袁禎瀧

【摘 要】函數(shù)方程式和函數(shù)圖像是高中數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，二者互不相同，又相互關(guān)聯(lián)、相互滲透，在特殊的條件下，這兩者還可以相互轉(zhuǎn)化，這就是函數(shù)方程式與函數(shù)圖像二者之間的辯證關(guān)系。正確掌握和利用二者之間的關(guān)系，對(duì)以后做題具有重大意義。本文就來(lái)簡(jiǎn)單論述函數(shù)方程式與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，希望通過(guò)分享本人的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軐?duì)同學(xué)們數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，提供微薄之力。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)方程式；函數(shù)圖像；關(guān)系

1.引言

我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中經(jīng)?？梢砸?jiàn)到函數(shù)方程式與函數(shù)圖像，二者之間的相互轉(zhuǎn)化可能是某些數(shù)學(xué)大題的主要解題思路之一，掌握和熟悉這二者之間的關(guān)系，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)具有重大意義。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，必然伴隨著主觀能動(dòng)性的提高，必然伴隨著對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)理解的加深。高中數(shù)學(xué)作為一門必修的基礎(chǔ)學(xué)科，必然是初中數(shù)學(xué)的延伸，比初中數(shù)學(xué)需要更高的理解能力。數(shù)學(xué)能力的提高不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)課本知識(shí)的熟悉和掌握，更是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。函數(shù)方程式與函數(shù)圖象的關(guān)系一直以來(lái)都是考試和高考的重要考點(diǎn)，熟悉并掌握函數(shù)方程式與函數(shù)圖象的相互關(guān)系，并能學(xué)以致用，解決與之有關(guān)的題目和應(yīng)用非常必要。

2.函數(shù)方程式與函數(shù)圖象之間的關(guān)系

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)是這樣被定義的：若M、N都為非空的集合，若還存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系為y，使得M中的每一個(gè)個(gè)體x，都對(duì)應(yīng)N中的唯一一個(gè)個(gè)體，那么我們就稱y為集合M到集合N的一個(gè)函數(shù)。對(duì)于函數(shù)方程式y(tǒng)=ax+b（a≠0）這個(gè)二元一次函數(shù)方程來(lái)說(shuō)，它的函數(shù)圖象是一條直線，方程式是那條之現(xiàn)在數(shù)學(xué)上的代數(shù)表達(dá)，直線圖像是函數(shù)方程式直觀的表現(xiàn)。對(duì)這個(gè)函數(shù)方程式來(lái)說(shuō)，x是自變量，而y是因變量，也是函數(shù)值，y隨x的變化而變化。若設(shè)y=0，函數(shù)方程式變成了ax+b=0，原二元一次方程就變成了一元一次方程，該方程的解就是直線與x軸的交點(diǎn)。若令x=0，原方程就變成了y=b，b即為直線與y軸的交點(diǎn)，b值也被稱為截距。比如，函數(shù)方程式y(tǒng)=3x-3。該函數(shù)圖像是一條直線，令y=0，即將原二元一次函數(shù)方程式變?yōu)橐辉淮魏瘮?shù)方程式3x-3=0，解出x=1，即圖像與x軸的交點(diǎn)是（1，0）；同理，令x=0，我們可以求出圖像與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），這樣我們就可以在腦中構(gòu)思出該函數(shù)的圖像。同樣，我們可以將之推廣到二元二次函數(shù)方程式。

對(duì)于二元二次函數(shù)方程y=2x2-5x+2，因?yàn)?為正數(shù)，我們可以知道該函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的一個(gè)拋物線。該方程的解就是圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)我們可以通過(guò)十字相乘法來(lái)求：（2x-1）（x-2）=0，方程的解分別為0.5和2。又知道了方程的兩個(gè)解，方程的圖像我們就可以很容易得出。在由函數(shù)方程式畫出的函數(shù)曲線上所有的點(diǎn)都是這個(gè)函數(shù)方程式的解；同時(shí)若一條曲線上所有的點(diǎn)都是某個(gè)函數(shù)方程式的解，那么這個(gè)曲線就是這個(gè)函數(shù)方程式的函數(shù)圖象。

3.函數(shù)方程式的解的妙用

3.1函數(shù)方程式的解與函數(shù)圖像切線

對(duì)于函數(shù)方程式y(tǒng)=x3+6x2-9x來(lái)說(shuō)，假如經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，n）能夠做函數(shù)y圖像的切線數(shù)量是3個(gè)，那么求n的取值范圍是多少？這道題首先看起來(lái)很有難度，不知如何解題，那我們就先來(lái)找尋一個(gè)突破點(diǎn)，既然這道題與函數(shù)圖象的切線有關(guān)，那么就先來(lái)求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，y′=3x2+12x-9，所以切線的斜率就是3x2+12x-9。對(duì)于A點(diǎn)來(lái)說(shuō)，其可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，所以我們可以設(shè)切點(diǎn)為N（x0，y0），那么點(diǎn)A和點(diǎn)N都在切線上，由這二點(diǎn)求斜率，與上式連立，可得到一個(gè)關(guān)于n的有3個(gè)解的函數(shù)方程，既然要保證有3個(gè)解，那么我們通過(guò)作圖，我們就可以得到n的取值范圍在-5和-4之間。

3.2函數(shù)方程式的解與函數(shù)的值域

對(duì)于函數(shù)方程式y(tǒng)1=（1/3）x3-x2-x與函數(shù)方程式y(tǒng)2=2x+b在x屬于[-3，4]上有2交點(diǎn)，求x的取值范圍？我們要大概畫出二者函數(shù)的圖像，有些困難。由題目知，（1/3）x3-x2-x=2x+b這個(gè)等式在[-3，4]上有兩個(gè)解，那么我們就轉(zhuǎn)化得到的等式，將轉(zhuǎn)化的等式作為一個(gè)新的方程來(lái)求解，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)、極值和單調(diào)性做出大概函數(shù)圖象，來(lái)解決題目。

4.結(jié)語(yǔ)

綜上所述，函數(shù)方程式與函數(shù)圖象是數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的重要知識(shí)點(diǎn)，是高中學(xué)習(xí)階段期末考試和高考的常見(jiàn)題目和拔高類題目。函數(shù)方程式與函數(shù)圖象問(wèn)題的解決，不僅可以提升同學(xué)做出一道大題的成就感，更可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。熟悉、掌握和應(yīng)用函數(shù)方程式與函數(shù)圖象的相關(guān)知識(shí)，還可以了解數(shù)學(xué)從簡(jiǎn)入難的發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)認(rèn)真思考、勤于動(dòng)腦良好品德的形成，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真數(shù)學(xué)思維的形成，使同學(xué)們?nèi)蘸髮?duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)更加得心應(yīng)手。高考作為一個(gè)選拔性考試，不光考察表面的數(shù)學(xué)知識(shí)，更多的是考驗(yàn)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的了解，這就要求我們不僅要掌握基本知識(shí)，還要深入挖掘，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。函數(shù)方程式與函數(shù)圖象的關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要部分，我們要從本質(zhì)上了解函數(shù)，用函數(shù)的思想去做題，才能從根本上提高解決函數(shù)方程式與函數(shù)圖象這類題目乃至整個(gè)數(shù)學(xué)的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]尚強(qiáng)，胡炳生.函數(shù)與其圖像的關(guān)系——初中數(shù)學(xué)解疑釋惑系列十五[J].福建教育，2013（Z6）

[2]劉震.例析函數(shù)的三種應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2012（09）

[3]夏則勇.注重基礎(chǔ)，另辟蹊徑，巧解函數(shù)與方程[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2012（09）