安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華峰

圖像法求解子彈射木塊問(wèn)題

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華峰

圖像一旦被賦予物理意義，就會(huì)成為巧妙的解題工具。特別是對(duì)一些看似不容易求解的問(wèn)題，利用圖像法求解常常會(huì)收到意想不到的效果。最典型的例子莫過(guò)于對(duì)于“子彈射木塊”模型，采用v-t圖像法求解往往會(huì)行之有效。

圖1

圖2

一、子彈射木塊圖像的特點(diǎn)

1.圖像的畫(huà)法

子彈與木塊的作用過(guò)程可視為：子彈做勻減速運(yùn)動(dòng)，木塊做勻加速運(yùn)

動(dòng)。如果子彈未擊穿木塊，則它們的末速度相同，其圖像如圖1所示；如果子

彈能夠擊穿木塊，則子彈的末速度大于木塊的末速度，其圖像如圖2所示。

2.物理意義

（1）木塊的v-t圖線的斜率大小表示木塊做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小，

子彈的v-t圖線的斜率大小表示子彈做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小。

（2）木塊的v-t圖線與時(shí)間軸所包圍面積的大小表示木塊位移大小，子彈的v-t圖像與時(shí)間軸所包圍面積的大小表示子彈位移的大小。

（3）圖1中△AOC的面積大小表示子彈打入木塊的深度d，圖2中梯形AODC的面積表示木塊的長(zhǎng)度l。顯然，子彈的位移最大，木塊的位移最小，子彈和木塊的相對(duì)位移介于二者之間。

二、子彈射木塊運(yùn)動(dòng)圖像在解題中的妙用

圖3

圖4

1.子彈未射穿木塊

例1 如圖3所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的木塊后不再穿出，此時(shí)木塊動(dòng)能增加了6 J，那么此過(guò)程產(chǎn)生的內(nèi)能可能為（ ）。

A.2 J B.4 J C.6 J D.8 J

解析 根據(jù)題意作出v-t圖像，如圖4所示。其中v0為子彈的初速度，v為子彈和木塊的共同速度。

由圖像可知，子彈運(yùn)動(dòng)的位移s1的大小等于梯形OACB的面積，木塊運(yùn)動(dòng)的位移s2的大小等于△OBC面積，子彈射入木塊的深度d等于△AOC的面積大小。顯然s2＜d。

設(shè)子彈與木塊的相互作用力為F，則木塊動(dòng)能的增加量為Fs2，此過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能為Fd，故有Fd＞Fs2=6 J。故選D。

例2 一木塊靜止在光滑水平面上，一顆子彈水平射入木塊后未穿出，當(dāng)子彈剛好相對(duì)于木塊靜止時(shí)，木塊發(fā)生的位移為s。設(shè)子彈受到木塊的阻力大小恒定，子彈射入木塊中深度為d，則s與d的關(guān)系為sd（選填“大于”、“等于”或“小于”）。

常規(guī)解法設(shè)木塊質(zhì)量為M，子彈質(zhì)量為m，子彈的入射速度為v0，子彈受到的阻力為Ff，子彈相對(duì)于木塊靜止時(shí)二者的速度為v。

對(duì)木塊與子彈組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律得mv0=（M+m）v，

圖像解法 從子彈射入木塊到子彈與木塊以相同速度一起運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，因子彈和木塊所受的力大小恒定，所以子彈做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，建立二者的v-t圖像，如圖5所示。

當(dāng)子彈相對(duì)于木塊剛好靜止時(shí)，木塊的位移大小等于△OCB的面積S1，子彈的位移大小等于梯形OACB的面積S2，子彈穿入木塊的深度為d=S2-S1，即為子彈對(duì)木塊的位移，顯然有d＞s。

圖5

2.子彈射穿木塊

例3 一子彈以較大的初速度水平射穿原來(lái)靜止于光滑水平面上的木塊。設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力與子彈的速度大小無(wú)關(guān)，則木塊得到的動(dòng)能Ek與子彈初速度v0的關(guān)系為（ ）。

A.v0越大，Ek越大 B.v0越小，Ek越大

C.Ek與v0的大小無(wú)關(guān) D.條件不足，無(wú)法討論

解析 根據(jù)題意作出v-t圖像，如圖6所示。其中v0為子彈的初速度，v1、v2分別為子彈射穿木塊后子彈、木塊的末速度。

由圖像可知，△ODB的面積等于木塊位移s2的大小，梯形ODCA的面積等于木塊的長(zhǎng)度l。

當(dāng)v0增大時(shí)，其所受阻力不變，故加速度不變，即圖線的斜率不變，此時(shí)子彈和木塊的v-t圖線如圖6中的虛線，因?yàn)槟緣K的長(zhǎng)度l不變，則形成的梯形OD′C′A的面積一定等于梯形ODCA的面積。

圖6

由圖像可知，當(dāng)v0變大時(shí)，在使子彈穿木塊的前提下，木塊運(yùn)動(dòng)的路程減小。據(jù)Fs2=Ek-0可知，木塊獲得的動(dòng)能減??；反之，v0變小時(shí)，木塊獲得的動(dòng)能增大。應(yīng)選B。

例4 一顆速度較大的子彈，水平穿過(guò)一木塊，因此使得原來(lái)放在光滑水平桌面上靜止的木塊具有一定的動(dòng)能。設(shè)子彈無(wú)論以多大的速度穿過(guò)木塊，它都受到相同的阻力，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

圖7

A.子彈的速度越大，它穿過(guò)木塊后使木塊獲得的動(dòng)能越大

B.子彈的速度越大，它穿過(guò)木塊后使木塊獲得的動(dòng)能越小

C.子彈穿過(guò)木塊過(guò)程中，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少與子彈的速度無(wú)關(guān)

D.子彈穿過(guò)木塊的過(guò)程中，子彈損失的機(jī)械能與子彈的速度無(wú)關(guān)

常規(guī)解法設(shè)子彈射入木塊時(shí)的速度為v0，子彈射出木塊時(shí)的速度為v1，此時(shí)木塊的速度為v2，子彈與木塊的質(zhì)量分別為m、M，子彈所受阻力為Ff，木塊長(zhǎng)為l。

對(duì)子彈與木塊組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，有mv0=mv1+Mv2，

又有s2-s1=l，

聯(lián)立以上四式解出v1、v2，可找出v1、v2與v0之間的關(guān)系，便可找出正確的選項(xiàng)。（求解過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己完成）

列出上述四個(gè)方程并不難，但求解這四個(gè)方程組成的方程組卻并不容易。

圖8

圖像解法 根據(jù)題意可知，子彈穿過(guò)木塊的過(guò)程中，子彈做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，子彈穿出木塊時(shí)子彈相對(duì)于木塊的位移等于木塊的長(zhǎng)度，則無(wú)論子彈射入的速度有多大，只要子彈穿出木塊，這個(gè)相對(duì)位移就是一定的。還有，子彈穿出木塊時(shí)的速度必定要大于木塊的速度。根據(jù)分析可將子彈、木塊的運(yùn)動(dòng)情況用v-t圖像反映出來(lái)，如圖8所示。圖中OACD的面積大小等于子彈相對(duì)于木塊的位移大小，當(dāng)子彈的初速度增大時(shí)，表示其運(yùn)動(dòng)的圖線應(yīng)沿縱軸方向向上平移。而木塊的運(yùn)動(dòng)圖線不變，因子彈對(duì)木塊的相對(duì)位移不變，所以子彈在木塊中運(yùn)行的時(shí)間會(huì)隨著子彈入射速度的增大而減小。

從圖像上不難看出，子彈入射速度越大（v0′＞v0），子彈穿出木塊后，木塊獲得的動(dòng)能）越小，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤、選項(xiàng)B正確。

因?yàn)樽訌椩诖┠緣K的過(guò)程中要克服摩擦力做功，消耗的機(jī)械能一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，還有一部分轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能部分的能量Q內(nèi)=Ffs相對(duì)，F(xiàn)f、s相對(duì)都不變，所以Q內(nèi)也一定，即機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少與初速度無(wú)關(guān)。因木塊獲得的動(dòng)能隨子彈入射速度的增大而減小，所以子彈損失的機(jī)械能隨子彈入射速度的增大而逐漸減小。則選項(xiàng)C正確、選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

由上述分析可知，本題應(yīng)選BC。

3.加速度發(fā)生變化

例5 如圖9所示，質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射穿放在光滑水平面上的木塊，木塊長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為M。木塊對(duì)子彈的阻力恒定不變，子彈穿過(guò)使木塊獲得的動(dòng)能為Ek。若木塊或子彈的質(zhì)量發(fā)生變化，但子彈仍穿過(guò)木塊，下列敘述正確的是（ ）。A.若M不變、m變大，則木塊獲得的動(dòng)能一定變小B.若M不變、m變大，則木塊獲得的動(dòng)能可能變大C.若m不變、M變大，則木塊獲得的動(dòng)能一定變小D.若m不變、M變大，則木塊獲得的動(dòng)能可能變大

圖9

解析 根據(jù)題意作出v-t圖像，如圖10所示。其中v0為子彈的初速度，v1、v2分別為子彈擊穿木塊后子彈、木塊的末速度。此時(shí)v1＞v2。

由圖像可知，梯形ODCA的面積大小等于木塊的長(zhǎng)度l，△ODB的面積大小等于木塊的位移s2。

若M不變、m變大，且F不變，由F=ma可知，木塊加速度不變，子彈加速度變小，即v-t圖像中OD的斜率不變、AC的斜率（絕對(duì)值）變小，如圖中虛線所示。

圖10

根據(jù)木塊長(zhǎng)度不變，即梯形ACDO的面積等于梯形AC′D′O的面積，顯然木塊的位移s2變小。

據(jù)Fs2=Ek-0，可知木塊獲得的動(dòng)能變小，A正確。

同理分析可知，當(dāng)m不變、M變大時(shí)，木塊獲得的動(dòng)能一定變小，則選項(xiàng)C正確。

綜上分析可知本題應(yīng)選AC。

通過(guò)對(duì)以上幾例的分析可知，求解子彈射木塊模型問(wèn)題，雖然可以利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理和能量守恒定律，但運(yùn)算過(guò)程將會(huì)很復(fù)雜，求解過(guò)程將會(huì)很煩瑣。而利用v-t圖像求解，要簡(jiǎn)單、明了、直觀、快捷得多，顯得干凈利索。所以圖像作為解決問(wèn)題的工具，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常?？梢云鸬交睘楹?jiǎn)、化難為易的作用，收到事半功倍的效果。因此我們應(yīng)正確理解v-t圖像的物理意義，不斷拓展解題思路，靈活選用巧妙、簡(jiǎn)捷、快速、準(zhǔn)確的解題方法，優(yōu)化解題路徑和解題方法，從而不斷地提升解題能力。