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        二項式定理活用例析

        2016-11-02 06:05:38安徽省安慶一中付賢民
        青蘋果 2016年12期
        關鍵詞:展開式二項式例析

        安徽省安慶一中 付賢民

        二項式定理活用例析

        安徽省安慶一中 付賢民

        二項式定理是高中數學中的重點知識,其中蘊含著豐富的數學思想方法與技巧,能在解決諸多問題中得以運用。下面分類舉例分析。

        一、求指定項的系數

        分析根據通項公式,令x的指數為2即可求出系數。要注意項的系數與二項式系數的區(qū)別。

        二、求指定項

        A.-20 B.20 C.-15 D.15

        分析本題將分段函數與二項式定理結合起來,必須先求出f[f(x)]的表達式,在求解的過程中注意分類討論,再利用通項公式找到常數項。

        A.1 B.2 C.3 D.4

        分析先根據前三項的系數成等差數列求出n的值,寫出展開式的通項公式,要使其為有理項,則x的指數必須為整數。

        三、求系數和

        分析分別令x=1和x=-1,再整體求解。

        四、已知系數(或和),求參數值(或范圍)

        例5 (2015年全國卷)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32,則a=____。

        分析設出(a+x)(1+x)4的展開式,利用賦值法來求解。

        解設(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,

        令x=1,則(a+1)×16=a0+a1+a2+a3+a4+a5①;

        令x=-1,則0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②。

        ①-②得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=64,解得a=3,故填3。

        分析先利用二項展開式的通項公式求出a、b間的關系式,再利用重要不等式求解。

        令12-3r=3,得r=3。

        五、求余數或整除問題

        例7 5310被8除的余數是( )。

        A.1 B.2 C.3 D.7

        分析因53=48+5,利用二項式定理將其展開,則只需考慮510被8除的余數即可。

        例8 對任意n∈N*,34n+2+a2n+1能被14整除,則最小的自然數a=。

        分析因34n+2+a2n+1=92n+1+a2n+1=(14-5)2n+1+a2n+1,而由(14-5)2n+1的展開式知其前2n+1項都能被14整除,最后一項為-52n+1,即對任意n∈N*,-52n+1+a2n+1能被14整除或等于0。

        解根據分析可知最小的自然數a=5。

        六、求近似值

        例9 (1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是( )。

        A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34

        分析將1.05改寫成1+0.05,利用二項式定理展開,根據要求去掉后面比較小的項即可求出近似值。

        七、創(chuàng)新題

        例10 觀察下列各式:

        照此規(guī)律,當n∈N*時,

        分析觀察等式左右兩邊的特點,不難發(fā)現答案為4n-1。對于這樣的創(chuàng)新題,要求同學們具有較強的觀察能力和歸納能力。解題的關鍵在于抓住題目給出的結構特征,從適當的角度挖掘出其內部規(guī)律。

        故填4n-1。

        例11 當x∈R,|x|<1時,有如下表達式:

        請根據以上材料所蘊含的數學思想方法,計算:

        分析本題將導數、定積分、二項式定理巧妙地結合起來,要求同學們具有較好的理解能力、分析問題和解決問題的能力。

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