函數(shù)單調性，完成對減函數(shù)的初步認識.

師：我們之前還學習了分段函數(shù)，請再觀察第三組函數(shù)的圖像，指出它們有什么共同的特征及不同之處.

圖7　

圖8　

圖9　

圖10　

圖11　

生：圖7先減后增；圖8在（-∞，0）和（0，+∞）都是下降的；圖9和圖10都是不連續(xù)的，但從左向右看每段是上升的.

生：我認為圖9是“y隨x的增大而增大”，圖10則不是，顯然，x=1時的函數(shù)值比x=2的函數(shù)值大.

師：兩位同學觀察很仔細，也說出了它們的不同之處.

設計意圖：從圖7和圖8直觀感知一個函數(shù)會有增減的變化，圖9和圖10使學生對增函數(shù)定義中的“任意”有一個初步認識.

3.形成概念，交流理解

師：經(jīng)過剛才對這三組函數(shù)圖像的觀察、感悟，同學們對函數(shù)遞增或遞減的宏觀上有一定的認識，如何用數(shù)學語言來描述函數(shù)的這種性質呢？請嘗試給“增函數(shù)”“減函數(shù)”下定義.（學生合作交流）

生：增函數(shù)就是指函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，減函數(shù)則相反.

生：但是圖11好像不合適……（不知如何表達）

師：這兩位的回答都不錯.

師生活動：學生嘗試敘述“增函數(shù)”“減函數(shù)”的定義，教師補充完善.

定義：一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I.

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當時，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù).

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當時，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù).

4.辨析定義，深化認識

師：請同學們按小組討論：在定義中應該抓住哪些語，才能更準確地理解定義？

（各個學習小組經(jīng)熱烈討論后推選代表發(fā)言）

生：我們組認為定義中“給定區(qū)間”是一個的語.

師：你能不能解釋一下？

生：比如函數(shù)f（x）=|x|，如果x1f（x2），則f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，如果x1，x2一個取正數(shù)，一個取負數(shù)，則f（x1）和f（x2）大小不定，則f（x）在（-∞，+∞）上就沒有單調性了.

師：很好.函數(shù)的增減性都是對相應的區(qū)間而言的.“給定的區(qū)間”可以是定義域的子區(qū)間，也可以是整個定義域.因此，在討論函數(shù)的增減性時要指明相應的區(qū)間.

生：我們組認為“任意兩點”較難理解.

生：“任意兩點”就是指不能由兩個特殊值的大小關系來判斷函數(shù)的增減性.

師：很棒！掌聲鼓勵！那你能舉例說明嗎？（讓學生思考片刻）

生：哦，我想到了函數(shù)f（x）=x2+2，如果取兩個特定的值-2<1，顯然f（-2）=4>f（1）=1，由此判定它在（-∞，+∞）是減函數(shù)，那就錯了.

師：回答很好！要判斷函數(shù)f（x）在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義判定.

生：我的疑問是“任意兩點”能不能改為“無數(shù)個點”，這兩者的意思相同嗎？

生（搶著回答）：我畫了個圖（如圖12），圖中有無數(shù)個點呈上升，但這個函數(shù)不是增函數(shù).

師：（用投影展示）你是怎么想到這樣的圖12的？

生：我看過我爸炒股票時，有類似這樣的股票價格變化圖形.

師：嗯，這位同學的見識挺廣的.從圖可以看出，確實有無數(shù)個點滿足y隨著x的增大而增大，但這個函數(shù)并不滿足定義，不是“增函數(shù)”，“任意”可不能改為“無數(shù)”.

師：能將“增函數(shù)”定義中的“當x1>x2時，都有f（x1）> f（x2）”換一種表達方式嗎？

圖12　

生：“當任意x1

生：我由符號法則得到：若（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］>0，則f（x）增函數(shù).若（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］<0，則f（x）減函數(shù).

師：很好！這三種表達方式都是對的，三位同學的理解很深刻.

設計意圖：教會學生如何抓住定義中的語、變式表示來理解概念，以培養(yǎng)學生理解問題、分析問題的能力，也為下面用作差法證明單調性做鋪墊.

5.講練結合，加深理解

例1（1）看圖回答問題，指出函數(shù)的單調區(qū)間.

設計意圖：明確單調區(qū)間的表示，有多個相同單調性的區(qū)間不能用并集表示.

（2）判斷題：

①若f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)且f（x1）>f（x2），那么x1> x2.

②若f（x）在區(qū)間I1上是減函數(shù)，在區(qū)間I2上也是減函數(shù)，則f（x）在I1∪I2上是減函數(shù).

③已知f（x）在實數(shù)集上是減函數(shù)，若a+b≤0，則f（b）≤f（-a）.

設計意圖：進一步加深對單調性的理解.

學生在自學的基礎上先嘗試，組織學生討論、交流，再收集不同層次學生的練習，投影，讓學生先評議.針對學生出現(xiàn)的問題，給予糾正，再分層練習.

師生：證明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1

因為0

所以f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

（結論）

師：引導學生歸納證明函數(shù)單調性的步驟：①設元，②作差變形，③斷號，④結論.

設計意圖：充分展示學生的學習效果，暴露學生的思維，及時糾正，講練結合，規(guī)范書寫，及時鞏固所學知識.

6.拓展延伸，學以致用

師：生活中，不少人都有這樣的經(jīng)驗：在一杯水中，加入一些糖，糖加得越多糖水就越甜.請用數(shù)學知識來解釋這種現(xiàn)象.

太棒了！這是學生由衷的感嘆，因為這種想法是他們在合作探究中獲得的，于是課堂氣氛又熱烈起來了.

設計意圖：讓學生感受到：數(shù)學源于生活，數(shù)學又用于生活.

7.回顧小結

（1）本節(jié)課主要學習了以下內(nèi)容：①函數(shù)的單調性的概念；②利用函數(shù)圖象從直觀上判斷函數(shù)的單調性；③利用函數(shù)的單調性定義證明函數(shù)的單調性.

（2）本節(jié)課所體現(xiàn)出的主要的數(shù)學思想：本節(jié)課從直觀的圖象入手，建構了函數(shù)單調性的定義，又利用定義證明了新的學生所不熟悉的函數(shù)的單調性，經(jīng)歷了從“形”到“數(shù)”，又從“數(shù)”到“形”的過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

四、幾點反思

（1）形式化的數(shù)學概念的教學要把握概念的是如何來的.讓學生從內(nèi)心深處接受概念，就要讓學生經(jīng)歷這個形式化的概念的發(fā)生、發(fā)展的過程，這個過程未必完全是數(shù)學概念本身發(fā)展史的濃縮版，只要設計好的問題、好的鋪墊形式能讓學生體驗到數(shù)學概念的生成是自然的、必要的、有用的就可以了，而不應是教師強加給學生的.而問題被喻為數(shù)學的心臟，當然問題是通向建構概念的捷徑之一，問題的設計要緊扣概念，還要注意利用維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”的基本理論，問題的設計不能脫離學生的應有的認識水平，但也不宜太容易，否則缺少必要的思維強度，數(shù)學味道就會淡了很多，學生的收獲就比較少.

上述課例中引入概念的一些問題組成的問題鏈有利于揭示函數(shù)的單調性的本質，并且環(huán)環(huán)相扣.學生活動的前兩個問題說明了從圖像上幾個點的位置關系不能判定函數(shù)的單調性，即使給出了圖像中無窮個點的位置關系也不能判定函數(shù)的單調性，從而揭示了函數(shù)單調性的形式化定義中最難理解的“任意”二字的緣由.緊接著的問題又是前兩個問題的概括和提煉，再后面的一個問題又是圖形語言的形式化過程.讓這個形式化的概念自然地從同學們的思維中“生長”出來，教師所起的作用是引導，以及悄悄地給予幫助.這樣的一個循序漸進的過程，有利于學生的學習，提高學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括等能力.

但是，并不是說所有的數(shù)學概念都是可以建構的，特別是一些非形式化的概念.例如，數(shù)的發(fā)展史中，最初人們對于虛數(shù)產(chǎn)生懷疑和不接受的態(tài)度，甚至是一些大數(shù)學家也包括在內(nèi)，如萊布尼茲稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物，歐拉盡管用它，但也認為虛數(shù)是虛幻的.到數(shù)學界基本能接受虛數(shù)的概念，再到虛數(shù)體現(xiàn)出其應用價值經(jīng)歷了幾百年的時間.對于虛數(shù)的概念，讓學生在短短的45分鐘時間內(nèi)自我去建構是不現(xiàn)實的，也是根本不可能的.但教師可以從數(shù)的發(fā)展史入手讓學生體驗數(shù)的發(fā)展過程，數(shù)的發(fā)展實質上是數(shù)學內(nèi)部矛盾或者外部矛盾的不斷發(fā)展的結果.

（2）高中數(shù)學的形式化的教學要注重適度.數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的.數(shù)學也不能過度地形式化，以免將生動活潑的數(shù)學思維淹沒在形式化的海洋里.在高中階段，學習超過高中生本身認知水平的形式化的實際上就是學習過度的形式化，容易挫傷學習的積極性，學生很難經(jīng)歷體驗知識發(fā)生發(fā)展的過程，不利于營造生動活潑的教學活動氛圍，甚至可能會掩蓋本質.形式化是數(shù)學的基本特征之一，沒有數(shù)學的形式化，就沒有現(xiàn)代數(shù)學的蓬勃發(fā)展.在數(shù)學教學中，學習形式化的表達又是一項基本要求.新課程理念之一就是強調本質，注重適度的形式化.函數(shù)單調性的概念是一個形式化的定義.初中階段學生的形象思維豐富，理性思維相對較弱，到高中階段學生的理性思維應該有所提高.而適度的形式化是必要的，有用的.例如，如果沒有函數(shù)的單調性形式化的定義，在不借助于函數(shù)導數(shù)的條件下，我們?nèi)绾闻袛嘁粋€較為復雜的函數(shù)的單調性？一定要作出函數(shù)的圖象嗎？從本節(jié)的例題可以看出，函數(shù)的單調性的形式化的定義是有用的，所以這個概念的存在是有其價值的.

*本文系南通市教育科學“十一五”規(guī)劃重點課題“基于悟學理念的初中理科‘高效作業(yè)’實施策略研究”的階段性成果.