吳麗琴

【摘要】數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它的意思不僅是解題的訓(xùn)練，更重要的是能形成一種思維的習(xí)慣與模式，這種習(xí)慣與模式不僅影響著人的數(shù)學(xué)思考，也影響到生活中每件事的思考與決策。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 課堂 教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）08-0130-02

多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也許淡忘了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也模糊了數(shù)學(xué)知識(shí)本身，但數(shù)學(xué)的思想方法卻作為一種素養(yǎng)永遠(yuǎn)的成為了積淀。數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，這是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法，是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問(wèn)題時(shí)所采用的方式、途徑和手段，也可以說(shuō)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。

引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)探究時(shí)，教師要滲透數(shù)學(xué)方法，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課、審視數(shù)學(xué)課堂時(shí)亦應(yīng)當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法。用數(shù)學(xué)思想解讀教材、用數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)能更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，提高課堂實(shí)效。

一、分類(lèi)討論的思想方法

分類(lèi)討論思想是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，無(wú)法用同一種方法去解決，而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題，將這些小問(wèn)題一一加以解決，從而使問(wèn)題得到解決。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，運(yùn)用這種思想方法可使課堂教學(xué)流程清晰，教學(xué)結(jié)構(gòu)合理，對(duì)知識(shí)的探究更具邏輯性、綜合性、嚴(yán)密性，更能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性。

《三角形的內(nèi)角和》是一節(jié)許多教師都樂(lè)于展示的課，因此可以在賽課、展示課、觀摩課、匯報(bào)課等眾多研討場(chǎng)合聽(tīng)到這節(jié)課。但所看過(guò)的這節(jié)課，都大致的經(jīng)歷了下列探究流程：理解什么是內(nèi)角和，什么是三角形的內(nèi)角和；猜測(cè)三角形的內(nèi)角和是多少；用各種方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180度。

這樣的教學(xué)方法帶來(lái)的弊端是不嚴(yán)密。量一量，加一加的方法亦是如此，只要學(xué)生是真實(shí)地操作，答案必定異彩紛呈。面對(duì)全班答案各異的情形，老師只好強(qiáng)硬地解釋說(shuō)那是誤差引起的，事實(shí)上三角形的內(nèi)角和是180度。有的老師說(shuō)，沒(méi)關(guān)系，到中學(xué)老師會(huì)用演繹推理的方法嚴(yán)密地獲得“三角形內(nèi)角和是180度” 的結(jié)論。在小學(xué)階段，根據(jù)已有的知識(shí)與能力真沒(méi)法用演繹推理的方法獲得結(jié)論嗎？帶著這個(gè)問(wèn)題展開(kāi)了思考并進(jìn)行了實(shí)踐：

（一）認(rèn)識(shí)內(nèi)角及內(nèi)角和

課件出示長(zhǎng)方形，提問(wèn)：長(zhǎng)方形的內(nèi)角是什么意思？它的內(nèi)角和是多少度？你怎么知道的？

把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，呈現(xiàn)其中一個(gè)三角形，提問(wèn)：三角形的內(nèi)角是什么意思？這個(gè)三角形的內(nèi)角和是多少？

（二）探究三角形的內(nèi)角和

1.探究直角三角形的內(nèi)角和

（1）操作

把一個(gè)長(zhǎng)方形沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩個(gè)完全一樣的直角三角形。

（2）對(duì)比

①長(zhǎng)方形與三角形對(duì)比：長(zhǎng)方形中的四個(gè)內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)三角形共六個(gè)內(nèi)角的和。

②兩個(gè)直角三角形對(duì)比：會(huì)完全重合，三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，即每個(gè)三角形的內(nèi)角和都會(huì)等于360度的一半，所以剪出的兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180度。

（3）遷移

①每個(gè)直角三角形都可以用這樣的方法探索出內(nèi)角和嗎？

②每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

2.探究銳角三角形的內(nèi)角和

（1）提出問(wèn)題

師：現(xiàn)在這個(gè)不是直角三角形，那它是？（板書(shū)鈍角三角形）。這個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和又是多少呢？怎么探究？

（2）分組探究

（3）自主交流（交流時(shí)淡化量一量，加一加，以及折一折或剪拼的方法。）

生：畫(huà)一條高，將三角形分成了兩個(gè)三角形，共六個(gè)內(nèi)角，和為360度，去掉兩個(gè)90度的內(nèi)角，另4個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和為180度，也就是原來(lái)鈍角三角形的內(nèi)角和是180度。

（4）歸納小結(jié)

提問(wèn)：所有的鈍角三角形都可以用這樣的方法獲得內(nèi)角和180度的結(jié)論嗎？

3.探究銳角三角形的內(nèi)角和

（1）分類(lèi)：三角形按角分可以分為哪些三角形？

（2）遷移：銳角三角形的內(nèi)角和是多少？你能用什么方法來(lái)說(shuō)明？

在這份教學(xué)設(shè)計(jì)中，主要運(yùn)用了分類(lèi)的思想。將三角形的內(nèi)角和分三類(lèi)進(jìn)行探究。這三類(lèi)三角形中，以直角三角形為突破口，借助長(zhǎng)方形的基礎(chǔ)推理出直角三角形的內(nèi)角和為180度，然后用轉(zhuǎn)化思想，將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，推理出鈍角三角形的內(nèi)角和為180度，接著用遷移思想，將銳角三角形也轉(zhuǎn)化為直角三角形，同樣推理出銳角三角形的內(nèi)角和為180度。最后用完全歸納法，得出三角形的內(nèi)角和為180度。

二、比較的思想方法

學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人都習(xí)慣用“一環(huán)接一環(huán)”這個(gè)短語(yǔ)來(lái)形容知識(shí)之間的聯(lián)系。的確，數(shù)學(xué)知識(shí)之間，往往既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學(xué)過(guò)程中，教師不妨好好地讓學(xué)生比較一番，比出新知，比出樂(lè)趣。

在第十六屆華東六省一市賽課中，有位老師執(zhí)教了《看圖找關(guān)系》一課就充分運(yùn)用了比較的思想。當(dāng)時(shí)賽課承辦學(xué)校是晉江三實(shí)小，學(xué)校附近有個(gè)“久久厝邊超市”。老師從這兩個(gè)地點(diǎn)入手，創(chuàng)設(shè)了教學(xué)情境：

（一）看圖

1.找相同

師：同學(xué)們，找相同游戲玩過(guò)嗎？（生：玩過(guò)。）師：如果給你四幅圖，讓你找相同，還會(huì)嗎？（生：會(huì)。）師：那就開(kāi)始吧。

生1：它們都是折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖。

師：行啊，那就用折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖的眼光來(lái)看看它們吧。還有什么相同？

生2：我看到都有橫軸和縱軸

師：眼力不錯(cuò)，看出都有兩條軸。（板書(shū)畫(huà)出兩條軸）還有嗎？

生3：我看到都有時(shí)間和速度。

師：的確，它們都有兩個(gè)量。（貼出卡片：速度、時(shí)間。呈現(xiàn)如下板書(shū)：）還有嗎？

生4：它們都有向上的或向下的線(xiàn)。

師：你真會(huì)觀察，這樣吧，先給你所說(shuō)的那些線(xiàn)起個(gè)名字——折線(xiàn)。這位同學(xué)看出了四幅圖都有折線(xiàn)。（板書(shū)：折線(xiàn)）還有別的相同嗎？

生：沒(méi)有了。

師（指著圖問(wèn)）：看看這兩個(gè)量，應(yīng)該擺在什么位置上？（指名操作，學(xué)生將板書(shū)修正如下：）

師：瞧，他這么一擺，又?jǐn)[出了一處相同，橫軸都表示什么？（生齊：時(shí)間。）縱軸呢？（生齊：速度。）

2.找不同

師：看來(lái)，找相同難不倒大家，我們換個(gè)游戲——找不同。

生1：它們的折線(xiàn)都不相同。

師：真厲害！一眼就看出折線(xiàn)不同。大家想一想，在這些圖中，折線(xiàn)都表示出了誰(shuí)和誰(shuí)的關(guān)系？

生齊：速度和時(shí)間的關(guān)系。

（二）找關(guān)系

1.創(chuàng)設(shè)情境

師：講到速度與時(shí)間，想起了一件事情，昨天，我乘車(chē)從“久久厝邊超市”來(lái)到我們晉江三實(shí)小。這段時(shí)間，汽車(chē)的速度是怎么變化的呢，想知道嗎？

生：想。

師：不告訴你們。給段聲音，看誰(shuí)能聽(tīng)出來(lái)。（播放汽車(chē)行駛的聲音）

生1：我聽(tīng)到汽車(chē)一開(kāi)始是越來(lái)越快。然后就越來(lái)越慢。

師：聽(tīng)力不錯(cuò)。你說(shuō)的越來(lái)越快，我們?nèi)绻Q(chēng)它為速度增加，那么越來(lái)越慢就稱(chēng)為——

生1：速度減小。

師：聰明。只是速度增加后馬上就減小嗎？

生2：不是，中間的一段速度是保持不變的。

師：很好，就用你的這個(gè)詞——保持不變。原來(lái)，汽車(chē)的速度經(jīng)歷了這樣的變化過(guò)程：先是——（生：速度增加），接著——（生：保持不變），然后——（生：速度減小）。想一想，剛才的四幅圖，哪一幅能表示出汽車(chē)的速度變化情況？

……

《看圖找關(guān)系》這節(jié)課，從題眼來(lái)看有兩個(gè)行為動(dòng)詞：“看”、“找”。那么“看”，要解決“看什么”和“怎么看”的問(wèn)題；同樣，“找”，也要解決“找什么”和“怎么找”的問(wèn)題。在這個(gè)教學(xué)片斷中，老師用了兩次比較。第一次找相同，比出了圖中應(yīng)具備的信息：兩條軸，兩個(gè)量，并軸與量建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而解決了“看什么” 的問(wèn)題；第二次找不同：折線(xiàn)不同，表示圖的關(guān)系也不同，這些不同的折線(xiàn)，到底表示出了怎樣的關(guān)系，從而引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，轉(zhuǎn)入解決“怎么看”的問(wèn)題。

三、極限的數(shù)學(xué)思想

極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。靈活地借助極限思想，可以將某些數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，避免一些復(fù)雜運(yùn)算，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該刻意挖掘，并適機(jī)將這一思想和方法適度地滲透給學(xué)生。

《鴿巢問(wèn)題》一課，例題是這樣的：“4支鉛筆放入3個(gè)筆筒里，總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆?！庇形焕蠋熢诮虒W(xué)這節(jié)課時(shí)，這樣組織探究：

1.操作：4支鉛筆放入3個(gè)筆筒里，有幾種放法？

2.列舉：將各種分法列舉成表格。

4支鉛筆放入3個(gè)筆筒里

3.小結(jié)：這時(shí)候，我們就說(shuō)，4支鉛筆放入3個(gè)筆筒里，總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。想一想，總有是什么意思？至少是什么意思？

生1：總有，就是一定的意思。

生2：至少，就是最少的意思。

師：對(duì)了，至少是2支，說(shuō)明可以等于2支，也可以大于2支。

師：板書(shū)：至少（大于或等于）

4.識(shí)記：全班把結(jié)論讀一遍。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師運(yùn)用了列表法、列舉法、操作法都非常巧妙，只是沒(méi)把極限思想理解到位。以至于整節(jié)課自始至終學(xué)生都沒(méi)充分掌握鴿巢原理，臨下課總結(jié)時(shí)，學(xué)生還在說(shuō)：“老師，我覺(jué)得鴿巢原理是不對(duì)的，你說(shuō)總有一個(gè)筆筒至少是2支，可我看到也有1支的，也有0支的?！奔偃纾蠋熌馨呀滩闹须[性的極限思想（找最大、找最小）挖掘出來(lái)，設(shè)計(jì)到教學(xué)中，教學(xué)效果肯定是不一樣的。

1.操作：4支鉛筆放入3個(gè)筆筒里，有幾種放法？

2.列舉：將各種分法列舉成表格（把上表做些微調(diào)，有意識(shí)地把每種分法的最大數(shù)放在同一列上）。

3.找最大：請(qǐng)同學(xué)們?nèi)Τ雒糠N分法中的最大數(shù)。

4.找最小：把每種分法的最大數(shù)（即剛才圈出的數(shù)）拿出來(lái)比一比，最小是誰(shuí)？還能比2更小嗎？

5.想原因：為什么至少是2支？

6.總結(jié)：把你的發(fā)現(xiàn)來(lái)說(shuō)一說(shuō)。怎樣把你的發(fā)現(xiàn)說(shuō)得最簡(jiǎn)潔？

帶著這種想法，把這節(jié)課找了個(gè)班級(jí)進(jìn)行了試教，學(xué)生學(xué)得輕松，理解得透徹。把極限思想得到了充分的運(yùn)用：圈出最大數(shù)是要求，找出最小數(shù)是結(jié)論。兩個(gè)極限一搭，整個(gè)知識(shí)就淺顯易懂得了。

數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它的意思不僅是解題的訓(xùn)練，更重要的是能形成一種思維的習(xí)慣與模式，這種習(xí)慣與模式不僅影響著人的數(shù)學(xué)思考，也影響到生活中每件事的思考與決策。因此，以數(shù)學(xué)探究為載體，凸顯數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主流。