張菁

（江蘇昆山陸家高級中學）

拓展思維，簡潔直觀
——向量法在高中數(shù)學解題中的妙用

張菁

（江蘇昆山陸家高級中學）

向量法作為當前全新的解題方法，適用于高中數(shù)學中多種類型的問題解答，具有較為廣闊的實際運用范圍。其中，包括空間幾何、不等式、代數(shù)等數(shù)學知識點，都可將其實際運用。利用向量法解題具備有效提升解題速度、降低題目難度、增強學習效率等優(yōu)勢，最大程度上減少對運算能力需求、開闊學生的思維、拓展解題思路。教師在日常課堂教學中，需要有意識地引導學生利用向量法進行各類問題的解決，使其更好地掌握這種全新的解題方法。針對向量法在高中數(shù)學解題中的實際應用進行探討，通過如何妙用向量法進行不同類型的問題解答，促使學生拓展思維，并且簡潔而直觀地解決難題。

向量法；高中數(shù)學；例題運用

向量法作為如今高中數(shù)學教學中的重要組成部分，利用其可快速進行高中空間幾何、代數(shù)等具有較高解答難度的問題分析與解決，可促使學生有效深入向量知識之中，更好地掌握其實際運用，也可全面提升學生進行數(shù)學問題的解題思維與技巧。對此，就需要針對高中數(shù)學向量知識進行更加全面的了解，重點分析向量法在高中空間幾何、平面幾何與三角函數(shù)等知識與問題的實際運用，借此提升學生對高中數(shù)學題目的解答與向量知識的掌握。

一、高中數(shù)學向量的基本內(nèi)容和作用

向量知識在過去數(shù)百年間一直為無數(shù)物理學家與數(shù)學家的主要研究項目，到了全新的時代中，向量已經(jīng)成為一項必須的數(shù)學知識，在我國的數(shù)學教育歷史中，向量知識的引入已有數(shù)十年的歷史，這不僅作為高中數(shù)學知識的難點與重點，也是高考知識中的一項重要組成部分。

向量可以表示物體之間的位置所在，而包括立體幾何、空間幾何等知識的主要內(nèi)容都是針對物體的位置與形狀進行探討，所以，向量知識也可從幾何學的角度進行思考與學習。向量本身是用于描述長度的存在，可通過其進行物體的了解，包括其面積、體積、高度、寬度等，這是一項重要的幾何知識基礎。向量具有方向特性，可利用其表示平面、直線等內(nèi)容的位置關(guān)系。在進行代數(shù)知識的學習中，涉及加、減、乘、除的運算，也可將向量融入代數(shù)運算的過程中，所以向量運算可以解決代數(shù)問題。向量本身代表一段具有方向的線段，通過其可進行實際位置的確定。在進行幾何問題的解答時，幾何圖形所具備的性質(zhì)、長度與角度的計算都需要具有方向的線段作為解題基礎，同時，針對角度、直角與三角函數(shù)等內(nèi)容的解答也需要使用向量知識作為運算基礎。因此，使用向量法可以有效提升學生的解題效率與學習興趣，加強高中數(shù)學知識的掌握，所以，只有真正掌握向量知識與其實際應用，才能真正幫助學生更好地提升數(shù)學解題能力，不會在視數(shù)學為愁苦的科目，而是真正地喜歡上，并愿意為自主學習。

二、向量法在立體幾何中的實際運用

向量法在立體幾何中的實際運用，與平面幾何中的實際運用方法是相同的，不過需要增加立體幾何的形態(tài)想象，也就是空間想象。這種想象會促使學生在進行過去的幾何問題解決時產(chǎn)生一定難度與偏差，對此，需要通過向量法將立體幾何問題進行簡化，降低難度，以便于快速找到問題解決方案。

舉例：如下圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E作為DD1的中點，而C1D1中是否存在F，可以促使B1F//A1BE，并進行相應的證明及解答。利用向量法進行問題的解決。

證明：利用點A作為坐標原點，構(gòu)建坐標系，假設正方形的每條棱長為2，可得出A（10，0，2），B（12，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（-2，2，1），=（-2，0，2）。假設面BEA的法向量為=（x，y，

1z），因此·=-2x+2y+z=0，而·=0。在棱CD中假設一點

11

1100=2x（x-2）+2x=2x［（x-2）+1］=0。因此，x=1，可證明CD中20220011存在點F，即B1F//A1BE。

三、向量法在三角函數(shù)中的實際運用

通過向量法在三角函數(shù)中的實際運用，可用其證明三角函數(shù)中正余弦的兩角和與差。

舉例：假設cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

證明：假設（e1，e2）作為平面中的標準正交基，A、B作為平面中的單位向量，A與e1的夾角為α，B與e2的夾角為β，并且α＞A向量位于（e1，e2）中的坐標為（cosα，sinβ），向量B則位于（e1，e2）中的坐標為（cosα，sinβ），則可說明|A|=|B|=1，因此，|A|·|B|·cos（α-β）= cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ可證明，在三角函數(shù)的題目中運用向量法進行問題的解決，可以令問題更加直觀與簡潔，促使學生更快更高效地完成題目的解決。

利用向量法進行解題，可增強解題思維與視角多元化，促使題目更加簡潔直觀，令學生可以在解題中簡化思維過程、最大限度地減少運算量，可以說，這正是新課程改革的需要所在，也作為學生提升自身的重要基礎。同時，向量法可以實際運用的類型不僅限于上述內(nèi)容，也包括三角函數(shù)的正余弦定理、函數(shù)公式等內(nèi)容，都可利用向量法作為解題基礎進行證明與解析，對此，教師更應當在日常教學中不斷活用向量法，進行更多類型的題目講解與訓練，令學生可以以最佳的狀態(tài)面對高考，也可減輕平日里學生的學習負擔，是一件真正有益于學生的學習方法。

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正方體

·編輯謝尾合