賀清倫

【中圖分類號】G63.23 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0-03

“五三一成長教育”課堂是我校在新形式下，為適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)能力的一種課堂模式。為進(jìn)一步完善“五三一成長教育”課堂模式、優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)、提高課堂教學(xué)效率，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，現(xiàn)將數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中有關(guān)描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞的目標(biāo)達(dá)成的實施步驟作一些簡單的設(shè)計，以便我們在教學(xué)設(shè)計時能根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計不同的教學(xué)方法，高效的達(dá)成教學(xué)目標(biāo).現(xiàn)整理出來與大家共同探討以期共同進(jìn)步。

在數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中有兩類行為動詞，一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，包括“了解、理解、掌握、運(yùn)用”等術(shù)語。另一類是描述過程目標(biāo)的行為動詞，包括“經(jīng)歷、體驗、探索”等術(shù)語。本文就描述結(jié)果目標(biāo)的四個行為動詞“了解、理解、掌握、運(yùn)用”的目標(biāo)達(dá)成需要實施的步驟作簡單的設(shè)計。

1.“了解”的目標(biāo)達(dá)成需要實施的步驟

“了解”在《新課標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的含義：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象。

從“了解”的含義來看，要達(dá)成“了解”的目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計時，大致可設(shè)計以下操作步驟：

第一步：設(shè)計具體實例

第二步：從具體實例中說明對象的有關(guān)特征

第三步：根據(jù)對象的特征從具體情境中辨認(rèn)

第四步：根據(jù)對象的特征舉例說明對象

下面以《分式的概念》為例加以說明：

在這一課時中明確了分式概念的教學(xué)目標(biāo)是：“了解分式的概念”，為達(dá)成這一目標(biāo)，可作如下教學(xué)設(shè)計：

第一步：設(shè)計具體實例：

用代數(shù)式填空：

（1）已知某長方形的面積是10，長為5，則這個長方形的寬為________cm；

（2）已知某長方形的長為a，寬為b，則這個長方形的面積為________cm；

（3）已知某長方形的面積是s，長為5，則這個長方形的寬為________cm；

（4）已知某長方形的面積是10，長為a，則這個長方形的寬為________cm；

（5）一輛汽車行駛s千米用了t小時，那么它的平均車速為________千米/小時；一列火車行駛s千米比這輛汽車少用了1小時，那么它的平均車速為________km/h；

第二步：從具體實例中說明對象的有關(guān)特征

思考：（1）以上式子中，是整式的有哪些？

（2）不是整式的有哪些？它們的共同特征是：

①從形式上看，像________，即都由________、分?jǐn)?shù)線、________三部分組成；

②從內(nèi)容上看，它們的分母都含有________。

（3）因此，為了和分?jǐn)?shù)區(qū)別開來，把這種形如分?jǐn)?shù)，且分母含有字母的式子取名為________。

第三步：根據(jù)對象的特征從具體情境中辨認(rèn)

在代數(shù)式-3x，，，，，，，中，是分式的有_________________.

第四步：根據(jù)對象的特征舉例說明對象

用分式填空：

（1）某村有n個人，一共擁有耕地50公頃，則該村的人均耕地面積為________公頃；

（2）若△ABC的面積為s，BC邊的長為a，則BC邊上的高為________。

2.“理解”的目標(biāo)達(dá)成需要實施的步驟

“理解”在《新課標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的含義：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

從“理解”的含義來看，要達(dá)成“理解”的目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計時，大致可設(shè)計以下操作步驟：

第一步：設(shè)計具體實例

第二步：描述對象的特征

第三步：描述對象的由來

第四步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別

第五步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的聯(lián)系

下面以第14章第2節(jié)第1課時《正比例函數(shù)》為例加以說明：

在這一課時中明確了正比例函數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)是：“理解正比例函數(shù)的概念”，為達(dá)成這一目標(biāo)，根據(jù)“理解”的含義，在進(jìn)行正比例概念的教學(xué)時可作如下教學(xué)設(shè)計：

第一步：設(shè)計具體實例：

下列問題中變量對映規(guī)律可用怎樣的函數(shù)表示？

（1）圓的周長l隨半徑r的大小變化而變化；

（2）鐵的密度為7.8g/cm3，鐵的質(zhì)量m（單位：g）隨它的體積V（單位：cm3）的大小變化而變化；

（3）每個練習(xí)本的厚度為0.5cm，一些練習(xí)本摞在一起的總厚度h（單位：cm）隨這些練習(xí)本的本數(shù)n的變化而變化；

（4）冷凍一個0℃的物體，使它每分下降2℃，物體的溫度T（單位：℃）隨冷凍時間t（單位：分）的變化而變化。

第一步：描述對象的特征

【思考】1.上面這些函數(shù)的解析式在形式上有什么共同特征？

引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納：都是常數(shù)與自變量乘積的形式（或表述為：都是自變量的一次單項式）

2.函數(shù)（是常數(shù)，）中，哪些是常數(shù)？哪些是變量？哪個是自變量？哪個是函數(shù)？為什么要限制？如果沒有這個限制，結(jié)果會怎樣呢？

學(xué)生分析歸納：在函數(shù)中，常數(shù)是常數(shù)；與是變量，其中是自變量，是函數(shù)，這里要限制是因為當(dāng)時，函數(shù)表達(dá)式為，它體現(xiàn)不出兩個變量與之間的函數(shù)關(guān)系，它不是正比例函數(shù)。

第二步：描述對象的由來

教師提問：同學(xué)們，你們知道“函數(shù)”和“正比例函數(shù)”的由來嗎？

（設(shè)計目的：引導(dǎo)學(xué)生了解函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）

（多媒體展示）函數(shù)的產(chǎn)生

“函數(shù)”一詞最初是由德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)首先采用的，當(dāng)時萊布尼茨用“函數(shù)”這一詞來表示變量x的冪，即x2，x3，….接下來萊布尼茨又將“函數(shù)”這一詞用來表示曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的變量，就這樣“函數(shù)”這詞逐漸盛行.

在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家，近代科學(xué)的先驅(qū)者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！敝袊墓糯诉€用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù).”這樣，在中國“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思.

十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了如下的函數(shù)定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù).換句話說，由x和常量所構(gòu)成的任一式子都可稱之為關(guān)于x的函數(shù).

1775年，歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴于另一些變量.即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數(shù)概念，都還是和解析表達(dá)式、曲線表達(dá)式等概念糾纏在一起.

首屈一指的法國數(shù)學(xué)家柯西引入了新的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其它變數(shù)的值也可隨之而確定時，則將最初的變數(shù)稱之為‘自變數(shù)，其它各變數(shù)則稱為‘函數(shù)”.在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞.

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法.函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系.即條件的必要性，利用這個關(guān)系以求出每一個x的對應(yīng)值.

1837年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù).”

德國數(shù)學(xué)家黎曼引入了函數(shù)的新定義：“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應(yīng)，而不拘建立x，y之間的對應(yīng)方法如何，均將y稱為x的函數(shù).”

從上面函數(shù)概念的演變，我們可以知道，函數(shù)的定義必須抓住函數(shù)的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。由此，就有了我們課本上的函數(shù)的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).

在實際問題中，在某一個變化過程中，兩個變量x與y之間常常產(chǎn)生形如形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中叫做正比例系數(shù)。

第三步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別

【思考】在函數(shù)①y=，②y=，③y=3x+9，④y=2x2中，哪些是正比例函數(shù)？哪些不是正比例函數(shù)呢？它與正比例的函數(shù)的區(qū)別在哪里？

第四步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的聯(lián)系

【思考】函數(shù)與函數(shù)有何聯(lián)系？與函數(shù)又有何聯(lián)系？

學(xué)生分析歸納：在函數(shù)中，當(dāng)時，它就是正比例函數(shù)，否則就不是正比例函數(shù)；在函數(shù)中當(dāng)時，它就是正比例函數(shù)，否則就不是正比例函數(shù)。

通過以上設(shè)計，能夠加深學(xué)生對“正比例函數(shù)”概念的理解，真正達(dá)到理解“正比例函數(shù)”概念的目的。

3.“掌握”的目標(biāo)達(dá)成需要實施的步驟

“掌握”在《新課標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的含義：在理解的基礎(chǔ)上，把對象用于新的情境。

從“掌握”的含義來看，要達(dá)成“掌握”的目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計時，大致可設(shè)計以下操作步驟：

第一步：設(shè)計具體實例

第二步：描述對象的特征

第三步：描述對象的由來

第四步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別

第五步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的聯(lián)系

第六步：把對象用于新的情境

下面以第13章第1節(jié)第3課時《平方根》為例加以說明：

在這一課時中明確了平方根概念的教學(xué)目標(biāo)是：“掌握平方根的概念”，為達(dá)成這一目標(biāo)，根據(jù)“掌握”的含義，在進(jìn)行平方根的概念教學(xué)時可作如下教學(xué)設(shè)計：

第一步：設(shè)計具體實例

（多媒體展示）填空：（1）如果，則=________；

（2）如果，則=________；

（3）如果，則=________；

（4）如果，則=________；

【思考】如果，你知道x與a的關(guān)系嗎？（設(shè)計目的：引出平方根的概念）

（一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根，即：如果，那么叫做的平方根）

第二步：描述對象的特征

填空：（1）如果，則49的平方根是________；

（2）如果，則0的平方根是________；

（3）如果，則-1的平方根是________.

【思考】正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？0的平方根是多少？負(fù)數(shù)有平方根嗎？

（一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是多少0；負(fù)數(shù)沒有平方根）

第三步：描述對象的由來

教師提問：同學(xué)們，你們知道平方根是怎樣產(chǎn)生的嗎？（設(shè)計目的：引導(dǎo)學(xué)生了解平方根的產(chǎn)生和發(fā)展過程，拓寬學(xué)生知識視野，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)）

（多媒體展示）無理數(shù)的產(chǎn)生

公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派的弟子希勃索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數(shù)）這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲處。

不可通約的本質(zhì)是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”——這便是“無理數(shù)”的由來.

同時它導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

平方根的產(chǎn)生主要由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，歷史上所謂的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”，不是我們通常想象的由于研究方程的根的需要而產(chǎn)生平方根.

第四步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別

【思考】由平方根與算術(shù)平方根的定義，同學(xué)們能否找出它們的區(qū)別？（小組討論后，歸納總結(jié)）

學(xué)生歸納：平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別

（1）定義不同：

平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.

算術(shù)平方根：如果一個正數(shù)的平方等于a，那么這個正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根.

（2）個數(shù)不同：個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個.

（3）表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為；正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為.

（4）取值范圍不同：正數(shù)的平方根有兩個，一正一負(fù)；正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個正數(shù).

第五步：闡述此對象與相關(guān)對象之間的聯(lián)系

教師提問：同樣，你能知道平方根與算術(shù)平方根有何聯(lián)系？（小組討論后，歸納總結(jié)）

學(xué)生歸納：平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系

（1）具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一個。

（2）存在條件相同：平方根與算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有.

（3）0的平方根與算術(shù)平方根都是0.

第六步：把對象用于新的情境

【思考】求下面各數(shù)的平方根（鞏固平方根的概念，熟練應(yīng)用平方根的概念計算有關(guān)算式的值是本課的主要內(nèi)容，突出本課重點(diǎn)，同時將學(xué)生對知識的理解轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技能，使學(xué)生獲得成功體驗，激發(fā)學(xué)生的積極性）

（1）100；（2）0.25；（3）0；（4）-4；

通過以上設(shè)計，能夠使學(xué)生掌握平方根的概念，運(yùn)用平方根概念進(jìn)行計算，突出了本課時的重點(diǎn)，又能使學(xué)生知道平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn).

4.“掌握”的目標(biāo)達(dá)成需要實施的步驟

“運(yùn)用”在《新課標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的含義：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

從“運(yùn)用”的含義來看，要達(dá)成“運(yùn)用”的目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計時，大致可設(shè)計以下操作步驟：

第一步：設(shè)計問題鞏固已掌握的對象（知識）

第二步：設(shè)計能夠用已掌握的對象進(jìn)行解決的問題

第三步：將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

第四步：選擇和創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

第五步：運(yùn)用選擇和創(chuàng)造的方法解決數(shù)學(xué)問題

第六步：通過解決數(shù)學(xué)問題完成實際問題的解決.

下面以第18章第1節(jié)《勾股定理》第2課時為例加以說明：

在這一課時中明確了教學(xué)的目標(biāo)是：“運(yùn)用勾股定理解決一些簡單的實際問題”，為達(dá)成這一目標(biāo)，根據(jù)“運(yùn)用”的含義，在進(jìn)行“勾股定理的運(yùn)用”教學(xué)時可作如下教學(xué)設(shè)計：

第一步：設(shè)計問題鞏固已掌握的對象（知識）

填空題

（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=________。

（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，則c=________。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，則a=________，b=________。

（設(shè)計意圖：利用學(xué)生已有的勾股定理和直角三角形的相關(guān)知識，創(chuàng)設(shè)問題情景，有針對性地引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，復(fù)習(xí)鞏固勾股定理，為學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理在實際生活中的應(yīng)用做鋪墊）

第二步：設(shè)計能夠用已掌握的對象進(jìn)行解決的問題

問題（教材P66頁探究1）

一個門框的尺寸如圖1所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木版能否從門框內(nèi)通過？為什么？

第三步：將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

問題分析：（1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：薄木版轉(zhuǎn)化為長3m，寬2.2m的長方形（如圖2），門框轉(zhuǎn)化為長2m，寬1m的長方形（如圖1）.（2）在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為四個角都是直角的長方形。（3）讓學(xué)生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪條最長？該問題需要解決什么數(shù)學(xué)問題？（4）注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。

第四步：選擇和創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

（1）指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？（2）將問題轉(zhuǎn)化為勾股定理的計算（計算門框?qū)蔷€長度）.可以知道，木版橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過.對角線AC是斜著能通過的最大長度，用勾股定理求出AC的長，再與木版的寬比較，就能知道木版能否通過.

第五步：運(yùn)用選擇和創(chuàng)造的方法解決數(shù)學(xué)問題

問題解決：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=≈2.236.

第六步：通過解決數(shù)學(xué)問題完成實際問題的解決.

∵AC=≈2.236>2，∴門框的對角線長大于薄木版的寬，∴木板能從門框內(nèi)通過.

通過以上設(shè)計，能夠使學(xué)生理解解決實際問題一般步驟，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力以及分析問題，解決問題的能力，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn).